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Theorem uniioombllem3 19430
Description: Lemma for uniioombl 19434. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
uniioombl.a  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
uniioombl.e  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
uniioombl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
uniioombl.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.s  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
uniioombl.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
uniioombl.v  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
uniioombl.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
uniioombl.m2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( T `  M
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
uniioombl.k  |-  K  = 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem3  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, K    x, A    x, C    x, M    ph, x    x, T
Allowed substitution hints:    S( x)    E( x)

Proof of Theorem uniioombllem3
Dummy variables  j 
k  n  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3521 . . . . 5  |-  ( E  i^i  A )  C_  E
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  A
)  C_  E )
3 uniioombl.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
4 uniioombl.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
54uniiccdif 19423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. ran  ( (,)  o.  G )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  G )  /\  ( vol * `  ( U. ran  ( [,]  o.  G
)  \  U. ran  ( (,)  o.  G ) ) )  =  0 ) )
65simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  U.
ran  ( [,]  o.  G ) )
7 ovolficcss 19319 . . . . . . 7  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U. ran  ( [,]  o.  G ) 
C_  RR )
84, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  ( [,] 
o.  G )  C_  RR )
96, 8sstrd 3318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  RR )
103, 9sstrd 3318 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
11 uniioombl.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
12 ovolsscl 19335 . . . 4  |-  ( ( ( E  i^i  A
)  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol * `  E )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( E  i^i  A ) )  e.  RR )
132, 10, 11, 12syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  A ) )  e.  RR )
14 difssd 3435 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  \  A
)  C_  E )
15 ovolsscl 19335 . . . 4  |-  ( ( ( E  \  A
)  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol * `  E )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( E  \  A ) )  e.  RR )
1614, 10, 11, 15syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  A ) )  e.  RR )
17 inss1 3521 . . . . . 6  |-  ( K  i^i  A )  C_  K
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  A
)  C_  K )
19 uniioombl.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
20 uniioombl.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
21 uniioombl.3 . . . . . . . 8  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
22 uniioombl.a . . . . . . . 8  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
23 uniioombl.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
24 uniioombl.t . . . . . . . 8  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
25 uniioombl.v . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
26 uniioombl.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
27 uniioombl.m2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( T `  M
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C
)
28 uniioombl.k . . . . . . . 8  |-  K  = 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )
2919, 20, 21, 22, 11, 23, 4, 3, 24, 25, 26, 27, 28uniioombllem3a 19429 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  =  U_ j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `
 j ) )  /\  ( vol * `  K )  e.  RR ) )
3029simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  =  U_ j  e.  ( 1 ... M
) ( (,) `  ( G `  j )
) )
31 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
32 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  j  e.  NN )
33 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  j )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
344, 32, 33syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  j )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
3531, 34sseldi 3306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  j )  e.  ( RR  X.  RR ) )
36 1st2nd2 6345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  j )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( G `
 j )  = 
<. ( 1st `  ( G `  j )
) ,  ( 2nd `  ( G `  j
) ) >. )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  j )  =  <. ( 1st `  ( G `  j )
) ,  ( 2nd `  ( G `  j
) ) >. )
3837fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `
 j ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  j )
) >. ) )
39 df-ov 6043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  j ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  j )
) >. )
4038, 39syl6eqr 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  =  ( ( 1st `  ( G `  j )
) (,) ( 2nd `  ( G `  j
) ) ) )
41 ioossre 10928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  ( G `
 j ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  j )
) )  C_  RR
4240, 41syl6eqss 3358 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( (,) `  ( G `  j ) )  C_  RR )
4342ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `  j )
)  C_  RR )
44 iunss 4092 . . . . . . 7  |-  ( U_ j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `
 j ) ) 
C_  RR  <->  A. j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `  j )
)  C_  RR )
4543, 44sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( 1 ... M ) ( (,) `  ( G `  j )
)  C_  RR )
4630, 45eqsstrd 3342 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  C_  RR )
4729simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  K )  e.  RR )
48 ovolsscl 19335 . . . . 5  |-  ( ( ( K  i^i  A
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )
4918, 46, 47, 48syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )
5023rpred 10604 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5149, 50readdcld 9071 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  C
