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Theorem uniioombllem6 21068
Description: Lemma for uniioombl 21069. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
uniioombl.a  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
uniioombl.e  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
uniioombl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
uniioombl.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.s  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
uniioombl.t  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
uniioombl.v  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem6  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol* `  ( E  \  A ) ) )  <_  ( ( vol* `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, A    x, C    ph, x    x, T
Allowed substitution hints:    S( x)    E( x)

Proof of Theorem uniioombllem6
Dummy variables  a 
i  j  k  n  y  z  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10896 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10677 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 uniioombl.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
4 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( T `
 m )  =  ( T `  m
) )
5 uniioombl.t . . . . . 6  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
6 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  a )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  a )
)
7 uniioombl.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
8 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
98ovolfsf 20955 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  G ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
107, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
1110ffvelrnda 5843 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  a )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
12 elrege0 11392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  a )  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  a
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  a
) ) )
1311, 12sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  a )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) `  a
) ) )
1413simpld 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  a )  e.  RR )
1513simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) `  a
) )
16 uniioombl.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
17 uniioombl.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `  x ) ) )
18 uniioombl.3 . . . . . . . 8  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
19 uniioombl.a . . . . . . . 8  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
20 uniioombl.e . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
21 uniioombl.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
22 uniioombl.v . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
2316, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5, 22uniioombllem1 21061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
248, 5ovolsf 20956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
257, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
26 frn 5565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  T  C_  ( 0 [,) +oo ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  (
0 [,) +oo )
)
28 icossxr 11380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
2927, 28syl6ss 3368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  RR* )
30 supxrub 11287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  T  C_  RR*  /\  x  e.  ran  T )  ->  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
3129, 30sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  T )  ->  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
3231ralrimiva 2799 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  T  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
33 ffn 5559 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  T  Fn  NN )
3425, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  Fn  NN )
35 breq1 4295 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( T `  m )  ->  (
x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <-> 
( T `  m
)  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )
3635ralrn 5846 . . . . . . . . 9  |-  ( T  Fn  NN  ->  ( A. x  e.  ran  T  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <->  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
) )
3734, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  T  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <->  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )
3832, 37mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
39 breq2 4296 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( T `
 m )  <_  x 
<->  ( T `  m
)  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )
4039ralbidv 2735 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  x  <->  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
) )
4140rspcev 3073 . . . . . . 7  |-  ( ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  x )
4223, 38, 41syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  x )
431, 5, 2, 6, 14, 15, 42isumsup2 13309 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  ~~>  sup ( ran  T ,  RR ,  <  )
)
44 0re 9386 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
45 pnfxr 11092 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
46 icossre 11376 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
4744, 45, 46mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
4827, 47syl6ss 3368 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  RR )
49 1nn 10333 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
50 fdm 5563 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  dom  T  =  NN )
5125, 50syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  T  =  NN )
5249, 51syl5eleqr 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  dom  T
)
53 ne0i 3643 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  dom  T  ->  dom  T  =/=  (/) )
5452, 53syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  T  =/=  (/) )
55 dm0rn0 5056 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
T  =  (/)  <->  ran  T  =  (/) )
5655necon3bii 2640 . . . . . . 7  |-  ( dom 
T  =/=  (/)  <->  ran  T  =/=  (/) )
5754, 56sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  T  =/=  (/) )
58 breq2 4296 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  ->  ( x  <_ 
y  <->  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )
5958ralbidv 2735 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. x  e.  ran  T  x  <_ 
y  <->  A. x  e.  ran  T  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )
6059rspcev 3073 . . . . . . 7  |-  ( ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  A. x  e.  ran  T  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ran  T  x  <_  y )
6123, 32, 60syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ran  T  x  <_  y )
62 supxrre 11290 . . . . . 6  |-  ( ( ran  T  C_  RR  /\ 
ran  T  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. x  e.  ran  T  x  <_ 
y )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  T ,  RR ,  <  ) )
6348, 57, 61, 62syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  T ,  RR ,  <  )
)
6443, 63breqtrrd 4318 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  ~~>  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
651, 2, 3, 4, 64climi2 12989 . . 3  |-  ( ph  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C )
661r19.2uz 12839 . . 3  |-  ( E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C  ->  E. m  e.  NN  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
6765, 66syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
68 1zzd 10677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  1  e.  ZZ )
693ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  C  e.  RR+ )
70 simplrl 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  m  e.  NN )
7170nnrpd 11026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  m  e.  RR+ )
7269, 71rpdivcld 11044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( C  /  m )  e.  RR+ )
73 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (,) `  ( F `  z
) )  e.  _V
7473inex1 4433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  e.  _V
7574rgenw 2783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A. z  e.  NN  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  e.  _V
76 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
7776fnmpt 5537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  NN  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e. 
