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Theorem uniioombllem6 21974
Description: Lemma for uniioombl 21975. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.2 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
uniioombl.3 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
uniioombl.a |- A = U. ran ( (,) o. F )
uniioombl.e |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
uniioombl.c |- ( ph -> C e. RR+ )
uniioombl.g |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.s |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
uniioombl.t |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
uniioombl.v |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem6 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, A   x, C   ph, x   x, T
Allowed substitution hints:   S( x)   E( x)
Proof of Theorem uniioombllem6
Dummy variables a i j k n y z m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11126 . . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2 1zzd 10902 . . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3 uniioombl.c . . . 4 |- ( ph -> C e. RR+ )
4 eqidd 2444 . . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( T ` m ) = ( T ` m ) )
5 uniioombl.t . . . . . 6 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
6 eqidd 2444 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) = ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) )
7 uniioombl.g . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
8 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs o. - ) o. G ) = ( ( abs o. - ) o. G )
98ovolfsf 21860 . . . . . . . . . 10 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. G ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
107, 9syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) o. G ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
1110ffvelrnda 6016 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. ( 0 [,) +oo ) )
12 elrege0 11637 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) ) )
1311, 12sylib 196 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) ) )
1413simpld 459 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. RR )
1513simprd 463 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) )
16 uniioombl.1 . . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
17 uniioombl.2 . . . . . . . 8 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
18 uniioombl.3 . . . . . . . 8 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
19 uniioombl.a . . . . . . . 8 |- A = U. ran ( (,) o. F )
20 uniioombl.e . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
21 uniioombl.s . . . . . . . 8 |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
22 uniioombl.v . . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
2316, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5, 22uniioombllem1 21967 . . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR )
248, 5ovolsf 21861 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
257, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
26 frn 5727 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
28 icossxr 11619 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
2927, 28syl6ss 3501 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran T C_ RR* )
30 supxrub 11526 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ran T C_ RR* /\ x e. ran T ) -> x <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
3129, 30sylan 471 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ran T ) -> x <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
3231ralrimiva 2857 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
33 ffn 5721 . . . . . . . . . 10 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> T Fn NN )
3425, 33syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> T Fn NN )
35 breq1 4440 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( T ` m ) -> ( x <_ sup ( ran T , RR* , < ) <-> ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
3635ralrn 6019 . . . . . . . . 9 |- ( T Fn NN -> ( A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) <-> A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
3734, 36syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) <-> A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
3832, 37mpbid 210 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
39 breq2 4441 . . . . . . . . 9 |- ( x = sup ( ran T , RR* , < ) -> ( ( T ` m ) <_ x <-> ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
4039ralbidv 2882 . . . . . . . 8 |- ( x = sup ( ran T , RR* , < ) -> ( A. m e. NN ( T ` m ) <_ x <-> A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
4140rspcev 3196 . . . . . . 7 |- ( ( sup ( ran T , RR* , < ) e. RR /\ A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) -> E. x e. RR A. m e. NN ( T ` m ) <_ x )
4223, 38, 41syl2anc 661 . . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. RR A. m e. NN ( T ` m ) <_ x )
431, 5, 2, 6, 14, 15, 42isumsup2 13639 . . . . 5 |- ( ph -> T ~~> sup ( ran T , RR , < ) )
44 rge0ssre 11638 . . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
4527, 44syl6ss 3501 . . . . . 6 |- ( ph -> ran T C_ RR )
46 1nn 10554 . . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
47 fdm 5725 . . . . . . . . . 10 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> dom T = NN )
4825, 47syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom T = NN )
4946, 48syl5eleqr 2538 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. dom T )
50 ne0i 3776 . . . . . . . 8 |- ( 1 e. dom T -> dom T =/= (/) )
5149, 50syl 16 . . . . . . 7 |- ( ph -> dom T =/= (/) )
52 dm0rn0 5209 . . . . . . . 8 |- ( dom T = (/) <-> ran T = (/) )
5352necon3bii 2711 . . . . . . 7 |- ( dom T =/= (/) <-> ran T =/= (/) )
5451, 53sylib 196 . . . . . 6 |- ( ph -> ran T =/= (/) )
55 breq2 4441 . . . . . . . . 9 |- ( y = sup ( ran T , RR* , < ) -> ( x <_ y <-> x <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
5655ralbidv 2882 . . . . . . . 8 |- ( y = sup ( ran T , RR* , < ) -> ( A. x e. ran T x <_ y <-> A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
5756rspcev 3196 . . . . . . 7 |- ( ( sup ( ran T , RR* , < ) e. RR /\ A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) -> E. y e. RR A. x e. ran T x <_ y )
5823, 32, 57syl2anc 661 . . . . . 6 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ran T x <_ y )
59 supxrre 11529 . . . . . 6 |- ( ( ran T C_ RR /\ ran T =/= (/) /\ E. y e. RR A. x e. ran T x <_ y ) -> sup ( ran T , RR* , < ) = sup ( ran T , RR , < ) )
6045, 54, 58, 59syl3anc 1229 . . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) = sup ( ran T , RR , < ) )
6143, 60breqtrrd 4463 . . . 4 |- ( ph -> T ~~> sup ( ran T , RR* , < ) )
621, 2, 3, 4, 61climi2 13315 . . 3 |- ( ph -> E. j e. NN A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
