Theorem uniioovol 19424

Description: A disjoint union of open intervals has volume equal to the sum of the volume of the intervals. (This proof does not use countable choice, unlike voliun 19401.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 213. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.2	|- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
uniioombl.3	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )

Assertion

Ref	Expression
uniioovol	|- ( ph -> ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   x, F   ph, x

Allowed substitution hint:   S( x)

Proof of Theorem uniioovol

Dummy variables n y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.1	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
2		ssid 3327	. . 3 |- U. ran ( (,) o. F ) C_ U. ran ( (,) o. F )
3		uniioombl.3	. . . 4 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
4	3	ovollb 19328	. . 3 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ U. ran ( (,) o. F ) C_ U. ran ( (,) o. F ) ) -> ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
5	1, 2, 4	sylancl 644	. 2 |- ( ph -> ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
6	1	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
7		elfznn 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... n ) -> x e. NN )
8		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) o. F ) = ( ( abs o. - ) o. F )
9	8	ovolfsval 19320	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` x ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
10	6, 7, 9	syl2an 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` x ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
11		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
12	6, 7, 11	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
13		inss2 3522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
14		ffvelrn 5827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
15	6, 7, 14	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( F ` x ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
16	13, 15	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( F ` x ) e. ( RR X. RR ) )
17		1st2nd2 6345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` x ) e. ( RR X. RR ) -> ( F ` x ) = <. ( 1st ` ( F ` x ) ) , ( 2nd ` ( F ` x ) ) >. )
18	16, 17	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( F ` x ) = <. ( 1st ` ( F ` x ) ) , ( 2nd ` ( F ` x ) ) >. )
19	18	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( (,) ` ( F ` x ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( F ` x ) ) , ( 2nd ` ( F ` x ) ) >. ) )
20		df-ov 6043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( F ` x ) ) , ( 2nd ` ( F ` x ) ) >. )
21	19, 20	syl6eqr 2454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( (,) ` ( F ` x ) ) = ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) )
22	12, 21	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) = ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) )
23		ioombl 19412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) e. dom vol
24	22, 23	syl6eqel 2492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol )
25		mblvol 19379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol * ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
26	24, 25	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol * ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
27	22	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol * ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol * ` ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) ) )
28		ovolfcl 19316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` x ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) )
29	6, 7, 28	syl2an 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( 1st ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` x ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) )
30		ovolioo 19415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1st ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` x ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) -> ( vol * ` ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol * ` ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
32	26, 27, 31	3eqtrd 2440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
33	10, 32	eqtr4d 2439	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` x ) = ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
34		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
35		nnuz 10477	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
36	34, 35	syl6eleq 2494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
37	29	simp2d 970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( 2nd ` ( F ` x ) ) e. RR )
38	29	simp1d 969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( 1st ` ( F ` x ) ) e. RR )
39	37, 38	resubcld 9421	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) e. RR )
40	32, 39	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. RR )
41	40	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. CC )
42	33, 36, 41	fsumser 12479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ x e. ( 1 ... n ) ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` n ) )
43	3	fveq1i 5688	. . . . . . . 8 |- ( S ` n ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` n )
44	42, 43	syl6reqr 2455	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) = sum_ x e. ( 1 ... n ) ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
45		fzfid 11267	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
46	24, 40	jca 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol /\ ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. RR ) )
47	46	ralrimiva 2749	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. x e. ( 1 ... n ) ( ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol /\ ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. RR ) )
48	7	ssriv 3312	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... n ) C_ NN
49		uniioombl.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
50	1, 11	sylan 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
51	50	disjeq2dv 4147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Disj x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) <-> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) ) )
52	49, 51	mpbird 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Disj x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) )
53	52	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Disj x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) )
54		disjss1 4148	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... n ) C_ NN -> (Disj x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) -> Disj x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
55	48, 53, 54	mpsyl 61	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Disj x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) )
56		volfiniun 19394	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... n ) e. Fin /\ A. x e. ( 1 ... n ) ( ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol /\ ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. RR ) /\ Disj x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) -> ( vol ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = sum_ x e. ( 1 ... n ) ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
