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Theorem uniioombllem6 22546
Description: Lemma for uniioombl 22547. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.2 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
uniioombl.3 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
uniioombl.a |- A = U. ran ( (,) o. F )
uniioombl.e |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
uniioombl.c |- ( ph -> C e. RR+ )
uniioombl.g |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.s |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
uniioombl.t |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
uniioombl.v |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem6 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, A   x, C   ph, x   x, T
Allowed substitution hints:   S( x)   E( x)
Proof of Theorem uniioombllem6
Dummy variables a i j k n y z m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11194 . . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2 1zzd 10968 . . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3 uniioombl.c . . . 4 |- ( ph -> C e. RR+ )
4 eqidd 2452 . . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( T ` m ) = ( T ` m ) )
5 uniioombl.t . . . . . 6 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
6 eqidd 2452 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) = ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) )
7 uniioombl.g . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
8 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs o. - ) o. G ) = ( ( abs o. - ) o. G )
98ovolfsf 22424 . . . . . . . . . 10 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. G ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) o. G ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
1110ffvelrnda 6022 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. ( 0 [,) +oo ) )
12 elrege0 11738 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) ) )
1311, 12sylib 200 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) ) )
1413simpld 461 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. RR )
1513simprd 465 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) )
16 uniioombl.1 . . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
17 uniioombl.2 . . . . . . . 8 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
18 uniioombl.3 . . . . . . . 8 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
19 uniioombl.a . . . . . . . 8 |- A = U. ran ( (,) o. F )
20 uniioombl.e . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
21 uniioombl.s . . . . . . . 8 |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
22 uniioombl.v . . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
2316, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5, 22uniioombllem1 22538 . . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR )
248, 5ovolsf 22425 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
257, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
26 frn 5735 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
28 icossxr 11719 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
2927, 28syl6ss 3444 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran T C_ RR* )
30 supxrub 11610 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ran T C_ RR* /\ x e. ran T ) -> x <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
3129, 30sylan 474 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ran T ) -> x <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
3231ralrimiva 2802 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
33 ffn 5728 . . . . . . . . . 10 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> T Fn NN )
3425, 33syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> T Fn NN )
35 breq1 4405 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( T ` m ) -> ( x <_ sup ( ran T , RR* , < ) <-> ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
3635ralrn 6025 . . . . . . . . 9 |- ( T Fn NN -> ( A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) <-> A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
3734, 36syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) <-> A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
3832, 37mpbid 214 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
39 breq2 4406 . . . . . . . . 9 |- ( x = sup ( ran T , RR* , < ) -> ( ( T ` m ) <_ x <-> ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
4039ralbidv 2827 . . . . . . . 8 |- ( x = sup ( ran T , RR* , < ) -> ( A. m e. NN ( T ` m ) <_ x <-> A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
4140rspcev 3150 . . . . . . 7 |- ( ( sup ( ran T , RR* , < ) e. RR /\ A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) -> E. x e. RR A. m e. NN ( T ` m ) <_ x )
4223, 38, 41syl2anc 667 . . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. RR A. m e. NN ( T ` m ) <_ x )
431, 5, 2, 6, 14, 15, 42isumsup2 13904 . . . . 5 |- ( ph -> T ~~> sup ( ran T , RR , < ) )
44 rge0ssre 11740 . . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
4527, 44syl6ss 3444 . . . . . 6 |- ( ph -> ran T C_ RR )
46 1nn 10620 . . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
47 fdm 5733 . . . . . . . . . 10 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> dom T = NN )
4825, 47syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom T = NN )
4946, 48syl5eleqr 2536 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. dom T )
50 ne0i 3737 . . . . . . . 8 |- ( 1 e. dom T -> dom T =/= (/) )
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> dom T =/= (/) )
52 dm0rn0 5051 . . . . . . . 8 |- ( dom T = (/) <-> ran T = (/) )
5352necon3bii 2676 . . . . . . 7 |- ( dom T =/= (/) <-> ran T =/= (/) )
5451, 53sylib 200 . . . . . 6 |- ( ph -> ran T =/= (/) )
55 breq2 4406 . . . . . . . . 9 |- ( y = sup ( ran T , RR* , < ) -> ( x <_ y <-> x <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
5655ralbidv 2827 . . . . . . . 8 |- ( y = sup ( ran T , RR* , < ) -> ( A. x e. ran T x <_ y <-> A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
5756rspcev 3150 . . . . . . 7 |- ( ( sup ( ran T , RR* , < ) e. RR /\ A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) -> E. y e. RR A. x e. ran T x <_ y )
5823, 32, 57syl2anc 667 . . . . . 6 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ran T x <_ y )
59 supxrre 11613 . . . . . 6 |- ( ( ran T C_ RR /\ ran T =/= (/) /\ E. y e. RR A. x e. ran T x <_ y ) -> sup ( ran T , RR* , < ) = sup ( ran T , RR , < ) )
6045, 54, 58, 59syl3anc 1268 . . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) = sup ( ran T , RR , < ) )
6143, 60breqtrrd 4429 . . . 4 |- ( ph -> T ~~> sup ( ran T , RR* , < ) )
