Theorem uniioovol 22584

Description: A disjoint union of open intervals has volume equal to the sum of the volume of the intervals. (This proof does not use countable choice, unlike voliun 22555.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 213. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.2	|- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
uniioombl.3	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )

Assertion

Ref	Expression
uniioovol	|- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   x, F   ph, x

Allowed substitution hint:   S( x)

Proof of Theorem uniioovol

Dummy variables n y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.1	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
2		ssid 3462	. . 3 |- U. ran ( (,) o. F ) C_ U. ran ( (,) o. F )
3		uniioombl.3	. . . 4 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
4	3	ovollb 22480	. . 3 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ U. ran ( (,) o. F ) C_ U. ran ( (,) o. F ) ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
5	1, 2, 4	sylancl 673	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
6	1	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
7		elfznn 11856	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... n ) -> x e. NN )
8		eqid 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) o. F ) = ( ( abs o. - ) o. F )
9	8	ovolfsval 22471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` x ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
10	6, 7, 9	syl2an 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` x ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
11		fvco3 5964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
12	6, 7, 11	syl2an 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
13		inss2 3664	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
14		ffvelrn 6042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
15	6, 7, 14	syl2an 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( F ` x ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
16	13, 15	sseldi 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( F ` x ) e. ( RR X. RR ) )
17		1st2nd2 6856	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` x ) e. ( RR X. RR ) -> ( F ` x ) = <. ( 1st ` ( F ` x ) ) , ( 2nd ` ( F ` x ) ) >. )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( F ` x ) = <. ( 1st ` ( F ` x ) ) , ( 2nd ` ( F ` x ) ) >. )
19	18	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( (,) ` ( F ` x ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( F ` x ) ) , ( 2nd ` ( F ` x ) ) >. ) )
20		df-ov 6317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( F ` x ) ) , ( 2nd ` ( F ` x ) ) >. )
21	19, 20	syl6eqr 2513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( (,) ` ( F ` x ) ) = ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) )
22	12, 21	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) = ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) )
23		ioombl 22566	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) e. dom vol
24	22, 23	syl6eqel 2547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol )
25		mblvol 22532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol* ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol* ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
27	22	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol* ` ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) ) )
28		ovolfcl 22467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` x ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) )
29	6, 7, 28	syl2an 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( 1st ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` x ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) )
30		ovolioo 22569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1st ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` x ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` x ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( F ` x ) ) (,) ( 2nd ` ( F ` x ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
32	26, 27, 31	3eqtrd 2499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) )
33	10, 32	eqtr4d 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` x ) = ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
34		simpr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
35		nnuz 11222	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
36	34, 35	syl6eleq 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
37	29	simp2d 1027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( 2nd ` ( F ` x ) ) e. RR )
38	29	simp1d 1026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( 1st ` ( F ` x ) ) e. RR )
39	37, 38	resubcld 10074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( 2nd ` ( F ` x ) ) - ( 1st ` ( F ` x ) ) ) e. RR )
40	32, 39	eqeltrd 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. RR )
41	40	recnd 9694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. CC )
42	33, 36, 41	fsumser 13844	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ x e. ( 1 ... n ) ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` n ) )
43	3	fveq1i 5888	. . . . . . . 8 |- ( S ` n ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` n )
44	42, 43	syl6reqr 2514	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) = sum_ x e. ( 1 ... n ) ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
45		fzfid 12217	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
46	24, 40	jca 539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol /\ ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. RR ) )
47	46	ralrimiva 2813	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. x e. ( 1 ... n ) ( ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol /\ ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. RR ) )
48	7	ssriv 3447	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... n ) C_ NN
49		uniioombl.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
50	1, 11	sylan 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` x ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
51	50	disjeq2dv 4391	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Disj x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) <-> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) ) )
52	49, 51	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Disj x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) )
53	52	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Disj x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) )
54		disjss1 4392	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... n ) C_ NN -> (Disj x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) -> Disj x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
55	48, 53, 54	mpsyl 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Disj x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) )
56		volfiniun 22548	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... n ) e. Fin /\ A. x e. ( 1 ... n ) ( ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol /\ ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) e. RR ) /\ Disj x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) -> ( vol ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = sum_ x e. ( 1 ... n ) ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