_V  ->  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  Fn  NN )
7875, 77mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  Fn  NN )
79 elfznn 11478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1 ... n )  ->  i  e.  NN )
80 fvco2 5766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  Fn  NN  /\  i  e.  NN )  ->  (
( vol*  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) `  i )  =  ( vol* `  ( ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) ) `  i ) ) )
8178, 79, 80syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( vol*  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) `  i )  =  ( vol* `  ( ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) ) `  i ) ) )
8279adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  i  e.  NN )
83 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  i  ->  ( F `  z )  =  ( F `  i ) )
8483fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  i  ->  ( (,) `  ( F `  z ) )  =  ( (,) `  ( F `  i )
) )
8584ineq1d 3551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  i  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
86 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (,) `  ( F `  i
) )  e.  _V
8786inex1 4433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  e.  _V
8885, 76, 87fvmpt 5774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) `
 i )  =  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
8982, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) `
 i )  =  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
9089fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol* `  ( ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) `
 i ) )  =  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
9181, 90eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( vol*  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) `  i )  =  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
92 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
9392, 1syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
94 inss2 3571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  C_  ( (,) `  ( G `  j ) )
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  ( (,) `  ( G `
 j ) ) )
96 inss2 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
977adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
98 elfznn 11478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1 ... m )  ->  j  e.  NN )
99 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  j )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
10097, 98, 99syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( G `  j )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
10196, 100sseldi 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( G `  j )  e.  ( RR  X.  RR ) )
102 1st2nd2 6613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  j )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( G `
 j )  = 
<. ( 1st `  ( G `  j )
) ,  ( 2nd `  ( G `  j
) ) >. )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( G `  j )  =  <. ( 1st `  ( G `  j )
) ,  ( 2nd `  ( G `  j
) ) >. )
104103fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `
 j ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  j )
) >. ) )
105 df-ov 6094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  j ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  j )
) >. )
106104, 105syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( ( 1st `  ( G `  j )
) (,) ( 2nd `  ( G `  j
) ) ) )
107 ioossre 11357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  C_  RR
108106, 107syl6eqss 3406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  C_  RR )
109108ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  C_  RR )
110106fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( vol* `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( vol* `  ( ( 1st `  ( G `  j )
) (,) ( 2nd `  ( G `  j
) ) ) ) )
111 ovolfcl 20950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
11297, 98, 111syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
113 ovolioo 21049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) )  ->  ( vol* `  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( vol* `  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )
115110, 114eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( vol* `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )
116112simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  e.  RR )
117112simp1d 1000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  e.  RR )
118116, 117resubcld 9776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
119115, 118eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( vol* `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
120119ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol* `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
121 ovolsscl 20969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  ( (,) `  ( G `
 j ) )  /\  ( (,) `  ( G `  j )
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  RR )
12295, 109, 120, 121syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  RR )
123122recnd 9412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  CC )
12491, 93, 123fsumser 13207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( vol*  o.  (
z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) ) `  n
) )
125124eqcomd 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( vol*  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) ) `  n
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
126 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  k  ->  ( F `  z )  =  ( F `  k ) )
127126fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  k  ->  ( (,) `  ( F `  z ) )  =  ( (,) `  ( F `  k )
) )
128127ineq1d 3551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  k  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  k )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
129128cbvmptv 4383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  k )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
130 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
z  =  (/)  <->  x  =  (/) ) )
131 supeq1 7695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  sup ( z ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( x ,  RR* ,  `'  <  ) )
132 supeq1 7695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  sup ( z ,  RR* ,  <  )  =  sup ( x ,  RR* ,  <  ) )
133131, 132opeq12d 4067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  <. sup (
z ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
z ,  RR* ,  <  )
>.  =  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. )
134130, 133ifbieq2d 3814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  if ( z  =  (/) , 
<. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
z ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
z ,  RR* ,  <  )
>. )  =  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0 >. , 
<. sup ( x , 
RR* ,  `'  <  ) ,  sup ( x ,  RR* ,  <  ) >. ) )
135134cbvmptv 4383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ran  (,)  |->  if ( z  =  (/) , 
<. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
z ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
z ,  RR* ,  <  )