)  e.  RR )
52 difssd 3435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  \  A
)  C_  K )
53 ovolsscl 19335 . . . . 5  |-  ( ( ( K  \  A
)  C_  K  /\  K  C_  RR  /\  ( vol * `  K )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( K  \  A ) )  e.  RR )
5452, 46, 47, 53syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( K  \  A ) )  e.  RR )
5554, 50readdcld 9071 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  \  A
) )  +  C
)  e.  RR )
56 ssun2 3471 . . . . . . 7  |-  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  C_  ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
57 ioof 10958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
58 ressxr 9085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  RR  C_  RR*
59 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
6058, 58, 59mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
6131, 60sstri 3317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
62 fss 5558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  G : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
634, 61, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
64 fco 5559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ~P RR  /\  G : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  G
) : NN --> ~P RR )
6557, 63, 64sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  G
) : NN --> ~P RR )
66 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,)  o.  G ) : NN --> ~P RR  ->  ( (,)  o.  G
)  Fn  NN )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (,)  o.  G
)  Fn  NN )
68 fnima 5522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  o.  G )  Fn  NN  ->  (
( (,)  o.  G
) " NN )  =  ran  ( (,) 
o.  G ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( (,)  o.  G ) " NN )  =  ran  ( (,) 
o.  G ) )
70 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7126peano2nnd 9973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
7271, 70syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
73 uzsplit 11073 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
1 )  =  ( ( 1 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  1 )  =  ( ( 1 ... ( ( M  +  1 )  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
7570, 74syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  NN  =  ( ( 1 ... ( ( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
7626nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
77 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
78 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
7976, 77, 78sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
8079oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... M ) )
8180uneq1d 3460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( ( M  + 
1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
8275, 81eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  NN  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
8382imaeq2d 5162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( (,)  o.  G ) " NN )  =  ( ( (,)  o.  G ) "
( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
8469, 83eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  ( (,)  o.  G )  =  ( ( (,)  o.  G
) " ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
85 imaundi 5243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (,)  o.  G )
" ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( (,)  o.  G ) " (
1 ... M ) )  u.  ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
8684, 85syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  ( (,)  o.  G )  =  ( ( ( (,)  o.  G ) " (
1 ... M ) )  u.  ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
8786unieqd 3986 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  = 
U. ( ( ( (,)  o.  G )
" ( 1 ... M ) )  u.  ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
88 uniun 3994 . . . . . . . . 9  |-  U. (
( ( (,)  o.  G ) " (
1 ... M ) )  u.  ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( 1 ... M
) )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )
8987, 88syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  =  ( U. ( ( (,)  o.  G )
" ( 1 ... M ) )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
9028uneq1i 3457 . . . . . . . 8  |-  ( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( U. ( ( (,)  o.  G )
" ( 1 ... M ) )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
9189, 90syl6eqr 2454 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ran  ( (,) 
o.  G )  =  ( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
9256, 91syl5sseqr 3357 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
9319, 20, 21, 22, 11, 23, 4, 3, 24, 25uniioombllem1 19426 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
94 ssid 3327 . . . . . . . 8  |-  U. ran  ( (,)  o.  G ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G )
9524ovollb 19328 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U. ran  ( (,)  o.  G
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,) 
o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )
)
964, 94, 95sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
97 ovollecl 19332 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ran  ( (,) 
o.  G )  C_  RR  /\  sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( vol * `
 U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )
989, 93, 96, 97syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )
99 ovolsscl 19335 . . . . . 6  |-  ( ( U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  /\  U.
ran  ( (,)  o.  G )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )  e.  RR )
10092, 9, 98, 99syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
10149, 100readdcld 9071 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR )
102 unss1 3476 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  i^i  A ) 
C_  K  ->  (
( K  i^i  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  ( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
10317, 102ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( K  i^i  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  C_  ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
104103, 91syl5sseqr 3357 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G ) )
105 ovolsscl 19335 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  G )  /\  U.
