MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioovol Structured version   Unicode version

Theorem uniioovol 21723
Description: A disjoint union of open intervals has volume equal to the sum of the volume of the intervals. (This proof does not use countable choice, unlike voliun 21699.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 213. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
Assertion
Ref Expression
uniioovol  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem uniioovol
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniioombl.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2 ssid 3523 . . 3  |-  U. ran  ( (,)  o.  F ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  F )
3 uniioombl.3 . . . 4  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
43ovollb 21625 . . 3  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U. ran  ( (,)  o.  F
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  ->  ( vol* `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
51, 2, 4sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
61adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
7 elfznn 11710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... n )  ->  x  e.  NN )
8 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
98ovolfsval 21617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  x )  =  ( ( 2nd `  ( F `  x
) )  -  ( 1st `  ( F `  x ) ) ) )
106, 7, 9syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  x )  =  ( ( 2nd `  ( F `  x
) )  -  ( 1st `  ( F `  x ) ) ) )
11 fvco3 5942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  x )  =  ( (,) `  ( F `  x )
) )
126, 7, 11syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  x )  =  ( (,) `  ( F `  x )
) )
13 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
14 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( F `  x )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
156, 7, 14syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  x )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
1613, 15sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  x )  e.  ( RR  X.  RR ) )
17 1st2nd2 6818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( F `
 x )  = 
<. ( 1st `  ( F `  x )
) ,  ( 2nd `  ( F `  x
) ) >. )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  x )  =  <. ( 1st `  ( F `  x )
) ,  ( 2nd `  ( F `  x
) ) >. )
1918fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( (,) `  ( F `  x ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `
 x ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  x )
) >. ) )
20 df-ov 6285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1st `  ( F `
 x ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  x )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `  x ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  x )
) >. )
2119, 20syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( (,) `  ( F `  x ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  x )
) (,) ( 2nd `  ( F `  x
) ) ) )
2212, 21eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  x )  =  ( ( 1st `  ( F `  x
) ) (,) ( 2nd `  ( F `  x ) ) ) )
23 ioombl 21710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  ( F `
 x ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  x )
) )  e.  dom  vol
2422, 23syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  x )  e.  dom  vol )
25 mblvol 21676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (,)  o.  F
) `  x )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  =  ( vol* `  (
( (,)  o.  F
) `  x )
) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol `  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )  =  ( vol* `  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) ) )
2722fveq2d 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol* `  ( ( (,)  o.  F ) `
 x ) )  =  ( vol* `  ( ( 1st `  ( F `  x )
) (,) ( 2nd `  ( F `  x
) ) ) ) )
28 ovolfcl 21613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  x )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 x ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  x ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  x )
) ) )
296, 7, 28syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 1st `  ( F `  x )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 x ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  x ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  x )
) ) )
30 ovolioo 21713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  x )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 x ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  x ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  x )
) )  ->  ( vol* `  ( ( 1st `  ( F `
 x ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  x )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  x )
)  -  ( 1st `  ( F `  x
) ) ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol* `  ( ( 1st `  ( F `
 x ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  x )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  x )
)  -  ( 1st `  ( F `  x
) ) ) )
3226, 27, 313eqtrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol `  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  x )
)  -  ( 1st `  ( F `  x
) ) ) )
3310, 32eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  x )  =  ( vol `  (
( (,)  o.  F
) `  x )
) )
34 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
35 nnuz 11113 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3634, 35syl6eleq 2565 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3729simp2d 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 2nd `  ( F `  x ) )  e.  RR )
3829simp1d 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 1st `  ( F `  x ) )  e.  RR )
3937, 38resubcld 9983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 2nd `  ( F `  x )
)  -  ( 1st `  ( F `  x
) ) )  e.  RR )
4032, 39eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol `  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )  e.  RR )
4140recnd 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol `  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )  e.  CC )
4233, 36, 41fsumser 13511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ x  e.  ( 1 ... n
) ( vol `  (
( (,)  o.  F
) `  x )
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) ) `  n
) )
433fveq1i 5865 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 n )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) ) `  n )
4442, 43syl6reqr 2527 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S `
 n )  = 
sum_ x  e.  (
1 ... n ) ( vol `  ( ( (,)  o.  F ) `
 x ) ) )
45 fzfid 12047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
4624, 40jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( ( (,)  o.  F ) `  x
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( (,)  o.  F
) `  x )
)  e.  RR ) )
4746ralrimiva 2878 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. x  e.  ( 1 ... n
) ( ( ( (,)  o.  F ) `
 x )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  e.  RR ) )
487ssriv 3508 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
49 uniioombl.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `  x ) ) )
501, 11sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( (,)  o.  F ) `
 x )  =  ( (,) `  ( F `  x )
) )
5150disjeq2dv 4422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Disj  x  e.  NN  ( ( (,)  o.  F ) `  x
)  <-> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `  x ) ) ) )
