Theorem uniop 3555

Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39.

Assertion

Ref	Expression
uniop	|- U.<.A, B>. = {A, B}

Proof of Theorem uniop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-op 3053	. . 3 |- <.A, B>. = {{A}, {A, B}}
2	1	unieqi 3187	. 2 |- U.<.A, B>. = U.{{A}, {A, B}}
3		snex 3492	. . 3 |- {A} e. _V
4		prex 3526	. . 3 |- {A, B} e. _V
5	3, 4	unipr 3191	. 2 |- U.{{A}, {A, B}} = ({A} u. {A, B})
6		snsspr1 3135	. . 3 |- {A} C_ {A, B}
7		ssequn1 2775	. . 3 |- ({A} C_ {A, B} <-> ({A} u. {A, B}) = {A, B})
8	6, 7	mpbi 206	. 2 |- ({A} u. {A, B}) = {A, B}
9	2, 5, 8	3eqtri 1912	1 |- U.<.A, B>. = {A, B}

Syntax hints:   = wceq 1298   u. cun 2591   C_ wss 2593  {csn 3044  {cpr 3045  <.cop 3046  U.cuni 3177

This theorem is referenced by:  uniopel 3556  elvvuni 4055  dmrnssfld 4205  dffv2 4734  rankxplim 5823

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178

Copyright terms: Public domain