57	45, 47, 55, 56	syl3anc 1184	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = sum_ x e. ( 1 ... n ) ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
58	24	ralrimiva 2749	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol )
59		finiunmbl 19391	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... n ) e. Fin /\ A. x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol ) -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol )
60	45, 58, 59	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol )
61		mblvol 19379	. . . . . . . 8 |- ( U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol -> ( vol ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol * ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
62	60, 61	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol * ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
63	44, 57, 62	3eqtr2d 2442	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) = ( vol * ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
64		iunss1 4064	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... n ) C_ NN -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) C_ U_ x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) )
65	48, 64	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) C_ U_ x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) )
66		ioof 10958	. . . . . . . . . . 11 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
67		ressxr 9085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ RR*
68		xpss12 4940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( RR C_ RR* /\ RR C_ RR* ) -> ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* ) )
69	67, 67, 68	mp2an 654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
70	13, 69	sstri 3317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* )
71		fss 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
72	1, 70, 71	sylancl 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
73		fco 5559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR /\ F : NN --> ( RR* X. RR* ) ) -> ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR )
74	66, 72, 73	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR )
75	74	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR )
76		ffn 5550	. . . . . . . . 9 |- ( ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR -> ( (,) o. F ) Fn NN )
77		fniunfv 5953	. . . . . . . . 9 |- ( ( (,) o. F ) Fn NN -> U_ x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) = U. ran ( (,) o. F ) )
78	75, 76, 77	3syl 19	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) = U. ran ( (,) o. F ) )
79	65, 78	sseqtrd 3344	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) C_ U. ran ( (,) o. F ) )
80		frn 5556	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR -> ran ( (,) o. F ) C_ ~P RR )
81	74, 80	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran ( (,) o. F ) C_ ~P RR )
82		sspwuni 4136	. . . . . . . . 9 |- ( ran ( (,) o. F ) C_ ~P RR <-> U. ran ( (,) o. F ) C_ RR )
83	81, 82	sylib 189	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U. ran ( (,) o. F ) C_ RR )
84	83	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U. ran ( (,) o. F ) C_ RR )
85		ovolss 19334	. . . . . . 7 |- ( ( U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) C_ U. ran ( (,) o. F ) /\ U. ran ( (,) o. F ) C_ RR ) -> ( vol * ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
86	79, 84, 85	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol * ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
87	63, 86	eqbrtrd 4192	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
88	87	ralrimiva 2749	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN ( S ` n ) <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
89	8, 3	ovolsf 19322	. . . . . 6 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
90	1, 89	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
91		ffn 5550	. . . . 5 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> S Fn NN )
92		breq1 4175	. . . . . 6 |- ( y = ( S ` n ) -> ( y <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> ( S ` n ) <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
93	92	ralrn 5832	. . . . 5 |- ( S Fn NN -> ( A. y e. ran S y <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> A. n e. NN ( S ` n ) <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
94	90, 91, 93	3syl 19	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. ran S y <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> A. n e. NN ( S ` n ) <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
95	88, 94	mpbird 224	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ran S y <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
96		frn 5556	. . . . . 6 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
97	1, 89, 96	3syl 19	. . . . 5 |- ( ph -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
98		icossxr 10951	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
99	97, 98	syl6ss 3320	. . . 4 |- ( ph -> ran S C_ RR* )
100		ovolcl 19327	. . . . 5 |- ( U. ran ( (,) o. F ) C_ RR -> ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) e. RR* )
101	83, 100	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) e. RR* )
102		supxrleub 10861	. . . 4 |- ( ( ran S C_ RR* /\ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) e. RR* ) -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> A. y e. ran S y <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
103	99, 101, 102	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> A. y e. ran S y <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
104	95, 103	mpbird 224	. 2 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
105		supxrcl 10849	. . . 4 |- ( ran S C_ RR* -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* )
106	99, 105	syl 16	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* )
107		xrletri3 10701	. . 3 |- ( ( ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) e. RR* /\ sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* ) -> ( ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) <-> ( ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) /\ sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) ) )
108	101, 106, 107	syl2anc 643	. 2 |- ( ph -> ( ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) <-> ( ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) /\ sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) ) )
109	5, 104, 108	mpbir2and 889	1 |- ( ph -> ( vol * ` U. ran ( (,) o. F ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   i^i cin 3279   C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   <.cop 3777   U.cuni 3975   U_ciun 4053  Disj wdisj 4142   class class class wbr 4172   X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838   o. ccom 4841   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   Fincfn 7068   supcsup 7403   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   +oocpnf 9073   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   NNcn 9956   ZZ>=cuz 10444   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   ...cfz 10999   seq cseq 11278   abscabs 11994   sum_csu 12434   vol *covol 19312   volcvol 19313

This theorem is referenced by:  uniiccvol  19425  uniioombllem2  19428

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314  df-vol 19315