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Theorem uniioovol 22584
Description: A disjoint union of open intervals has volume equal to the sum of the volume of the intervals. (This proof does not use countable choice, unlike voliun 22555.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 213. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
Assertion
Ref Expression
uniioovol  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem uniioovol
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniioombl.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2 ssid 3462 . . 3  |-  U. ran  ( (,)  o.  F ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  F )
3 uniioombl.3 . . . 4  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
43ovollb 22480 . . 3  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U. ran  ( (,)  o.  F
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  ->  ( vol* `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
51, 2, 4sylancl 673 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
61adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
7 elfznn 11856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... n )  ->  x  e.  NN )
8 eqid 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
98ovolfsval 22471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  x )  =  ( ( 2nd `  ( F `  x
) )  -  ( 1st `  ( F `  x ) ) ) )
106, 7, 9syl2an 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  x )  =  ( ( 2nd `  ( F `  x
) )  -  ( 1st `  ( F `  x ) ) ) )
11 fvco3 5964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  x )  =  ( (,) `  ( F `  x )
) )
126, 7, 11syl2an 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  x )  =  ( (,) `  ( F `  x )
) )
13 inss2 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
14 ffvelrn 6042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( F `  x )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
156, 7, 14syl2an 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  x )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
1613, 15sseldi 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  x )  e.  ( RR  X.  RR ) )
17 1st2nd2 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( F `
 x )  = 
<. ( 1st `  ( F `  x )
) ,  ( 2nd `  ( F `  x
) ) >. )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  x )  =  <. ( 1st `  ( F `  x )
) ,  ( 2nd `  ( F `  x
) ) >. )
1918fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( (,) `  ( F `  x ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `
 x ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  x )
) >. ) )
20 df-ov 6317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1st `  ( F `
 x ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  x )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( F `  x ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  x )
) >. )
2119, 20syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( (,) `  ( F `  x ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  x )
) (,) ( 2nd `  ( F `  x
) ) ) )
2212, 21eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  x )  =  ( ( 1st `  ( F `  x
) ) (,) ( 2nd `  ( F `  x ) ) ) )
23 ioombl 22566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  ( F `
 x ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  x )
) )  e.  dom  vol
2422, 23syl6eqel 2547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  x )  e.  dom  vol )
25 mblvol 22532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (,)  o.  F
) `  x )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  =  ( vol* `  (
( (,)  o.  F
) `  x )
) )
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol `  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )  =  ( vol* `  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) ) )
2722fveq2d 5891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol* `  ( ( (,)  o.  F ) `
 x ) )  =  ( vol* `  ( ( 1st `  ( F `  x )
) (,) ( 2nd `  ( F `  x
) ) ) ) )
28 ovolfcl 22467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  x )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 x ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  x ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  x )
) ) )
296, 7, 28syl2an 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 1st `  ( F `  x )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 x ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  x ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  x )
) ) )
30 ovolioo 22569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  x )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 x ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  x ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  x )
) )  ->  ( vol* `  ( ( 1st `  ( F `
 x ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  x )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  x )
)  -  ( 1st `  ( F `  x
) ) ) )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol* `  ( ( 1st `  ( F `
 x ) ) (,) ( 2nd `  ( F `  x )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  x )
)  -  ( 1st `  ( F `  x
) ) ) )
3226, 27, 313eqtrd 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol `  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  x )
)  -  ( 1st `  ( F `  x
) ) ) )
3310, 32eqtr4d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  x )  =  ( vol `  (
( (,)  o.  F
) `  x )
) )
34 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
35 nnuz 11222 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3634, 35syl6eleq 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3729simp2d 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 2nd `  ( F `  x ) )  e.  RR )
3829simp1d 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 1st `  ( F `  x ) )  e.  RR )
3937, 38resubcld 10074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 2nd `  ( F `  x )
)  -  ( 1st `  ( F `  x
) ) )  e.  RR )
4032, 39eqeltrd 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol `  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )  e.  RR )
4140recnd 9694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol `  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )  e.  CC )
4233, 36, 41fsumser 13844 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ x  e.  ( 1 ... n
) ( vol `  (
( (,)  o.  F
) `  x )
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) ) `  n
) )
433fveq1i 5888 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 n )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) ) `  n )
4442, 43syl6reqr 2514 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S `
 n )  = 
sum_ x  e.  (
1 ... n ) ( vol `  ( ( (,)  o.  F ) `
 x ) ) )
45 fzfid 12217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
4624, 40jca 539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( ( (,)  o.  F ) `  x
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( (,)  o.  F
) `  x )
)  e.  RR ) )
4746ralrimiva 2813 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. x  e.  ( 1 ... n
) ( ( ( (,)  o.  F ) `
 x )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  e.  RR ) )
487ssriv 3447 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
49 uniioombl.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `  x ) ) )
501, 11sylan 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( (,)  o.  F ) `
 x )  =  ( (,) `  ( F `  x )
) )
5150disjeq2dv 4391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Disj  x  e.  NN  ( ( (,)  o.  F ) `  x
)  <-> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `  x ) ) ) )
5249, 51mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN  (
( (,)  o.  F
) `  x )
)
5352adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  x  e.  NN  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )
54 disjss1 4392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  NN  ->  (Disj  x  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  -> Disj  x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) ) )
