MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniop Structured version   Unicode version

Theorem uniop 4693
Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opthw.1  |-  A  e. 
_V
opthw.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
uniop  |-  U. <. A ,  B >.  =  { A ,  B }

Proof of Theorem uniop
StepHypRef Expression
1 opthw.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 opthw.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
31, 2dfop 4158 . . 3  |-  <. A ,  B >.  =  { { A } ,  { A ,  B } }
43unieqi 4200 . 2  |-  U. <. A ,  B >.  =  U. { { A } ,  { A ,  B } }
5 snex 4632 . . 3  |-  { A }  e.  _V
6 prex 4633 . . 3  |-  { A ,  B }  e.  _V
75, 6unipr 4204 . 2  |-  U. { { A } ,  { A ,  B } }  =  ( { A }  u.  { A ,  B } )
8 snsspr1 4121 . . 3  |-  { A }  C_  { A ,  B }
9 ssequn1 3613 . . 3  |-  ( { A }  C_  { A ,  B }  <->  ( { A }  u.  { A ,  B } )  =  { A ,  B } )
108, 9mpbi 208 . 2  |-  ( { A }  u.  { A ,  B }
)  =  { A ,  B }
114, 7, 103eqtri 2435 1  |-  U. <. A ,  B >.  =  { A ,  B }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059    u. cun 3412    C_ wss 3414   {csn 3972   {cpr 3974   <.cop 3978   U.cuni 4191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-rex 2760  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192
This theorem is referenced by:  uniopel  4694  elvvuni  4884  dmrnssfld  5082  dffv2  5922  rankxplim  8329
  Copyright terms: Public domain W3C validator