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Theorem uniioombllem6 20968
Description: Lemma for uniioombl 20969. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
uniioombl.a  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
uniioombl.e  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
uniioombl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
uniioombl.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.s  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
uniioombl.t  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
uniioombl.v  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem6  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol* `  ( E  \  A ) ) )  <_  ( ( vol* `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, A    x, C    ph, x    x, T
Allowed substitution hints:    S( x)    E( x)

Proof of Theorem uniioombllem6
Dummy variables  a 
i  j  k  n  y  z  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10892 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10673 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 uniioombl.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
4 eqidd 2442 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( T `
 m )  =  ( T `  m
) )
5 uniioombl.t . . . . . 6  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
6 eqidd 2442 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  a )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  a )
)
7 uniioombl.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
8 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
98ovolfsf 20855 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  G ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
107, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
1110ffvelrnda 5840 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  a )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
12 elrege0 11388 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  a )  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  a
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  a
) ) )
1311, 12sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  a )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) `  a
) ) )
1413simpld 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  a )  e.  RR )
1513simprd 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) `  a
) )
16 uniioombl.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
17 uniioombl.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `  x ) ) )
18 uniioombl.3 . . . . . . . 8  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
19 uniioombl.a . . . . . . . 8  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
20 uniioombl.e . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
21 uniioombl.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
22 uniioombl.v . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
2316, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5, 22uniioombllem1 20961 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
248, 5ovolsf 20856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
257, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
26 frn 5562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  T  C_  ( 0 [,) +oo ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  (
0 [,) +oo )
)
28 icossxr 11376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
2927, 28syl6ss 3365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  RR* )
30 supxrub 11283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  T  C_  RR*  /\  x  e.  ran  T )  ->  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
3129, 30sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  T )  ->  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
3231ralrimiva 2797 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  T  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
33 ffn 5556 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  T  Fn  NN )
3425, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  Fn  NN )
35 breq1 4292 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( T `  m )  ->  (
x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <-> 
( T `  m
)  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )
3635ralrn 5843 . . . . . . . . 9  |-  ( T  Fn  NN  ->  ( A. x  e.  ran  T  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <->  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
) )
3734, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  T  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <->  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )
3832, 37mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
39 breq2 4293 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( T `
 m )  <_  x 
<->  ( T `  m
)  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )
4039ralbidv 2733 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  x  <->  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
) )
4140rspcev 3070 . . . . . . 7  |-  ( ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  x )
4223, 38, 41syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. m  e.  NN  ( T `  m )  <_  x )
431, 5, 2, 6, 14, 15, 42isumsup2 13305 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  ~~>  sup ( ran  T ,  RR ,  <  )
)
44 0re 9382 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
45 pnfxr 11088 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
46 icossre 11372 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
4744, 45, 46mp2an 667 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
4827, 47syl6ss 3365 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  RR )
49 1nn 10329 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
50 fdm 5560 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  dom  T  =  NN )
5125, 50syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  T  =  NN )
5249, 51syl5eleqr 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  dom  T
)
53 ne0i 3640 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  dom  T  ->  dom  T  =/=  (/) )
5452, 53syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  T  =/=  (/) )
55 dm0rn0 5052 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
T  =  (/)  <->  ran  T  =  (/) )
5655necon3bii 2638 . . . . . . 7  |-  ( dom 
T  =/=  (/)  <->  ran  T  =/=  (/) )
5754, 56sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  T  =/=  (/) )
58 breq2 4293 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  ->  ( x  <_ 
y  <->  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )
5958ralbidv 2733 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. x  e.  ran  T  x  <_ 
y  <->  A. x  e.  ran  T  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )
6059rspcev 3070 . . . . . . 7  |-  ( ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  A. x  e.  ran  T  x  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ran  T  x  <_  y )
6123, 32, 60syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ran  T  x  <_  y )
62 supxrre 11286 . . . . . 6  |-  ( ( ran  T  C_  RR  /\ 
ran  T  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. x  e.  ran  T  x  <_ 
y )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  T ,  RR ,  <  ) )
6348, 57, 61, 62syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  T ,  RR ,  <  )
)
6443, 63breqtrrd 4315 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  ~~>  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
651, 2, 3, 4, 64climi2 12985 . . 3  |-  ( ph  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C )
661r19.2uz 12835 . . 3  |-  ( E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C  ->  E. m  e.  NN  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
6765, 66syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
68 1zzd 10673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  1  e.  ZZ )
693ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  C  e.  RR+ )
70 simplrl 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  m  e.  NN )
7170nnrpd 11022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  m  e.  RR+ )
7269, 71rpdivcld 11040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( C  /  m )  e.  RR+ )
73 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (,) `  ( F `  z
) )  e.  _V
7473inex1 4430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  e.  _V
7574rgenw 2781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A. z  e.  NN  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) )  e.  _V
76 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
7776fnmpt 5534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  NN  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e. 