57	45, 47, 55, 56	syl3anc 1276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = sum_ x e. ( 1 ... n ) ( vol ` ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
58	24	ralrimiva 2813	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol )
59		finiunmbl 22545	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... n ) e. Fin /\ A. x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol ) -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol )
60	45, 58, 59	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol )
61		mblvol 22532	. . . . . . . 8 |- ( U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) e. dom vol -> ( vol ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol* ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) = ( vol* ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
63	44, 57, 62	3eqtr2d 2501	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) = ( vol* ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) )
64		iunss1 4303	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... n ) C_ NN -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) C_ U_ x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) )
65	48, 64	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) C_ U_ x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) )
66		ioof 11760	. . . . . . . . . . 11 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
67		rexpssxrxp 9710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
68	13, 67	sstri 3452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* )
69		fss 5759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
70	1, 68, 69	sylancl 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
71		fco 5761	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR /\ F : NN --> ( RR* X. RR* ) ) -> ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR )
72	66, 70, 71	sylancr 674	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR )
73	72	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR )
74		ffn 5750	. . . . . . . . 9 |- ( ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR -> ( (,) o. F ) Fn NN )
75		fniunfv 6176	. . . . . . . . 9 |- ( ( (,) o. F ) Fn NN -> U_ x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) = U. ran ( (,) o. F ) )
76	73, 74, 75	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ x e. NN ( ( (,) o. F ) ` x ) = U. ran ( (,) o. F ) )
77	65, 76	sseqtrd 3479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) C_ U. ran ( (,) o. F ) )
78		frn 5757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (,) o. F ) : NN --> ~P RR -> ran ( (,) o. F ) C_ ~P RR )
79	72, 78	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran ( (,) o. F ) C_ ~P RR )
80		sspwuni 4380	. . . . . . . . 9 |- ( ran ( (,) o. F ) C_ ~P RR <-> U. ran ( (,) o. F ) C_ RR )
81	79, 80	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U. ran ( (,) o. F ) C_ RR )
82	81	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U. ran ( (,) o. F ) C_ RR )
83		ovolss 22486	. . . . . . 7 |- ( ( U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) C_ U. ran ( (,) o. F ) /\ U. ran ( (,) o. F ) C_ RR ) -> ( vol* ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
84	77, 82, 83	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol* ` U_ x e. ( 1 ... n ) ( ( (,) o. F ) ` x ) ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
85	63, 84	eqbrtrd 4436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ` n ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
86	85	ralrimiva 2813	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN ( S ` n ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
87	8, 3	ovolsf 22473	. . . . . 6 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
88	1, 87	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
89		ffn 5750	. . . . 5 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> S Fn NN )
90		breq1 4418	. . . . . 6 |- ( y = ( S ` n ) -> ( y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> ( S ` n ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
91	90	ralrn 6047	. . . . 5 |- ( S Fn NN -> ( A. y e. ran S y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> A. n e. NN ( S ` n ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
92	88, 89, 91	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. ran S y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> A. n e. NN ( S ` n ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
93	86, 92	mpbird 240	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ran S y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
94		frn 5757	. . . . . 6 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
95	1, 87, 94	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
96		icossxr 11747	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
97	95, 96	syl6ss 3455	. . . 4 |- ( ph -> ran S C_ RR* )
98		ovolcl 22479	. . . . 5 |- ( U. ran ( (,) o. F ) C_ RR -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) e. RR* )
99	81, 98	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) e. RR* )
100		supxrleub 11640	. . . 4 |- ( ( ran S C_ RR* /\ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) e. RR* ) -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> A. y e. ran S y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
101	97, 99, 100	syl2anc 671	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <-> A. y e. ran S y <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) )
102	93, 101	mpbird 240	. 2 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) )
103		supxrcl 11628	. . . 4 |- ( ran S C_ RR* -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* )
104	97, 103	syl 17	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* )
105		xrletri3 11479	. . 3 |- ( ( ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) e. RR* /\ sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* ) -> ( ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) <-> ( ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) /\ sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) ) )
106	99, 104, 105	syl2anc 671	. 2 |- ( ph -> ( ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) <-> ( ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) /\ sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) ) ) )
107	5, 102, 106	mpbir2and 938	1 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. F ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1454   e. wcel 1897   A.wral 2748   i^i cin 3414   C_ wss 3415   ~Pcpw 3962   <.cop 3985   U.cuni 4211   U_ciun 4291  Disj wdisj 4386   class class class wbr 4415   X. cxp 4850   dom cdm 4852   ran crn 4853   o. ccom 4856   Fn wfn 5595   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   1stc1st 6817   2ndc2nd 6818   Fincfn 7594   supcsup 7979   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565   + caddc 9567   +oocpnf 9697   RR*cxr 9699   < clt 9700   <_ cle 9701   - cmin 9885   NNcn 10636   ZZ>=cuz 11187   (,)cioo 11663   [,)cico 11665   ...cfz 11812   seqcseq 12244   abscabs 13345   sum_csu 13800   vol*covol 22461   volcvol 22463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-disj 4387  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-rest 15369  df-topgen 15390  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-cmp 20450  df-ovol 22464  df-vol 22466

This theorem is referenced by:  uniiccvol  22585  uniioombllem2  22588  uniioombllem2OLD  22589