ran  ( (,)  o.  G )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( K  i^i  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
106104, 9, 98, 105syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )  e.  RR )
1073, 91sseqtrd 3344 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  C_  ( K  u.  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
108 ssrin 3526 . . . . . . . 8  |-  ( E 
C_  ( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( E  i^i  A )  C_  (
( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  i^i  A ) )
109107, 108syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  A
)  C_  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )  i^i  A ) )
110 indir 3549 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )  i^i  A )  =  ( ( K  i^i  A )  u.  ( U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  i^i  A ) )
111 inss1 3521 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  i^i  A )  C_  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )
112 unss2 3478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  i^i  A ) 
C_  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( K  i^i  A )  u.  ( U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  i^i  A
) )  C_  (
( K  i^i  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )
113111, 112ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  i^i  A )  u.  ( U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  i^i 
A ) )  C_  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
114110, 113eqsstri 3338 . . . . . . 7  |-  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )  i^i  A )  C_  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
115109, 114syl6ss 3320 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  A
)  C_  ( ( K  i^i  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
116104, 9sstrd 3318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  RR )
117 ovolss 19334 . . . . . 6  |-  ( ( ( E  i^i  A
)  C_  ( ( K  i^i  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  (
( K  i^i  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol * `  ( E  i^i  A ) )  <_  ( vol * `
 ( ( K  i^i  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
118115, 116, 117syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  A ) )  <_  ( vol * `
 ( ( K  i^i  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
11918, 46sstrd 3318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  A
)  C_  RR )
12092, 9sstrd 3318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  RR )
121 ovolun 19348 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  i^i  A )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  e.  RR )  /\  ( U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
122119, 49, 120, 100, 121syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( K  i^i  A )  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
12313, 106, 101, 118, 122letrd 9183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  A ) )  <_  ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
124 0re 9047 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
125 pnfxr 10669 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  RR*
126 icossre 10947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
127124, 125, 126mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
128 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
129128, 24ovolsf 19322 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  T : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
1304, 129syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
131130, 26ffvelrnd 5830 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T `  M
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
132127, 131sseldi 3306 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( T `  M
)  e.  RR )
13393, 132resubcld 9421 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  e.  RR )
134100rexrd 9090 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  RR* )
135 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  NN )
136 nnaddcl 9978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( z  +  M
)  e.  NN )
137135, 26, 136syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  +  M )  e.  NN )
1384ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  +  M )  e.  NN )  ->  ( G `  ( z  +  M
) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
139137, 138syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  NN )  ->  ( G `
 ( z  +  M ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
140 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  |->  ( G `
 ( z  +  M ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) )
141139, 140fmptd 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
142 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) )
143 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) )  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) )
144142, 143ovolsf 19322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
145141, 144syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
146 frn 5556 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) 
+oo )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
148 icossxr 10951 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
149147, 148syl6ss 3320 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  C_  RR* )
150 supxrcl 10849 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  C_  RR* 
->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
151149, 150syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
152133rexrd 9090 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  e. 
RR* )
153 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  ZZ
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
15526nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
156155adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
157 addcom 9208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( M  +  1 )  =  ( 1  +  M ) )
15876, 77, 157sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  =  ( 1  +  M ) )
159158fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  (
1  +  M ) ) )
160159eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  <->  x  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) ) )
161160biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) )
162 eluzsub 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  M ) ) )  ->  ( x  -  M )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
163154, 156, 161, 162syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( x  -  M )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
164163, 70syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( x  -  M )  e.  NN )
165 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  x  e.  ZZ )
166165adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
167166zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  CC )
16876adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  CC )
169167, 168npcand 9371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
x  -  M )  +  M )  =  x )
170169eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  =  ( ( x  -  M )  +  M
) )
171 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( x  -  M )  ->  (
z  +  M )  =  ( ( x  -  M )  +  M ) )
172171eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( x  -  M )  ->  (
x  =  ( z  +  M )  <->  x  =  ( ( x  -  M )  +  M
) ) )
173172rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  -  M
)  e.  NN  /\  x  =  ( (
x  -  M )  +  M ) )  ->  E. z  e.  NN  x  =  ( z  +  M ) )
174164, 170, 173syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  E. z  e.  NN  x  =  ( z  +  M ) )
175 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
176 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) )
177176elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e.  ran  (
z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) )  <->  E. z  e.  NN  x  =  ( z  +  M ) ) )
178175, 177ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) )  <->  E. z  e.  NN  x  =  ( z  +  M ) )
179174, 178sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) ) )
180179ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  ->  x  e.  ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) ) )
181180ssrdv 3314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) 
C_  ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) )
182 imass2 5199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  C_  ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) )  ->  ( G " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  ( G " ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) ) )
183181, 182syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
C_  ( G " ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) ) ) )
184 rnco2 5336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  ( G  o.  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) )  =  ( G " ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) ) )
185 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) )
1864feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  =  ( w  e.  NN  |->  ( G `
 w ) ) )
187 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( z  +  M )  ->  ( G `  w )  =  ( G `  ( z  +  M
) ) )
188137, 185, 186, 187fmptco 5860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
z  e.  NN  |->  ( z  +  M ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) )
189188rneqd 5056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  ( G  o.  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) ) )  =  ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) )
190184, 189syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G " ran  ( z  e.  NN  |->  ( z  +  M
) ) )  =  ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) )
191183, 190sseqtrd 3344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