5249, 51mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN  (
( (,)  o.  F
) `  x )
)
5352adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  x  e.  NN  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )
54 disjss1 4423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  NN  ->  (Disj  x  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  -> Disj  x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) ) )
5548, 53, 54mpsyl 63 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )
56 volfiniun 21692 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( 1 ... n ) ( ( ( (,)  o.  F ) `  x
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( (,)  o.  F
) `  x )
)  e.  RR )  /\ Disj  x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F
) `  x )
)  ->  ( vol ` 
U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  =  sum_ x  e.  ( 1 ... n ) ( vol `  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) ) )
5745, 47, 55, 56syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  =  sum_ x  e.  ( 1 ... n ) ( vol `  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) ) )
5824ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  e.  dom  vol )
59 finiunmbl 21689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F
) `  x )  e.  dom  vol )  ->  U_ x  e.  (
1 ... n ) ( ( (,)  o.  F
) `  x )  e.  dom  vol )
6045, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  e.  dom  vol )
61 mblvol 21676 . . . . . . . 8  |-  ( U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F
) `  x )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  =  ( vol* `  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) ) )
6260, 61syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  =  ( vol* `  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) ) )
6344, 57, 623eqtr2d 2514 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S `
 n )  =  ( vol* `  U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F
) `  x )
) )
64 iunss1 4337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  NN  ->  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  C_  U_ x  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )
6548, 64mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  C_  U_ x  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )
66 ioof 11618 . . . . . . . . . . 11  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
67 rexpssxrxp 9634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
6813, 67sstri 3513 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
69 fss 5737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
701, 68, 69sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
71 fco 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
7266, 70, 71sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
7372adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  F ) : NN --> ~P RR )
74 ffn 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  ( (,)  o.  F
)  Fn  NN )
75 fniunfv 6145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (,)  o.  F )  Fn  NN  ->  U_ x  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
7673, 74, 753syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ x  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
7765, 76sseqtrd 3540 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
78 frn 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  ran  ( (,)  o.  F )  C_  ~P RR )
7972, 78syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  ( (,)  o.  F )  C_  ~P RR )
80 sspwuni 4411 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  ( (,)  o.  F
)  C_  ~P RR  <->  U.
ran  ( (,)  o.  F )  C_  RR )
8179, 80sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  C_  RR )
8281adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U. ran  ( (,)  o.  F ) 
C_  RR )
83 ovolss 21631 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  /\  U.
ran  ( (,)  o.  F )  C_  RR )  ->  ( vol* `  U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )
8477, 82, 83syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )  <_ 
( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )
8563, 84eqbrtrd 4467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S `
 n )  <_ 
( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )
8685ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( S `  n )  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) )
878, 3ovolsf 21619 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
881, 87syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
89 ffn 5729 . . . . 5  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  S  Fn  NN )
90 breq1 4450 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( S `  n )  ->  (
y  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  <-> 
( S `  n
)  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) )
9190ralrn 6022 . . . . 5  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. y  e.  ran  S  y  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  <->  A. n  e.  NN  ( S `  n )  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )
9288, 89, 913syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  S  y  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F
) )  <->  A. n  e.  NN  ( S `  n )  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) )
9386, 92mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  S  y  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )
94 frn 5735 . . . . . 6  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  S  C_  ( 0 [,) +oo ) )
951, 87, 943syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (
0 [,) +oo )
)
96 icossxr 11605 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
9795, 96syl6ss 3516 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
98 ovolcl 21624 . . . . 5  |-  ( U. ran  ( (,)  o.  F
)  C_  RR  ->  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F
) )  e.  RR* )
9981, 98syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  e. 
RR* )
100 supxrleub 11514 . . . 4  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) )  <->  A. y  e.  ran  S  y  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) )
10197, 99, 100syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) )  <->  A. y  e.  ran  S  y  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) )
10293, 101mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )
103 supxrcl 11502 . . . 4  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
10497, 103syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
105 xrletri3 11354 . . 3  |-  ( ( ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_ 
( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) ) )
10699, 104, 105syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) )  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( vol* `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) ) )
1075, 102, 106mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   <.cop 4033   U.cuni 4245   U_ciun 4325  Disj wdisj 4417   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000    o. ccom 5003    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1stc1st 6779   2ndc2nd 6780   Fincfn 7513   supcsup 7896   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   NNcn 10532   ZZ>=cuz 11078   (,)cioo 11525   [,)cico 11527   ...cfz 11668    seqcseq 12071   abscabs 13026   sum_csu 13467   vol*covol 21609   volcvol 21610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cmp 19653  df-ovol 21611  df-vol 21612
This theorem is referenced by:  uniiccvol  21724  uniioombllem2  21727
  Copyright terms: Public domain W3C validator