Theorem uniioovol 21018

Description: A disjoint union of open intervals has volume equal to the sum of the volume of the intervals. (This proof does not use countable choice, unlike voliun 20994.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 213. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.2	|- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
uniioombl.3	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )

Assertion

Ref	Expression
uniioovol	|- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   x, F   ph, x

Allowed substitution hint:   S( x)

Proof of Theorem uniioovol

Dummy variables n y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.1	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
2		ssid 3372	. . 3 |- U. ran ( (,) o. F ) C_ U. ran ( (,) o. F )
3		uniioombl.3	. . . 4 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
4	3	ovollb 20921	. . 3 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ U. ran ( (,) o. F ) C_ U. ran ( (,) o. F ) ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
5	1, 2, 4	sylancl 657	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
6	1	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
7		elfznn 11474	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... n ) -> x e. NN )
8		eqid 2441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) o. F ) = ( ( abs o. - ) o. F )
9	8	ovolfsval 20913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` x ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
10	6, 7, 9	syl2an 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` x ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
11		fvco3 5765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
12	6, 7, 11	syl2an 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
13		inss2 3568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
14		ffvelrn 5838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
15	6, 7, 14	syl2an 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( F ` x ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
16	13, 15	sseldi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( F ` x ) e. ( RR X. RR ) )
17		1st2nd2 6612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` x ) e. ( RR X. RR ) -> ( F ` x ) = <. ( 1st ` ( F ` x ) ) , ( 2nd ` ( F ` x ) ) >. )
18	16, 17	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( F ` x ) = <. ( 1st ` ( F ` x ) ) , ( 2nd ` ( F ` x ) ) >. )
19	18	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( (,) ` ( F ` x ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( F ` x ) ) , ( 2nd ` ( F ` x ) ) >. ) )
20		df-ov 6093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( F ` x ) ) , ( 2nd ` ( F ` x ) ) >. )
21	19, 20	syl6eqr 2491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( (,) ` ( F ` x ) ) = ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) )
22	12, 21	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) = ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) )
23		ioombl 21005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) e. dom vol
24	22, 23	syl6eqel 2529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol )
25		mblvol 20972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol* ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
26	24, 25	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol* ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
27	22	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol* ` ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) ) )
28		ovolfcl 20909	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` x ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) )
29	6, 7, 28	syl2an 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( 1st ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` x ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) )
30		ovolioo 21008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1st ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` x ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
32	26, 27, 31	3eqtrd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
33	10, 32	eqtr4d 2476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` x ) = ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
34		simpr 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
35		nnuz 10892	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
36	34, 35	syl6eleq 2531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
37	29	simp2d 996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( 2nd ` ( F ` x ) ) e. RR )
38	29	simp1d 995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( 1st ` ( F ` x ) ) e. RR )
39	37, 38	resubcld 9772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) e. RR )
40	32, 39	eqeltrd 2515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. RR )
41	40	recnd 9408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. CC )
42	33, 36, 41	fsumser 13203	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ x e. ( 1 ... n ) ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` n ) )
43	3	fveq1i 5689	. . . . . . . 8 |- ( S ` n ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` n )
44	42, 43	syl6reqr 2492	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) = sum_ x e. ( 1 ... n ) ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
45		fzfid 11791	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
46	24, 40	jca 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol /\ ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. RR ) )
47	46	ralrimiva 2797	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. x e. ( 1 ... n ) ( ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol /\ ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. RR ) )
48	7	ssriv 3357	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... n ) C_ NN
49		uniioombl.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
50	1, 11	sylan 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
51	50	disjeq2dv 4264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Disj x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) <-> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) ) )
52	49, 51	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Disj x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) )
53	52	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Disj x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) )
54		disjss1 4265	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... n ) C_ NN -> (Disj x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) -> Disj x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
55	48, 53, 54	mpsyl 63	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Disj x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) )
56		volfiniun 20987	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... n ) e. Fin /\ A. x e. ( 1 ... n ) ( ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol /\ ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. RR ) /\ Disj x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) -> ( vol ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = sum_ x e. ( 1 ... n ) ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