_V  ->  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) )  Fn  NN )
7875, 77mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  Fn  NN )
79 elfznn 11474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1 ... n )  ->  i  e.  NN )
80 fvco2 5763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  Fn  NN  /\  i  e.  NN )  ->  (
( vol*  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) `  i )  =  ( vol* `  ( ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) ) `  i ) ) )
8178, 79, 80syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( vol*  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) `  i )  =  ( vol* `  ( ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j ) ) ) ) `  i ) ) )
8279adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  i  e.  NN )
83 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  i  ->  ( F `  z )  =  ( F `  i ) )
8483fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  i  ->  ( (,) `  ( F `  z ) )  =  ( (,) `  ( F `  i )
) )
8584ineq1d 3548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  i  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
86 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (,) `  ( F `  i
) )  e.  _V
8786inex1 4430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  e.  _V
8885, 76, 87fvmpt 5771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) `
 i )  =  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
8982, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) `
 i )  =  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
9089fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol* `  ( ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) `
 i ) )  =  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
9181, 90eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( vol*  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) `  i )  =  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
92 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
9392, 1syl6eleq 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
94 inss2 3568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) )  C_  ( (,) `  ( G `  j ) )
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  ( (,) `  ( G `
 j ) ) )
96 inss2 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
977adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
98 elfznn 11474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1 ... m )  ->  j  e.  NN )
99 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  j )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
10097, 98, 99syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( G `  j )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
10196, 100sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( G `  j )  e.  ( RR  X.  RR ) )
102 1st2nd2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  j )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( G `
 j )  = 
<. ( 1st `  ( G `  j )
) ,  ( 2nd `  ( G `  j
) ) >. )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( G `  j )  =  <. ( 1st `  ( G `  j )
) ,  ( 2nd `  ( G `  j
) ) >. )
104103fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `
 j ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  j )
) >. ) )
105 df-ov 6093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  j ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  j )
) >. )
106104, 105syl6eqr 2491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( ( 1st `  ( G `  j )
) (,) ( 2nd `  ( G `  j
) ) ) )
107 ioossre 11353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  C_  RR
108106, 107syl6eqss 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  C_  RR )
109108ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  C_  RR )
110106fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( vol* `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( vol* `  ( ( 1st `  ( G `  j )
) (,) ( 2nd `  ( G `  j
) ) ) ) )
111 ovolfcl 20850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
11297, 98, 111syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
113 ovolioo 20949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) )  ->  ( vol* `  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( vol* `  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )
115110, 114eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( vol* `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )
116112simp2d 996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  e.  RR )
117112simp1d 995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  e.  RR )
118116, 117resubcld 9772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
119115, 118eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( vol* `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
120119ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol* `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
121 ovolsscl 20869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  C_  ( (,) `  ( G `
 j ) )  /\  ( (,) `  ( G `  j )
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  RR )
12295, 109, 120, 121syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  RR )
123122recnd 9408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  e.  CC )
12491, 93, 123fsumser 13203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( vol*  o.  (
z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) ) `  n
) )
125124eqcomd 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( vol*  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) ) `  n
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
126 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  k  ->  ( F `  z )  =  ( F `  k ) )
127126fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  k  ->  ( (,) `  ( F `  z ) )  =  ( (,) `  ( F `  k )
) )
128127ineq1d 3548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  k  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  k )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
129128cbvmptv 4380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  k )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
130 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
z  =  (/)  <->  x  =  (/) ) )
131 supeq1 7691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  sup ( z ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( x ,  RR* ,  `'  <  ) )
132 supeq1 7691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  sup ( z ,  RR* ,  <  )  =  sup ( x ,  RR* ,  <  ) )
133131, 132opeq12d 4064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  <. sup (
z ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
z ,  RR* ,  <  )
>.  =  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. )
134130, 133ifbieq2d 3811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  if ( z  =  (/) , 
<. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
z ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
z ,  RR* ,  <  )
>. )  =  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0 >. , 
<. sup ( x , 
RR* ,  `'  <  ) ,  sup ( x ,  RR* ,  <  ) >. ) )
135134cbvmptv 4380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ran  (,)  |->  if ( z  =  (/) , 
<. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
z ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
z ,  RR* ,  <  )
>. ) )  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) , 
<. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
13616, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5, 22, 129, 135uniioombllem2 20963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  seq 1
(  +  ,  ( vol*  o.  (
z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )  ~~>  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
A ) ) )
13798, 136sylan2 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  seq 1 (  +  , 
( vol*  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )  ~~>  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