621, 2, 3, 4, 61climi2 13575 . . 3 |- ( ph -> E. j e. NN A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
631r19.2uz 13414 . . 3 |- ( E. j e. NN A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C -> E. m e. NN ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
6462, 63syl 17 . 2 |- ( ph -> E. m e. NN ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
65 1zzd 10968 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> 1 e. ZZ )
663ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> C e. RR+ )
67 simplrl 770 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> m e. NN )
6867nnrpd 11339 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> m e. RR+ )
6966, 68rpdivcld 11358 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( C / m ) e. RR+ )
70 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (,) ` ( F ` z ) ) e. _V
7170inex1 4544 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. _V
7271rgenw 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 |- A. z e. NN ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. _V
73 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
7473fnmpt 5704 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. NN ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. _V -> ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) Fn NN )
7572, 74mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) Fn NN )
76 elfznn 11828 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 1 ... n ) -> i e. NN )
77 fvco2 5940 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) Fn NN /\ i e. NN ) -> ( ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ` i ) = ( vol* ` ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) ) )
7875, 76, 77syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ` i ) = ( vol* ` ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) ) )
7976adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> i e. NN )
80 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = i -> ( F ` z ) = ( F ` i ) )
8180fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = i -> ( (,) ` ( F ` z ) ) = ( (,) ` ( F ` i ) ) )
8281ineq1d 3633 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = i -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
83 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (,) ` ( F ` i ) ) e. _V
8483inex1 4544 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. _V
8582, 73, 84fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. NN -> ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) = ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
8679, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) = ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
8786fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
8878, 87eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ` i ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
89 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
9089, 1syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
91 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) ) )
93 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
947adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
95 elfznn 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 1 ... m ) -> j e. NN )
96 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ j e. NN ) -> ( G ` j ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
9794, 95, 96syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( G ` j ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
9893, 97sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( G ` j ) e. ( RR X. RR ) )
99 1st2nd2 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G ` j ) e. ( RR X. RR ) -> ( G ` j ) = <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( G ` j ) = <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
101100fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. ) )
102 df-ov 6293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
103101, 102syl6eqr 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) = ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
104 ioossre 11696 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) C_ RR
105103, 104syl6eqss 3482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR )
106105ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR )
107103fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) ) )
108 ovolfcl 22419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
10994, 95, 108syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
110 ovolioo 22521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
112107, 111eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
113109simp2d 1021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR )
114109simp1d 1020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR )
115113, 114resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
116112, 115eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
117116ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
118 ovolsscl 22439 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) ) /\ ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
11992, 106, 117, 118syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
120119recnd 9669 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. CC )
12188, 90, 120fsumser 13796 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ` n ) )
122121eqcomd 2457 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ` n ) = sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
123 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = k -> ( F ` z ) = ( F ` k ) )
124123fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = k -> ( (,) ` ( F ` z ) ) = ( (,) ` ( F ` k ) ) )
125124ineq1d 3633 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = k -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` k ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
126125cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( k e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` k ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
127 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( z = (/) <-> x = (/) ) )
128 infeq1 7992 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> inf ( z , RR* , < ) = inf ( x , RR* , < ) )
129 supeq1 7959 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> sup ( z , RR* , < ) = sup ( x , RR* , < ) )
130128, 129opeq12d 4174 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> <.inf ( z , RR* , < ) , sup ( z , RR* , < ) >. = <.inf ( x , RR* , < ) , sup ( x , RR* , < ) >. )
