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Theorem uninqs 24204
Description: Class union distributes over the intersection of two subclasses of a quotient space. Compare uniin 3747. (Contributed by FL, 25-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
uninqs.1  |-  R  Er  X
Assertion
Ref Expression
uninqs  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  U. ( B  i^i  C )  =  ( U. B  i^i  U. C ) )

Proof of Theorem uninqs
StepHypRef Expression
1 uniin 3747 . . 3  |-  U. ( B  i^i  C )  C_  ( U. B  i^i  U. C )
21a1i 12 . 2  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  U. ( B  i^i  C )  C_  ( U. B  i^i  U. C ) )
3 eluni2 3731 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. b  e.  B  x  e.  b )
4 eluni2 3731 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. C  <->  E. c  e.  C  x  e.  c )
53, 4anbi12i 681 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U. B  /\  x  e.  U. C
)  <->  ( E. b  e.  B  x  e.  b  /\  E. c  e.  C  x  e.  c ) )
6 elin 3266 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( U. B  i^i  U. C )  <->  ( x  e.  U. B  /\  x  e.  U. C ) )
7 reeanv 2669 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  B  E. c  e.  C  (
x  e.  b  /\  x  e.  c )  <->  ( E. b  e.  B  x  e.  b  /\  E. c  e.  C  x  e.  c ) )
85, 6, 73bitr4i 270 . . . 4  |-  ( x  e.  ( U. B  i^i  U. C )  <->  E. b  e.  B  E. c  e.  C  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )
9 simp3l 988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  x  e.  b )
10 simp2l 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  e.  B )
11 inelcm 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  b  /\  x  e.  c )  ->  ( b  i^i  c
)  =/=  (/) )
12113ad2ant3 983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
( b  i^i  c
)  =/=  (/) )
13 uninqs.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R  Er  X
1413a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  R  Er  X )
15 simp1l 984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  B  C_  ( A /. R ) )
1615, 10sseldd 3104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  e.  ( A /. R ) )
17 simp1r 985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  C  C_  ( A /. R ) )
18 simp2r 987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
c  e.  C )
1917, 18sseldd 3104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
c  e.  ( A /. R ) )
2014, 16, 19qsdisj 6622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
( b  =  c  \/  ( b  i^i  c )  =  (/) ) )
2120ord 368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
( -.  b  =  c  ->  ( b  i^i  c )  =  (/) ) )
2221necon1ad 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
( ( b  i^i  c )  =/=  (/)  ->  b  =  c ) )
2312, 22mpd 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  =  c )
2423, 18eqeltrd 2327 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  e.  C )
25 elin 3266 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( B  i^i  C )  <->  ( b  e.  B  /\  b  e.  C ) )
2610, 24, 25sylanbrc 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  e.  ( B  i^i  C ) )
27 elunii 3732 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  b  /\  b  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C ) )
289, 26, 27syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C ) )
29283expia 1158 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
) )  ->  (
( x  e.  b  /\  x  e.  c )  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C
) ) )
3029rexlimdvva 2636 . . . 4  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  ( E. b  e.  B  E. c  e.  C  ( x  e.  b  /\  x  e.  c
)  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C
) ) )
318, 30syl5bi 210 . . 3  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  (
x  e.  ( U. B  i^i  U. C )  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C ) ) )
3231ssrdv 3106 . 2  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  ( U. B  i^i  U. C
)  C_  U. ( B  i^i  C ) )
332, 32eqssd 3117 1  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  U. ( B  i^i  C )  =  ( U. B  i^i  U. C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   E.wrex 2510    i^i cin 3077    C_ wss 3078   (/)c0 3362   U.cuni 3727    Er wer 6543   /.cqs 6545
This theorem is referenced by:  qusp  24708
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552
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