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Theorem uniioombllem2OLD 22539
Description: Lemma for uniioombl 22545. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.) Obsolete version of uniioombllem2 22538 as of 13-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
uniioombl.a  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
uniioombl.e  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
uniioombl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
uniioombl.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.s  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
uniioombl.t  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
uniioombl.v  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
uniioombllem2OLD.h  |-  H  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
uniioombllem2OLD.k  |-  K  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem2OLD  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq 1
(  +  ,  ( vol*  o.  H
) )  ~~>  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  J ) )  i^i 
A ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, F    x, G, z    x, K, z    x, A, z   
x, C, z    x, H, z    x, J, z    ph, x, z    x, T, z
Allowed substitution hints:    S( x, z)    E( x, z)

Proof of Theorem uniioombllem2OLD
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11201 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 eqid 2422 . . 3  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )
3 1zzd 10975 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
4 eqidd 2423 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) )
5 uniioombl.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
6 uniioombl.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `  x ) ) )
7 uniioombl.3 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
8 uniioombl.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
9 uniioombl.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
10 uniioombl.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
11 uniioombl.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
12 uniioombl.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
13 uniioombl.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
14 uniioombl.v . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
155, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14uniioombllem2a 22537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
ran  (,) )
16 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( G `  J ) )
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( G `  J ) ) )
18 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
1911ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `
 J )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2018, 19sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `
 J )  e.  ( RR  X.  RR ) )
21 1st2nd2 6844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  J )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( G `
 J )  = 
<. ( 1st `  ( G `  J )
) ,  ( 2nd `  ( G `  J
) ) >. )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `
 J )  = 
<. ( 1st `  ( G `  J )
) ,  ( 2nd `  ( G `  J
) ) >. )
2322fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( G `  J
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  J ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  J )
) >. ) )
24 df-ov 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  J ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  J )
) >. )
2523, 24syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( G `  J
) )  =  ( ( 1st `  ( G `  J )
) (,) ( 2nd `  ( G `  J
) ) ) )
26 ioossre 11703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) )  C_  RR
2725, 26syl6eqss 3514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( G `  J
) )  C_  RR )
2825fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  =  ( vol* `  ( ( 1st `  ( G `  J )
) (,) ( 2nd `  ( G `  J
) ) ) ) )
29 ovolfcl 22417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  J  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  J )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 J ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  J ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  J )
) ) )
3011, 29sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( G `
 J ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `  J ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  J
) )  <_  ( 2nd `  ( G `  J ) ) ) )
31 ovolioo 22519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  J )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 J ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  J ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  J )
) )  ->  ( vol* `  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  J )
)  -  ( 1st `  ( G `  J
) ) ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( ( 1st `  ( G `  J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  J )
)  -  ( 1st `  ( G `  J
) ) ) )
3328, 32eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  J )
)  -  ( 1st `  ( G `  J
) ) ) )
3430simp2d 1018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  J
) )  e.  RR )
3530simp1d 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  J
) )  e.  RR )
3634, 35resubcld 10054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( G `
 J ) )  -  ( 1st `  ( G `  J )
) )  e.  RR )
3733, 36eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e.  RR )
38 ovolsscl 22437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  C_  ( (,) `  ( G `
 J ) )  /\  ( (,) `  ( G `  J )
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )
3917, 27, 37, 38syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )
4039adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )
41 uniioombllem2OLD.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
4241ioorclOLD 22532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
ran  (,)  /\  ( vol* `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )  ->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
4315, 40, 42syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
44 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  |->  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) )
4543, 44fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( z  e.  NN  |->  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
46 uniioombllem2OLD.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  H  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
4841ioorfOLD 22528 . . . . . . . . . . . 12  |-  K : ran  (,) --> (  <_  i^i  ( RR*  X.  RR* )
)
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  K : ran  (,) --> (  <_  i^i  ( RR*  X.  RR* )
) )
5049feqmptd 5934 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  K  =  ( y  e.  ran  (,)  |->  ( K `  y
) ) )
51 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) )  ->  ( K `  y )  =  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) )
5215, 47, 50, 51fmptco 6071 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( K  o.  H )  =  ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) )
5352feq1d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
5445, 53mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
55 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) )
5655ovolfsf 22422 . . . . . . 7  |-  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
5754, 56syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
5857ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
59 elrege0 11745 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) ) )
6058, 59sylib 199 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) ) )
6160simpld 460 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  RR )
6260simprd 464 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) )
6352fveq1d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( K  o.  H ) `
 z )  =  ( ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) `  z ) )
64 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) )  e.  _V
6544fvmpt2 5973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  NN  /\  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e. 