C_  ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) )
192 imass2 5199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  C_  ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) )  ->  ( (,) " ( G " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  C_  ( (,) " ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) )
193191, 192syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (,) " ( G " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  C_  ( (,) " ran  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )
194 imaco 5334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  ( (,) " ( G
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
195 rnco2 5336 . . . . . . . . . 10  |-  ran  ( (,)  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) )  =  ( (,) " ran  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) )
196193, 194, 1953sstr4g 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
C_  ran  ( (,)  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )
197196unissd 3999 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) )
198143ovollb 19328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) )  ->  ( vol * `
 U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  <_  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
199141, 197, 198syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
200 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  T 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
201130, 200syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  (
0 [,)  +oo ) )
202201, 148syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  RR* )
203202adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  T  C_ 
RR* )
20424fveq1i 5688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T `
 ( M  +  n ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) `  ( M  +  n
) )
20526nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
206205ltp1d 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
207 fzdisj 11034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  <  ( M  + 
1 )  ->  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) )  =  (/) )
208206, 207syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) )  =  (/) )
209208adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ( M  +  1 ) ... ( M  +  n
) ) )  =  (/) )
210 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
211 nn0addge1 10222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  ->  M  <_  ( M  +  n ) )
212205, 210, 211syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  <_ 
( M  +  n
) )
21326adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
214213, 70syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
215 nnaddcl 9978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  n
)  e.  NN )
21626, 215sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  n )  e.  NN )
217216nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  n )  e.  ZZ )
218 elfz5 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( M  +  n )  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 1 ... ( M  +  n ) )  <->  M  <_  ( M  +  n ) ) )
219214, 217, 218syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  e.  ( 1 ... ( M  +  n
) )  <->  M  <_  ( M  +  n ) ) )
220212, 219mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )
221 fzsplit 11033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( 1 ... ( M  +  n
) )  ->  (
1 ... ( M  +  n ) )  =  ( ( 1 ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) ) )
222220, 221syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( M  +  n ) )  =  ( ( 1 ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) ) )
223 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( M  +  n ) )  e. 
Fin )
2244adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
225 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  n
) )  ->  j  e.  NN )
226 ovolfcl 19316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
227224, 225, 226syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
228227simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  e.  RR )
229227simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  e.  RR )
230228, 229resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
231230recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  CC )
232209, 222, 223, 231fsumsplit 12488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... M
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) ) )
233128ovolfsval 19320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  j )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) ) )
234224, 225, 233syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  j )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) ) )
235216, 70syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  n )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
236234, 235, 231fsumser 12479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( M  +  n )
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  ( M  +  n ) ) )
2374ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
23832adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  j  e.  NN )
239237, 238, 233syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  j )  =  ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) ) )
2404, 32, 226syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
241240simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  e.  RR )
242240simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  e.  RR )
243241, 242resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
244243adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
245244recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  CC )
246239, 214, 245fsumser 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... M
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  M )
)
24724fveq1i 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T `
 M )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) `  M )
248246, 247syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... M
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  ( T `  M ) )
249213nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
250249peano2zd 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
2514ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
252213peano2nnd 9973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
253 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( M  +  n
) )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
25470uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
j  e.  NN )
255252, 253, 254syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  j  e.  NN )
256251, 255, 226syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  j )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 j ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  j ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  j )
) ) )
257256simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  e.  RR )
258256simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  e.  RR )
259257, 258resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  RR )
260259recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  e.  CC )
261 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  ( k  +  M )  ->  ( G `  j )  =  ( G `  ( k  +  M
) ) )
262261fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  ( k  +  M )  ->  ( 2nd `  ( G `  j ) )  =  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )
263261fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  ( k  +  M )  ->  ( 1st `  ( G `  j ) )  =  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )
264262, 263oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  ( k  +  M )  ->  (
( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) ) )
265249, 250, 217, 260, 264fsumshftm 12519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( ( M  + 
1 )  -  M
) ... ( ( M  +  n )  -  M ) ) ( ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) ) )
266213nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
267 pncan2 9268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  M
)  =  1 )
268266, 77, 267sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M  +  1 )  -  M )  =  1 )
269 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
270269adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
271266, 270pncan2d 9369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M  +  n )  -  M )  =  n )
272268, 271oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( M  +  1 )  -  M ) ... ( ( M  +  n )  -  M ) )  =  ( 1 ... n
) )
273272sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( M  +  1 )  -  M ) ... (
( M  +  n
)  -  M ) ) ( ( 2nd `  ( G `  (
k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M
) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) ( ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) ) )
274141adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( z  e.  NN  |->  ( G `
 ( z  +  M ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
275 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
276142ovolfsval 19320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( 2nd `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) `  k ) )  -  ( 1st `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) `  k ) ) ) )
277274, 275, 276syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( 2nd `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) `  k ) )  -  ( 1st `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) `  k ) ) ) )
278275adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
279 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  =  k  ->  (
z  +  M )  =  ( k  +  M ) )
280279fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  k  ->  ( G `  ( z  +  M ) )  =  ( G `  (
k  +  M ) ) )
281 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( G `
 ( k  +  M ) )  e. 