631r19.2uz 13165 . . 3 |- ( E. j e. NN A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C -> E. m e. NN ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
6462, 63syl 16 . 2 |- ( ph -> E. m e. NN ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
65 1zzd 10902 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> 1 e. ZZ )
663ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> C e. RR+ )
67 simplrl 761 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> m e. NN )
6867nnrpd 11265 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> m e. RR+ )
6966, 68rpdivcld 11283 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( C / m ) e. RR+ )
70 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (,) ` ( F ` z ) ) e. _V
7170inex1 4578 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. _V
7271rgenw 2804 . . . . . . . . . . . . . 14 |- A. z e. NN ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. _V
73 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
7473fnmpt 5697 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. NN ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. _V -> ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) Fn NN )
7572, 74mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) Fn NN )
76 elfznn 11724 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 1 ... n ) -> i e. NN )
77 fvco2 5933 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) Fn NN /\ i e. NN ) -> ( ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ` i ) = ( vol* ` ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) ) )
7875, 76, 77syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ` i ) = ( vol* ` ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) ) )
7976adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> i e. NN )
80 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = i -> ( F ` z ) = ( F ` i ) )
8180fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = i -> ( (,) ` ( F ` z ) ) = ( (,) ` ( F ` i ) ) )
8281ineq1d 3684 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = i -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
83 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (,) ` ( F ` i ) ) e. _V
8483inex1 4578 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. _V
8582, 73, 84fvmpt 5941 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. NN -> ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) = ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
8679, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) = ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
8786fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
8878, 87eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ` i ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
89 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
9089, 1syl6eleq 2541 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
91 inss2 3704 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) ) )
93 inss2 3704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
947adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
95 elfznn 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 1 ... m ) -> j e. NN )
96 ffvelrn 6014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ j e. NN ) -> ( G ` j ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
9794, 95, 96syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( G ` j ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
9893, 97sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( G ` j ) e. ( RR X. RR ) )
99 1st2nd2 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G ` j ) e. ( RR X. RR ) -> ( G ` j ) = <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( G ` j ) = <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
101100fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. ) )
102 df-ov 6284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
103101, 102syl6eqr 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) = ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
104 ioossre 11596 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) C_ RR
105103, 104syl6eqss 3539 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR )
106105ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR )
107103fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) ) )
108 ovolfcl 21855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
10994, 95, 108syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
110 ovolioo 21955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
111109, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
112107, 111eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
113109simp2d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR )
114109simp1d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR )
115113, 114resubcld 9994 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
116112, 115eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
117116ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
118 ovolsscl 21874 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) ) /\ ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
11992, 106, 117, 118syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
120119recnd 9625 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. CC )
12188, 90, 120fsumser 13533 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ` n ) )
122121eqcomd 2451 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ` n ) = sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
123 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = k -> ( F ` z ) = ( F ` k ) )
124123fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = k -> ( (,) ` ( F ` z ) ) = ( (,) ` ( F ` k ) ) )
125124ineq1d 3684 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = k -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` k ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
126125cbvmptv 4528 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( k e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` k ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
127 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( z = (/) <-> x = (/) ) )
128 supeq1 7907 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> sup ( z , RR* , `' < ) = sup ( x , RR* , `' < ) )
129 supeq1 7907 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> sup ( z , RR* , < ) = sup ( x , RR* , < ) )
130128, 129opeq12d 4210 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> <. sup ( z , RR* , `' < ) , sup ( z , RR* , < ) >. = <. sup ( x , RR* , `' < ) , sup ( x , RR* , < ) >. )
131127, 130ifbieq2d 3951 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> if ( z = (/) , <. 0 , 0 >. , <. sup ( z , RR* , `' < ) , sup ( z , RR* , < ) >. ) = if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <. sup ( x , RR* , `' < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )
132131cbvmptv 4528 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ran (,) |-> if ( z = (/) , <. 0 , 0 >. , <. sup ( z , RR* , `' < ) , sup ( z , RR* , < ) >. ) ) = ( x e. ran (,) |-> if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <. sup ( x , RR* , `' < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )
13316, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5, 22, 126, 132uniioombllem2 21969 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) )
13495, 133sylan2 474 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) )
135134adantlr 714 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) )
1361, 65, 69, 122, 135climi2 13315 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
137 1z 10901 . . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
1381rexuz3 13162 . . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) )
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
140136, 139sylib 196 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
141140ralrimiva 2857 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> A. j e. ( 1 ... m ) E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
142 fzfi 12063 . . . . . . 7 |- ( 1 ... m ) e. Fin
143 rexfiuz 13161 . . . . . . 7 |- ( ( 1 ... m ) e. Fin -> ( E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> A. j e. ( 1 ... m ) E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) )
144142, 143ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> A. j e. ( 1 ... m ) E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
145141, 144sylibr 212 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
1461rexuz3 13162 . . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ -> ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) )
147137, 146ax-mp 5 . . . . 5 |- ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
148145, 147sylibr 212 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
1491r19.2uz 13165 . . . 4 |- ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) -> E. n e. NN A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
150148, 149syl 16 . . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> E. n e. NN A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
15116adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
15217adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
15320adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> ( vol* ` E ) e. RR )
1543adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> C e. RR+ )
1557adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
15621adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
15722adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
158 simprll 763 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> m e. NN )
159 simprlr 764 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
160 eqid 2443 . . . . 5 |- U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... m ) ) = U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... m ) )
161 simprrl 765 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> n e. NN )
162 simprrr 766 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
163 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = z -> ( F ` i ) = ( F ` z ) )
164163fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = z -> ( (,) ` ( F ` i ) ) = ( (,) ` ( F ` z ) ) )
165164ineq1d 3684 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = z -> ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
166165fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = z -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
167166cbvsumv 13499 . . . . . . . . . . 11 |- sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
168 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> ( G ` j ) = ( G ` k ) )
169168fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> ( (,) ` ( G ` j ) ) = ( (,) ` ( G ` k ) ) )
170169ineq2d 3685 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = k -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) )
171170fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) )
172171sumeq2sdv 13507 . . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) )
173167, 172syl5eq 2496 . . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) )
174169ineq1d 3684 . . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) = ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) )
175174fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) )
176173, 175oveq12d 6299 . . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) = ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) )
177176fveq2d 5860 . . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) = ( abs ` ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) ) )
178177breq1d 4447 . . . . . . 7 |- ( j = k -> ( ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> ( abs ` ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) )
179178cbvralv 3070 . . . . . 6 |- ( A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> A. k e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
180162, 179sylib 196 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> A. k e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
181 eqid 2443 . . . . 5 |- U. ( ( (,) o. F ) " ( 1 ... n ) ) = U. ( ( (,) o. F ) " ( 1 ... n ) )
182151, 152, 18, 19, 153, 154, 155, 156, 5, 157, 158, 159, 160, 161, 180, 181uniioombllem5 21973 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
183182anassrs 648 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
184150, 183rexlimddv 2939 . 2 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
18564, 184rexlimddv 2939 1 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   \ cdif 3458   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3770   ifcif 3926   <.cop 4020   U.cuni 4234  Disj wdisj 4407   class class class wbr 4437   |-> cmpt 4495   X. cxp 4987   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   ran crn 4990   "cima 4992   o. ccom 4993   Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1stc1st 6783   2ndc2nd 6784   Fincfn 7518   supcsup 7902   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   + caddc 9498   x. cmul 9500   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630   < clt 9631   <_ cle 9632   - cmin 9810   / cdiv 10213   NNcn 10543   4c4 10594   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11091   RR+crp 11230   (,)cioo 11539   [,)cico 11541   ...cfz 11682   seqcseq 12088   abscabs 13048   ~~> cli 13288   sum_csu 13489   vol*covol 21851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-seq 12089  df-exp 12148  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292  df-rlim 13293  df-sum 13490  df-rest 14801  df-topgen 14822  df-psmet 18389  df-xmet 18390  df-met 18391  df-bl 18392  df-mopn 18393  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-cmp 19864  df-ovol 21853  df-vol 21854
This theorem is referenced by:  uniioombl  21975
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