131127, 130ifbieq2d 3906 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> if ( z = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( z , RR* , < ) , sup ( z , RR* , < ) >. ) = if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( x , RR* , < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )
132131cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ran (,) |-> if ( z = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( z , RR* , < ) , sup ( z , RR* , < ) >. ) ) = ( x e. ran (,) |-> if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( x , RR* , < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )
13316, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5, 22, 126, 132uniioombllem2 22540 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) )
13495, 133sylan2 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) )
135134adantlr 721 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) )
1361, 65, 69, 122, 135climi2 13575 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
137 1z 10967 . . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
1381rexuz3 13411 . . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) )
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
140136, 139sylib 200 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
141140ralrimiva 2802 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> A. j e. ( 1 ... m ) E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
142 fzfi 12185 . . . . . . 7 |- ( 1 ... m ) e. Fin
143 rexfiuz 13410 . . . . . . 7 |- ( ( 1 ... m ) e. Fin -> ( E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> A. j e. ( 1 ... m ) E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) )
144142, 143ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> A. j e. ( 1 ... m ) E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
145141, 144sylibr 216 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
1461rexuz3 13411 . . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ -> ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) )
147137, 146ax-mp 5 . . . . 5 |- ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
148145, 147sylibr 216 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
1491r19.2uz 13414 . . . 4 |- ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) -> E. n e. NN A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
150148, 149syl 17 . . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> E. n e. NN A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
15116adantr 467 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
15217adantr 467 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
15320adantr 467 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> ( vol* ` E ) e. RR )
1543adantr 467 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> C e. RR+ )
1557adantr 467 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
15621adantr 467 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
15722adantr 467 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
158 simprll 772 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> m e. NN )
159 simprlr 773 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
160 eqid 2451 . . . . 5 |- U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... m ) ) = U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... m ) )
161 simprrl 774 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> n e. NN )
162 simprrr 775 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
163 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = z -> ( F ` i ) = ( F ` z ) )
164163fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = z -> ( (,) ` ( F ` i ) ) = ( (,) ` ( F ` z ) ) )
165164ineq1d 3633 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = z -> ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
166165fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = z -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
167166cbvsumv 13762 . . . . . . . . . . 11 |- sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
168 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> ( G ` j ) = ( G ` k ) )
169168fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> ( (,) ` ( G ` j ) ) = ( (,) ` ( G ` k ) ) )
170169ineq2d 3634 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = k -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) )
171170fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) )
172171sumeq2sdv 13770 . . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) )
173167, 172syl5eq 2497 . . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) )
174169ineq1d 3633 . . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) = ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) )
175174fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) )
176173, 175oveq12d 6308 . . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) = ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) )
177176fveq2d 5869 . . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) = ( abs ` ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) ) )
178177breq1d 4412 . . . . . . 7 |- ( j = k -> ( ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> ( abs ` ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) )
179178cbvralv 3019 . . . . . 6 |- ( A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> A. k e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
180162, 179sylib 200 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> A. k e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
181 eqid 2451 . . . . 5 |- U. ( ( (,) o. F ) " ( 1 ... n ) ) = U. ( ( (,) o. F ) " ( 1 ... n ) )
182151, 152, 18, 19, 153, 154, 155, 156, 5, 157, 158, 159, 160, 161, 180, 181uniioombllem5 22545 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
183182anassrs 654 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
184150, 183rexlimddv 2883 . 2 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
18564, 184rexlimddv 2883 1 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   <.cop 3974   U.cuni 4198  Disj wdisj 4373   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   X. cxp 4832   dom cdm 4834   ran crn 4835   "cima 4837   o. ccom 4838   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1stc1st 6791   2ndc2nd 6792   Fincfn 7569   supcsup 7954  infcinf 7955   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   4c4 10661   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   [,)cico 11637   ...cfz 11784   seqcseq 12213   abscabs 13297   ~~> cli 13548   sum_csu 13752   vol*covol 22413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cmp 20402  df-ovol 22416  df-vol 22418
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