5548, 53, 54mpsyl 65 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Disj  x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )
56 volfiniun 22548 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( 1 ... n ) ( ( ( (,)  o.  F ) `  x
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( (,)  o.  F
) `  x )
)  e.  RR )  /\ Disj  x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F
) `  x )
)  ->  ( vol ` 
U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  =  sum_ x  e.  ( 1 ... n ) ( vol `  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) ) )
5745, 47, 55, 56syl3anc 1276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  =  sum_ x  e.  ( 1 ... n ) ( vol `  ( ( (,)  o.  F ) `  x
) ) )
5824ralrimiva 2813 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  e.  dom  vol )
59 finiunmbl 22545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F
) `  x )  e.  dom  vol )  ->  U_ x  e.  (
1 ... n ) ( ( (,)  o.  F
) `  x )  e.  dom  vol )
6045, 58, 59syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  e.  dom  vol )
61 mblvol 22532 . . . . . . . 8  |-  ( U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F
) `  x )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  =  ( vol* `  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) ) )
6260, 61syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  =  ( vol* `  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) ) )
6344, 57, 623eqtr2d 2501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S `
 n )  =  ( vol* `  U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F
) `  x )
) )
64 iunss1 4303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  NN  ->  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  C_  U_ x  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )
6548, 64mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  C_  U_ x  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )
66 ioof 11760 . . . . . . . . . . 11  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
67 rexpssxrxp 9710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
6813, 67sstri 3452 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
69 fss 5759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
701, 68, 69sylancl 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
71 fco 5761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
7266, 70, 71sylancr 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  F
) : NN --> ~P RR )
7372adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  F ) : NN --> ~P RR )
74 ffn 5750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  ( (,)  o.  F
)  Fn  NN )
75 fniunfv 6176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (,)  o.  F )  Fn  NN  ->  U_ x  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
7673, 74, 753syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ x  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
7765, 76sseqtrd 3479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x )  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
78 frn 5757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (,)  o.  F ) : NN --> ~P RR  ->  ran  ( (,)  o.  F )  C_  ~P RR )
7972, 78syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  ( (,)  o.  F )  C_  ~P RR )
80 sspwuni 4380 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  ( (,)  o.  F
)  C_  ~P RR  <->  U.
ran  ( (,)  o.  F )  C_  RR )
8179, 80sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  F )  C_  RR )
8281adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U. ran  ( (,)  o.  F ) 
C_  RR )
83 ovolss 22486 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  /\  U.
ran  ( (,)  o.  F )  C_  RR )  ->  ( vol* `  U_ x  e.  ( 1 ... n ) ( ( (,)  o.  F ) `  x
) )  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )
8477, 82, 83syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ x  e.  ( 1 ... n
) ( ( (,) 
o.  F ) `  x ) )  <_ 
( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )
8563, 84eqbrtrd 4436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S `
 n )  <_ 
( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )
8685ralrimiva 2813 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( S `  n )  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) )
878, 3ovolsf 22473 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
881, 87syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
89 ffn 5750 . . . . 5  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  S  Fn  NN )
90 breq1 4418 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( S `  n )  ->  (
y  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  <-> 
( S `  n
)  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) )
9190ralrn 6047 . . . . 5  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. y  e.  ran  S  y  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  <->  A. n  e.  NN  ( S `  n )  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) ) ) )
9288, 89, 913syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  S  y  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F
) )  <->  A. n  e.  NN  ( S `  n )  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) )
9386, 92mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  S  y  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )
94 frn 5757 . . . . . 6  |-  ( S : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  S  C_  ( 0 [,) +oo ) )
951, 87, 943syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (
0 [,) +oo )
)
96 icossxr 11747 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
9795, 96syl6ss 3455 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
98 ovolcl 22479 . . . . 5  |-  ( U. ran  ( (,)  o.  F
)  C_  RR  ->  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F
) )  e.  RR* )
9981, 98syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  e. 
RR* )
100 supxrleub 11640 . . . 4  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) )  <->  A. y  e.  ran  S  y  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) )
10197, 99, 100syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) )  <->  A. y  e.  ran  S  y  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) )
10293, 101mpbird 240 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) )
103 supxrcl 11628 . . . 4  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
10497, 103syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
105 xrletri3 11479 . . 3  |-  ( ( ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_ 
( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) ) )
10699, 104, 105syl2anc 671 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) )  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( vol* `  U. ran  ( (,) 
o.  F ) )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) ) ) ) )
1075, 102, 106mpbir2and 938 1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  F ) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748    i^i cin 3414    C_ wss 3415   ~Pcpw 3962   <.cop 3985   U.cuni 4211   U_ciun 4291  Disj wdisj 4386   class class class wbr 4415    X. cxp 4850   dom cdm 4852   ran crn 4853    o. ccom 4856    Fn wfn 5595   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   1stc1st 6817   2ndc2nd 6818   Fincfn 7594   supcsup 7979   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565    + caddc 9567   +oocpnf 9697   RR*cxr 9699    < clt 9700    <_ cle 9701    - cmin 9885   NNcn 10636   ZZ>=cuz 11187   (,)cioo 11663   [,)cico 11665   ...cfz 11812    seqcseq 12244   abscabs 13345   sum_csu 13800   vol*covol 22461   volcvol 22463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-disj 4387  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-rest 15369  df-topgen 15390  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-cmp 20450  df-ovol 22464  df-vol 22466
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