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Theorem uniioombllem6 22625
Description: Lemma for uniioombl 22626. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.2 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
uniioombl.3 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
uniioombl.a |- A = U. ran ( (,) o. F )
uniioombl.e |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
uniioombl.c |- ( ph -> C e. RR+ )
uniioombl.g |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.s |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
uniioombl.t |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
uniioombl.v |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem6 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, A   x, C   ph, x   x, T
Allowed substitution hints:   S( x)   E( x)
Proof of Theorem uniioombllem6
Dummy variables a i j k n y z m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11218 . . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2 1zzd 10992 . . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3 uniioombl.c . . . 4 |- ( ph -> C e. RR+ )
4 eqidd 2472 . . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( T ` m ) = ( T ` m ) )
5 uniioombl.t . . . . . 6 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
6 eqidd 2472 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) = ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) )
7 uniioombl.g . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
8 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs o. - ) o. G ) = ( ( abs o. - ) o. G )
98ovolfsf 22502 . . . . . . . . . 10 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. G ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) o. G ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
1110ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. ( 0 [,) +oo ) )
12 elrege0 11764 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) ) )
1311, 12sylib 201 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) ) )
1413simpld 466 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. RR )
1513simprd 470 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) )
16 uniioombl.1 . . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
17 uniioombl.2 . . . . . . . 8 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
18 uniioombl.3 . . . . . . . 8 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
19 uniioombl.a . . . . . . . 8 |- A = U. ran ( (,) o. F )
20 uniioombl.e . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
21 uniioombl.s . . . . . . . 8 |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
22 uniioombl.v . . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
2316, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5, 22uniioombllem1 22617 . . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR )
248, 5ovolsf 22503 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
257, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
26 frn 5747 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
28 icossxr 11744 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
2927, 28syl6ss 3430 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran T C_ RR* )
30 supxrub 11635 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ran T C_ RR* /\ x e. ran T ) -> x <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
3129, 30sylan 479 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ran T ) -> x <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
3231ralrimiva 2809 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
33 ffn 5739 . . . . . . . . . 10 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> T Fn NN )
3425, 33syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> T Fn NN )
35 breq1 4398 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( T ` m ) -> ( x <_ sup ( ran T , RR* , < ) <-> ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
3635ralrn 6040 . . . . . . . . 9 |- ( T Fn NN -> ( A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) <-> A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
3734, 36syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) <-> A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
3832, 37mpbid 215 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
39 breq2 4399 . . . . . . . . 9 |- ( x = sup ( ran T , RR* , < ) -> ( ( T ` m ) <_ x <-> ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
4039ralbidv 2829 . . . . . . . 8 |- ( x = sup ( ran T , RR* , < ) -> ( A. m e. NN ( T ` m ) <_ x <-> A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
4140rspcev 3136 . . . . . . 7 |- ( ( sup ( ran T , RR* , < ) e. RR /\ A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) -> E. x e. RR A. m e. NN ( T ` m ) <_ x )
4223, 38, 41syl2anc 673 . . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. RR A. m e. NN ( T ` m ) <_ x )
431, 5, 2, 6, 14, 15, 42isumsup2 13981 . . . . 5 |- ( ph -> T ~~> sup ( ran T , RR , < ) )
44 rge0ssre 11766 . . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
4527, 44syl6ss 3430 . . . . . 6 |- ( ph -> ran T C_ RR )
46 1nn 10642 . . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
47 fdm 5745 . . . . . . . . . 10 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> dom T = NN )
4825, 47syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom T = NN )
4946, 48syl5eleqr 2556 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. dom T )
50 ne0i 3728 . . . . . . . 8 |- ( 1 e. dom T -> dom T =/= (/) )
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> dom T =/= (/) )
52 dm0rn0 5057 . . . . . . . 8 |- ( dom T = (/) <-> ran T = (/) )
5352necon3bii 2695 . . . . . . 7 |- ( dom T =/= (/) <-> ran T =/= (/) )
5451, 53sylib 201 . . . . . 6 |- ( ph -> ran T =/= (/) )
55 breq2 4399 . . . . . . . . 9 |- ( y = sup ( ran T , RR* , < ) -> ( x <_ y <-> x <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
5655ralbidv 2829 . . . . . . . 8 |- ( y = sup ( ran T , RR* , < ) -> ( A. x e. ran T x <_ y <-> A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
5756rspcev 3136 . . . . . . 7 |- ( ( sup ( ran T , RR* , < ) e. RR /\ A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) -> E. y e. RR A. x e. ran T x <_ y )
5823, 32, 57syl2anc 673 . . . . . 6 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ran T x <_ y )
59 supxrre 11638 . . . . . 6 |- ( ( ran T C_ RR /\ ran T =/= (/) /\ E. y e. RR A. x e. ran T x <_ y ) -> sup ( ran T , RR* , < ) = sup ( ran T , RR , < ) )
6045, 54, 58, 59syl3anc 1292 . . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) = sup ( ran T , RR , < ) )