57	45, 47, 55, 56	syl3anc 1213	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = sum_ x e. ( 1 ... n ) ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
58	24	ralrimiva 2797	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol )
59		finiunmbl 20984	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... n ) e. Fin /\ A. x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol ) -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol )
60	45, 58, 59	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol )
61		mblvol 20972	. . . . . . . 8 |- ( U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol -> ( vol ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol* ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
62	60, 61	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol* ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
63	44, 57, 62	3eqtr2d 2479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) = ( vol* ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
64		iunss1 4179	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... n ) C_ NN -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) C_ U_ x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) )
65	48, 64	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) C_ U_ x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) )
66		ioof 11383	. . . . . . . . . . 11 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
67		rexpssxrxp 9424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
68	13, 67	sstri 3362	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* )
69		fss 5564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
70	1, 68, 69	sylancl 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
71		fco 5565	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR /\ F : NN --> ( RR* X. RR* ) ) -> ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR )
72	66, 70, 71	sylancr 658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR )
73	72	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR )
74		ffn 5556	. . . . . . . . 9 |- ( ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR -> ( (,) o. F ) Fn NN )
75		fniunfv 5961	. . . . . . . . 9 |- ( ( (,) o. F ) Fn NN -> U_ x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) = U. ran ( (,) o. F ) )
76	73, 74, 75	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) = U. ran ( (,) o. F ) )
77	65, 76	sseqtrd 3389	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) C_ U. ran ( (,) o. F ) )
78		frn 5562	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR -> ran ( (,) o. F ) C_ ~P RR )
79	72, 78	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran ( (,) o. F ) C_ ~P RR )
80		sspwuni 4253	. . . . . . . . 9 |- ( ran ( (,) o. F ) C_ ~P RR <-> U. ran ( (,) o. F ) C_ RR )
81	79, 80	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U. ran ( (,) o. F ) C_ RR )
82	81	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U. ran ( (,) o. F ) C_ RR )
83		ovolss 20927	. . . . . . 7 |- ( ( U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) C_ U. ran ( (,) o. F ) /\ U. ran ( (,) o. F ) C_ RR ) -> ( vol* ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
84	77, 82, 83	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol* ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
85	63, 84	eqbrtrd 4309	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
86	85	ralrimiva 2797	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN ( S ` n ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
87	8, 3	ovolsf 20915	. . . . . 6 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
88	1, 87	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
89		ffn 5556	. . . . 5 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> S Fn NN )
90		breq1 4292	. . . . . 6 |- ( y = ( S ` n ) -> ( y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> ( S ` n ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
91	90	ralrn 5843	. . . . 5 |- ( S Fn NN -> ( A. y e. ran S y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> A. n e. NN ( S ` n ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
92	88, 89, 91	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. ran S y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> A. n e. NN ( S ` n ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
93	86, 92	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ran S y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
94		frn 5562	. . . . . 6 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
95	1, 87, 94	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
96		icossxr 11376	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
97	95, 96	syl6ss 3365	. . . 4 |- ( ph -> ran S C_ RR* )
98		ovolcl 20920	. . . . 5 |- ( U. ran ( (,) o. F ) C_ RR -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) e. RR* )
99	81, 98	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) e. RR* )
100		supxrleub 11285	. . . 4 |- ( ( ran S C_ RR* /\ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) e. RR* ) -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> A. y e. ran S y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
101	97, 99, 100	syl2anc 656	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> A. y e. ran S y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
102	93, 101	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
103		supxrcl 11273	. . . 4 |- ( ran S C_ RR* -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* )
104	97, 103	syl 16	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* )
105		xrletri3 11125	. . 3 |- ( ( ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) e. RR* /\ sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* ) -> ( ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) <-> ( ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) /\ sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) ) )
106	99, 104, 105	syl2anc 656	. 2 |- ( ph -> ( ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) <-> ( ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) /\ sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) ) )
107	5, 102, 106	mpbir2and 908	1 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   i^i cin 3324   C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   <.cop 3880   U.cuni 4088   U_ciun 4168  Disj wdisj 4259   class class class wbr 4289   X. cxp 4834   dom cdm 4836   ran crn 4837   o. ccom 4840   Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   1stc1st 6574   2ndc2nd 6575   Fincfn 7306   supcsup 7686   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   NNcn 10318   ZZ>=cuz 10857   (,)cioo 11296   [,)cico 11298   ...cfz 11433   seqcseq 11802   abscabs 12719   sum_csu 13159   vol*covol 20905   volcvol 20906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cmp 18949  df-ovol 20907  df-vol 20908

This theorem is referenced by:  uniiccvol  21019  uniioombllem2  21022