A ) ) )
138137adantlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  seq 1 (  +  , 
( vol*  o.  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) ) )  ~~>  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j ) )  i^i 
A ) ) )
1391, 68, 72, 125, 138climi2 12985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a )
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
140 1z 10672 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
1411rexuz3 12832 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) )
142140, 141ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
143139, 142sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  j  e.  ( 1 ... m
) )  ->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a )
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
144143ralrimiva 2797 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  A. j  e.  ( 1 ... m ) E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
145 fzfi 11790 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
146 rexfiuz 12831 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... m )  e.  Fin  ->  ( E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  A. j  e.  ( 1 ... m ) E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) )
147145, 146ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  A. j  e.  ( 1 ... m ) E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
148144, 147sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
1491rexuz3 12832 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) )
150140, 149ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  E. a  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
151148, 150sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
1521r19.2uz 12835 . . . 4  |-  ( E. a  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  a ) A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  ->  E. n  e.  NN  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
153151, 152syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  E. n  e.  NN  A. j  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
15416adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15517adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  -> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `  x ) ) )
15620adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
1573adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  C  e.  RR+ )
1587adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15921adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
16022adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
161 simprll 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  m  e.  NN )
162 simprlr 757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( T `  m
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
163 eqid 2441 . . . . 5  |-  U. (
( (,)  o.  G
) " ( 1 ... m ) )  =  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( 1 ... m ) )
164 simprrl 758 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  n  e.  NN )
165 simprrr 759 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  A. j  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
166 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  z  ->  ( F `  i )  =  ( F `  z ) )
167166fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  z  ->  ( (,) `  ( F `  i ) )  =  ( (,) `  ( F `  z )
) )
168167ineq1d 3548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  z  ->  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
169168fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  z  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `
 i ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  =  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) ) )
170169cbvsumv 13169 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )
171 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  ( G `  j )  =  ( G `  k ) )
172171fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( (,) `  ( G `  k )
) )
173172ineq2d 3549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )
174173fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  j )
) ) )  =  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) ) )
175174sumeq2sdv 13177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  sum_ z  e.  ( 1 ... n
) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) ) )
176170, 175syl5eq 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  =  sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) ) )
177172ineq1d 3548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )  =  ( ( (,) `  ( G `  k
) )  i^i  A
) )
178177fveq2d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `
 j ) )  i^i  A ) )  =  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) )
179176, 178oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) )  =  (
sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) ) )
180179fveq2d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  =  ( abs `  ( sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) ) ) )
181180breq1d 4299 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  ( abs `  ( sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) )
182181cbvralv 2945 . . . . . 6  |-  ( A. j  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
)  <->  A. k  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
183165, 182sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  A. k  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ z  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  k
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  k )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) )
184 eqid 2441 . . . . 5  |-  U. (
( (,)  o.  F
) " ( 1 ... n ) )  =  U. ( ( (,)  o.  F )
" ( 1 ... n ) )
185154, 155, 18, 19, 156, 157, 158, 159, 5, 160, 161, 162, 163, 164, 183, 184uniioombllem5 20967 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)  /\  ( n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m
) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) ) )  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( E  \  A ) ) )  <_  (
( vol* `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
186185anassrs 643 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
) )  /\  (
n  e.  NN  /\  A. j  e.  ( 1 ... m ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( vol* `  (
( (,) `  ( F `  i )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  j
) ) ) )  -  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  j )
)  i^i  A )
) ) )  < 
( C  /  m
) ) )  -> 
( ( vol* `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol* `  ( E  \  A ) ) )  <_  ( ( vol* `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
187153, 186rexlimddv 2843 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( T `  m )  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C ) )  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( E  \  A ) ) )  <_  (
( vol* `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
18867, 187rexlimddv 2843 1  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol* `  ( E  \  A ) ) )  <_  ( ( vol* `  E )  +  ( 4  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   <.cop 3880   U.cuni 4088  Disj wdisj 4259   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837   "cima 4839    o. ccom 4840    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   1stc1st 6574   2ndc2nd 6575   Fincfn 7306   supcsup 7686   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   4c4 10369   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   (,)cioo 11296   [,)cico 11298   ...cfz 11433    seqcseq 11802   abscabs 12719    ~~> cli 12958   sum_csu 13159   vol*covol 20846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cmp 18890  df-ovol 20848  df-vol 20849
This theorem is referenced by:  uniioombl  20969
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