_V
282280, 140, 281fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) `  k )  =  ( G `  ( k  +  M
) ) )
283278, 282syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) `  k )  =  ( G `  ( k  +  M
) ) )
284283fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 2nd `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `
 ( z  +  M ) ) ) `
 k ) )  =  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )
285283fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 1st `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `
 ( z  +  M ) ) ) `
 k ) )  =  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )
286284, 285oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 2nd `  (
( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) `  k ) )  -  ( 1st `  ( ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) `  k ) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  (
k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M
) ) ) ) )
287277, 286eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( 2nd `  ( G `
 ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) ) )
288 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
289288, 70syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2904ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
291 nnaddcl 9978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( k  +  M
)  e.  NN )
292275, 213, 291syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
k  +  M )  e.  NN )
293 ovolfcl 19316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (
k  +  M )  e.  NN )  -> 
( ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M
) ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  (
k  +  M ) ) )  <_  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M
) ) ) ) )
294290, 292, 293syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M
) ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  (
k  +  M ) ) )  <_  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M
) ) ) ) )
295294simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 2nd `  ( G `  ( k  +  M
) ) )  e.  RR )
296294simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M
) ) )  e.  RR )
297295, 296resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )  e.  RR )
298297recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( 2nd `  ( G `  ( k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M ) ) ) )  e.  CC )
299287, 289, 298fsumser 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) ( ( 2nd `  ( G `  (
k  +  M ) ) )  -  ( 1st `  ( G `  ( k  +  M
) ) ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n ) )
300265, 273, 2993eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( M  +  n )
) ( ( 2nd `  ( G `  j
) )  -  ( 1st `  ( G `  j ) ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n ) )
301248, 300oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) )  + 
sum_ j  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( M  +  n ) ) ( ( 2nd `  ( G `  j )
)  -  ( 1st `  ( G `  j
) ) ) )  =  ( ( T `
 M )  +  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n ) ) )
302232, 236, 3013eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  ( M  +  n )
)  =  ( ( T `  M )  +  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n ) ) )
303204, 302syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 ( M  +  n ) )  =  ( ( T `  M )  +  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n ) ) )
304 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  T  Fn  NN )
305130, 304syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  Fn  NN )
306305adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  T  Fn  NN )
307 fnfvelrn 5826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  Fn  NN  /\  ( M  +  n
)  e.  NN )  ->  ( T `  ( M  +  n
) )  e.  ran  T )
308306, 216, 307syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 ( M  +  n ) )  e. 
ran  T )
309303, 308eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( T `  M )  +  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n ) )  e.  ran  T
)
310 supxrub 10859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  T  C_  RR*  /\  (
( T `  M
)  +  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n ) )  e. 