6143, 60breqtrrd 4422 . . . 4 |- ( ph -> T ~~> sup ( ran T , RR* , < ) )
621, 2, 3, 4, 61climi2 13652 . . 3 |- ( ph -> E. j e. NN A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
631r19.2uz 13491 . . 3 |- ( E. j e. NN A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C -> E. m e. NN ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
6462, 63syl 17 . 2 |- ( ph -> E. m e. NN ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
65 1zzd 10992 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> 1 e. ZZ )
663ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> C e. RR+ )
67 simplrl 778 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> m e. NN )
6867nnrpd 11362 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> m e. RR+ )
6966, 68rpdivcld 11381 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( C / m ) e. RR+ )
70 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (,) ` ( F ` z ) ) e. _V
7170inex1 4537 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. _V
7271rgenw 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 |- A. z e. NN ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. _V
73 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
7473fnmpt 5714 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. NN ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. _V -> ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) Fn NN )
7572, 74mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) Fn NN )
76 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 1 ... n ) -> i e. NN )
77 fvco2 5955 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) Fn NN /\ i e. NN ) -> ( ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ` i ) = ( vol* ` ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) ) )
7875, 76, 77syl2an 485 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ` i ) = ( vol* ` ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) ) )
7976adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> i e. NN )
80 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = i -> ( F ` z ) = ( F ` i ) )
8180fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = i -> ( (,) ` ( F ` z ) ) = ( (,) ` ( F ` i ) ) )
8281ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = i -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
83 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (,) ` ( F ` i ) ) e. _V
8483inex1 4537 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. _V
8582, 73, 84fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. NN -> ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) = ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
8679, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) = ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
8786fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
8878, 87eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ` i ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
89 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
9089, 1syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
91 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) ) )
93 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
947adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
95 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 1 ... m ) -> j e. NN )
96 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ j e. NN ) -> ( G ` j ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
9794, 95, 96syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( G ` j ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
9893, 97sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( G ` j ) e. ( RR X. RR ) )
99 1st2nd2 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G ` j ) e. ( RR X. RR ) -> ( G ` j ) = <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( G ` j ) = <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
101100fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. ) )
102 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
103101, 102syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) = ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
104 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) C_ RR
105103, 104syl6eqss 3468 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR )
106105ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR )
107103fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) ) )
108 ovolfcl 22497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
10994, 95, 108syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
110 ovolioo 22600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
112107, 111eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
113109simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR )
114109simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR )
115113, 114resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
116112, 115eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
117116ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
118 ovolsscl 22517 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) ) /\ ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
11992, 106, 117, 118syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
120119recnd 9687 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. CC )
12188, 90, 120fsumser 13873 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ` n ) )
122121eqcomd 2477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ` n ) = sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
123 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = k -> ( F ` z ) = ( F ` k ) )
124123fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = k -> ( (,) ` ( F ` z ) ) = ( (,) ` ( F ` k ) ) )
125124ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = k -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` k ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
126125cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( k e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` k ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
127 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( z = (/) <-> x = (/) ) )
128 infeq1 8010 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> inf ( z , RR* , < ) = inf ( x , RR* , < ) )
129 supeq1 7977 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> sup ( z , RR* , < ) = sup ( x , RR* , < ) )
130128, 129opeq12d 4166 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> <.inf ( z , RR* , < ) , sup ( z , RR* , < ) >. = <.inf ( x , RR* , < ) , sup ( x , RR* , < ) >. )