>. ) )  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) , 
<. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
13616, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5, 22, 129, 135uniioombllem2 21063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  seq 1
(  +  ,  ( vol*  o.  (
z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )  ~~>  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
A ) ) )
13798, 136sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  seq 1 (  +  , 
( vol*  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )  ~~>  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
A ) ) )
138137adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  seq 1 (  +  , 
( vol*  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )  ~~>  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
A ) ) )
1391, 68, 72, 125, 138climi2 12989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a )
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
140 1z 10676 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
1411rexuz3 12836 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) )
142140, 141ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
143139, 142sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a )
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
144143ralrimiva 2799 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  A. j  e.  ( 1 ... m ) E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
145 fzfi 11794 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
146 rexfiuz 12835 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... m )  e.  Fin  ->  ( E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  A. j  e.  ( 1 ... m ) E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) )
147145, 146ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  A. j  e.  ( 1 ... m ) E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
148144, 147sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
1491rexuz3 12836 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) )
150140, 149ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
151148, 150sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
1521r19.2uz 12839 . . . 4  |-  ( E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  ->  E. n  e.  NN  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
153151, 152syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  E. n  e.  NN  A. j  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
15416adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15517adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  -> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `  x ) ) )
15620adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
1573adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  C  e.  RR+ )
1587adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15921adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
16022adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
161 simprll 761 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  m  e.  NN )
162 simprlr 762 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
163 eqid 2443 . . . . 5  |-  U. (
( (,)  o.  G
) " ( 1 ... m ) )  =  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( 1 ... m ) )
164 simprrl 763 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  n  e.  NN )
165 simprrr 764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  A. j  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
166 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  z  ->  ( F `  i )  =  ( F `  z ) )
167166fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  z  ->  ( (,) `  ( F `  i ) )  =  ( (,) `  ( F `  z )
) )
168167ineq1d 3551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  z  ->  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
169168fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  z  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  =  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
170169cbvsumv 13173 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
171 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  ( G `  j )  =  ( G `  k ) )
172171fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( (,) `  ( G `  k )
) )
173172ineq2d 3552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )
174173fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  =  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) ) )
175174sumeq2sdv 13181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  sum_ z  e.  ( 1 ... n
) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) ) )
176170, 175syl5eq 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) ) )
177172ineq1d 3551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  =  ( ( (,) `  ( G `  k
) )  i^i  A
) )
178177fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A ) )  =  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) )
179176, 178oveq12d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) )  =  (
sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) ) )
180179fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  =  ( abs `  ( sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) ) ) )
181180breq1d 4302 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  ( abs `  ( sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) )
182181cbvralv 2947 . . . . . 6  |-  ( A. j  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  A. k  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
183165, 182sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  A. k  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
184 eqid 2443 . . . . 5  |-  U. (
( (,)  o.  F
) " ( 1 ... n ) )  =  U. ( ( (,)  o.  F )
" ( 1 ... n ) )
185154, 155, 18, 19, 156, 157, 158, 159, 5, 160, 161, 162, 163, 164, 183, 184uniioombllem5 21067 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( E  \  A ) ) )  <_  (
( vol* `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
186185anassrs 648 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol* `  ( E  \  A ) ) )  <_  ( ( vol* `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
187153, 186rexlimddv 2845 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( E  \  A ) ) )  <_  (
( vol* `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
18867, 187rexlimddv 2845 1  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol* `  ( E  \  A ) ) )  <_  ( ( vol* `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ifcif 3791   <.cop 3883   U.cuni 4091  Disj wdisj 4262   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   "cima 4843    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   1stc1st 6575   2ndc2nd 6576   Fincfn 7310   supcsup 7690   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595    / cdiv 9993   NNcn 10322   4c4 10373   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   RR+crp 10991   (,)cioo 11300   [,)cico 11302   ...cfz 11437    seqcseq 11806   abscabs 12723    ~~> cli 12962   sum_csu 13163   vol*covol 20946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-acn 8112  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-rest 14361  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cmp 18990  df-ovol 20948  df-vol 20949
This theorem is referenced by:  uniioombl  21069
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