ran  T )  -> 
( ( T `  M )  +  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
311203, 309, 310syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( T `  M )  +  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) )
312132adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 M )  e.  RR )
313145ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
314127, 313sseldi 3306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  e.  RR )
31593adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
316312, 314, 315leaddsub2d 9584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( T `  M
)  +  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n ) )  <_  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
317311, 316mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) )
318317ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) )
319 ffn 5550 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,) 
+oo )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  Fn  NN )
320145, 319syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  Fn  NN )
321 breq1 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n )  ->  ( x  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  <->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
322321ralrn 5832 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. x  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) x  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  <->  A. n  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
323320, 322syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) x  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  <->  A. n  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) `  n )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
324318, 323mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) x  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) )
325 supxrleub 10861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) )  C_  RR* 
/\  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M
) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  <->  A. x  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) x  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
326149, 152, 325syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  <->  A. x  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) x  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) ) )
327324, 326mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
z  e.  NN  |->  ( G `  ( z  +  M ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) ) )
328134, 151, 152, 199, 327xrletrd 10708 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M )
) )
329132, 93, 50absdifltd 12191 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( T `  M
)  -  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  ) ) )  <  C  <->  ( ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  C )  < 
( T `  M
)  /\  ( T `  M )  <  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  C ) ) ) )
33027, 329mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  -  C )  < 
( T `  M
)  /\  ( T `  M )  <  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  C ) ) )
331330simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  C )  < 
( T `  M
) )
33293, 50, 132, 331ltsub23d 9587 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  -  ( T `  M ) )  < 
C )
333100, 133, 50, 328, 332lelttrd 9184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  <  C )
334100, 50, 49, 333ltadd2dd 9185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  i^i  A
) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  <  (
( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  C ) )
33513, 101, 51, 123, 334lelttrd 9184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  i^i  A ) )  <  ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  C ) )
33654, 100readdcld 9071 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  \  A
) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR )
337 difss 3434 . . . . . . . 8  |-  ( K 
\  A )  C_  K
338 unss1 3476 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  \  A ) 
C_  K  ->  (
( K  \  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  ( K  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
339337, 338ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  C_  ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
340339, 91syl5sseqr 3357 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
341 ovolsscl 19335 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  /\  U.
ran  ( (,)  o.  G )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. ran  ( (,)  o.  G ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
342340, 9, 98, 341syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR )
343107ssdifd 3443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  \  A
)  C_  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
\  A ) )
344 difundir 3554 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
\  A )  =  ( ( K  \  A )  u.  ( U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
\  A ) )
345 difss 3434 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) 
\  A )  C_  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )
346 unss2 3478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  \  A ) 
C_  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( K  \  A )  u.  ( U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  \  A
) )  C_  (
( K  \  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )
347345, 346ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  \  A )  u.  ( U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  \  A ) )  C_  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )
348344, 347eqsstri 3338 . . . . . . 7  |-  ( ( K  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
\  A )  C_  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )
349343, 348syl6ss 3320 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  \  A
)  C_  ( ( K  \  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
350340, 9sstrd 3318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )  C_  RR )
351 ovolss 19334 . . . . . 6  |-  ( ( ( E  \  A
)  C_  ( ( K  \  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  /\  (
( K  \  A
)  u.  U. (
( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol * `  ( E  \  A ) )  <_  ( vol * `
 ( ( K 
\  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
352349, 350, 351syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  A ) )  <_  ( vol * `
 ( ( K 
\  A )  u. 
U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
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)  C_  RR )
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( (,)  o.  G
) " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( vol
* `  ( K  \  A ) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) ) )
355353, 54, 120, 100, 354syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( K  \  A )  u.  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( vol * `  ( K  \  A ) )  +  ( vol
* `  U. ( ( (,)  o.  G )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
35616, 342, 336, 352, 355letrd 9183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  A ) )  <_  ( ( vol * `  ( K 
\  A ) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,) 
o.  G ) "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
357100, 50, 54, 333ltadd2dd 9185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( K  \  A
) )  +  ( vol * `  U. ( ( (,)  o.  G ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  <  (
( vol * `  ( K  \  A ) )  +  C ) )
35816, 336, 55, 356, 357lelttrd 9184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( E  \  A ) )  <  ( ( vol * `  ( K  \  A ) )  +  C ) )
35913, 16, 51, 55, 335, 358lt2addd 9604 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  C )  +  ( ( vol
* `  ( K  \  A ) )  +  C ) ) )
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* `  ( K  i^i  A ) )  +  C )  +  ( ( vol * `  ( K  \  A ) )  +  C ) )  =  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) ) )
364359, 363breqtrd 4196 1  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  ( E  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( E  \  A ) ) )  <  ( ( ( vol * `  ( K  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( K  \  A ) ) )  +  ( C  +  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   <.cop 3777   U.cuni 3975   U_ciun 4053  Disj wdisj 4142   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   ran crn 4838   "cima 4840    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   [,]cicc 10875   ...cfz 10999    seq cseq 11278   abscabs 11994   sum_csu 12434   vol
*covol 19312
This theorem is referenced by:  uniioombllem5  19432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314  df-vol 19315
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