131127, 130ifbieq2d 3897 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> if ( z = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( z , RR* , < ) , sup ( z , RR* , < ) >. ) = if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( x , RR* , < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )
132131cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ran (,) |-> if ( z = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( z , RR* , < ) , sup ( z , RR* , < ) >. ) ) = ( x e. ran (,) |-> if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( x , RR* , < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )
13316, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5, 22, 126, 132uniioombllem2 22619 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) )
13495, 133sylan2 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) )
135134adantlr 729 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) )
1361, 65, 69, 122, 135climi2 13652 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
137 1z 10991 . . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
1381rexuz3 13488 . . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) )
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
140136, 139sylib 201 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
141140ralrimiva 2809 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> A. j e. ( 1 ... m ) E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
142 fzfi 12223 . . . . . . 7 |- ( 1 ... m ) e. Fin
143 rexfiuz 13487 . . . . . . 7 |- ( ( 1 ... m ) e. Fin -> ( E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> A. j e. ( 1 ... m ) E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) )
144142, 143ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> A. j e. ( 1 ... m ) E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
145141, 144sylibr 217 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
1461rexuz3 13488 . . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ -> ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) )
147137, 146ax-mp 5 . . . . 5 |- ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
148145, 147sylibr 217 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
1491r19.2uz 13491 . . . 4 |- ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) -> E. n e. NN A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
150148, 149syl 17 . . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> E. n e. NN A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
15116adantr 472 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
15217adantr 472 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
15320adantr 472 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> ( vol* ` E ) e. RR )
1543adantr 472 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> C e. RR+ )
1557adantr 472 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
15621adantr 472 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
15722adantr 472 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
158 simprll 780 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> m e. NN )
159 simprlr 781 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
160 eqid 2471 . . . . 5 |- U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... m ) ) = U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... m ) )
161 simprrl 782 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> n e. NN )
162 simprrr 783 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
163 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = z -> ( F ` i ) = ( F ` z ) )
164163fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = z -> ( (,) ` ( F ` i ) ) = ( (,) ` ( F ` z ) ) )
165164ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = z -> ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
166165fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = z -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
167166cbvsumv 13839 . . . . . . . . . . 11 |- sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
168 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> ( G ` j ) = ( G ` k ) )
169168fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> ( (,) ` ( G ` j ) ) = ( (,) ` ( G ` k ) ) )
170169ineq2d 3625 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = k -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) )
171170fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) )
172171sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) )
173167, 172syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) )
174169ineq1d 3624 . . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) = ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) )
175174fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) )
176173, 175oveq12d 6326 . . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) = ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) )
177176fveq2d 5883 . . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) = ( abs ` ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) ) )
178177breq1d 4405 . . . . . . 7 |- ( j = k -> ( ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> ( abs ` ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) )
179178cbvralv 3005 . . . . . 6 |- ( A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> A. k e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
180162, 179sylib 201 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> A. k e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
181 eqid 2471 . . . . 5 |- U. ( ( (,) o. F ) " ( 1 ... n ) ) = U. ( ( (,) o. F ) " ( 1 ... n ) )
182151, 152, 18, 19, 153, 154, 155, 156, 5, 157, 158, 159, 160, 161, 180, 181uniioombllem5 22624 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
183182anassrs 660 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
184150, 183rexlimddv 2875 . 2 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
18564, 184rexlimddv 2875 1 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   <.cop 3965   U.cuni 4190  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   o. ccom 4843   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   Fincfn 7587   supcsup 7972  infcinf 7973   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   4c4 10683   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   [,)cico 11662   ...cfz 11810   seqcseq 12251   abscabs 13374   ~~> cli 13625   sum_csu 13829   vol*covol 22491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496
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