_V )  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) `
 z )  =  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
6664, 65mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  NN  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) `
 z )  =  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
6763, 66sylan9eq 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( K  o.  H
) `  z )  =  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
6867fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  z ) )  =  ( (,) `  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) )
6941ioorinvOLD 22531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
ran  (,)  ->  ( (,) `  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
7015, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
7168, 70eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  z ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
7271ralrimiva 2836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  A. z  e.  NN  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  z )
)  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
73 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( K  o.  H
) `  z )  =  ( ( K  o.  H ) `  x ) )
7473fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  z ) )  =  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
) )
75 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
7675fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( (,) `  ( F `  z ) )  =  ( (,) `  ( F `  x )
) )
7776ineq1d 3663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  x )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
7874, 77eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
( (,) `  (
( K  o.  H
) `  z )
)  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  <->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x
) )  =  ( ( (,) `  ( F `  x )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
7978rspccva 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. z  e.  NN  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `
 z ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
)  =  ( ( (,) `  ( F `
 x ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
8072, 79sylan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  x  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  x )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
81 inss1 3682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (,) `  ( F `
 x ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( F `  x ) )
8280, 81syl6eqss 3514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  x  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x ) )  C_  ( (,) `  ( F `
 x ) ) )
8382ralrimiva 2836 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  A. x  e.  NN  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
)  C_  ( (,) `  ( F `  x
) ) )
846adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  -> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `  x )
) )
85 disjss2 4397 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  NN  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x ) )  C_  ( (,) `  ( F `
 x ) )  ->  (Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 x ) )  -> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x ) ) ) )
8683, 84, 85sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  -> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
) )
8754, 86, 2uniioovol 22534 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
8870mpteq2dva 4510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( z  e.  NN  |->  ( (,) `  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
89 rexpssxrxp 9692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
9018, 89sstri 3473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
9190, 43sseldi 3462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  ( RR*  X.  RR* )
)
92 ioof 11739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR )
9493feqmptd 5934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  (,)  =  ( y  e.  (
RR*  X.  RR* )  |->  ( (,) `  y ) ) )
95 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )  ->  ( (,) `  y
)  =  ( (,) `  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) )
9691, 52, 94, 95fmptco 6071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  ( K  o.  H ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( (,) `  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) ) ) ) )
9788, 96, 473eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  ( K  o.  H ) )  =  H )
9897rneqd 5081 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) )  =  ran  H )
9998unieqd 4229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) )  =  U. ran  H
)
100 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,) `  ( F `  z
) )  e.  _V
101100inex1 4565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  e.  _V
10246fvmpt2 5973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  NN  /\  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
_V )  ->  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) )
103101, 102mpan2 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) )
104 incom 3655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  =  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  z
) ) )
105103, 104syl6eq 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  ( (,) `  ( F `  z ) ) ) )
106105iuneq2i 4318 . . . . . . . . . 10  |-  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  U_ z  e.  NN  (
( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  z
) ) )
107 iunin2 4363 . . . . . . . . . 10  |-  U_ z  e.  NN  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  ( (,) `  ( F `  z ) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z ) ) )
108106, 107eqtri 2451 . . . . . . . . 9  |-  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z )
) )
10915, 46fmptd 6061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  H : NN
--> ran  (,) )
110 ffn 5746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : NN --> ran  (,)  ->  H  Fn  NN )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  H  Fn  NN )
112 fniunfv 6167 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  Fn  NN  ->  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  U. ran  H )
113111, 112syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  U. ran  H )
114108, 113syl5eqr 2477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 z ) ) )  =  U. ran  H )
1155adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  F : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
116 fvco3 5958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  z )  =  ( (,) `  ( F `  z )
) )
117115, 116sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  z )  =  ( (,) `  ( F `  z )
) )
118117iuneq2dv 4321 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z ) ) )
119 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
12092, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
121 fss 5754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
122115, 90, 121sylancl 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( RR*  X.  RR* )
)
123 fnfco 5765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  F : NN --> ( RR*  X.  RR* ) )  ->  ( (,)  o.  F )  Fn  NN )
124120, 122, 123sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  F )  Fn  NN )
125 fniunfv 6167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (,)  o.  F )  Fn  NN  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
127126, 8syl6eqr 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  A )
128118, 127eqtr3d 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z )
)  =  A )
129128ineq2d 3664 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 z ) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  A ) )
13099, 114, 1293eqtr2d 2469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  A
) )
131130fveq2d 5885 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol* `  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
) )
13287, 131eqtr3d 2465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
) )
133 inss1 3682 . . . . . . 7  |-  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `
 J ) )
134133a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `
 J ) ) )
135 ovolsscl 22437 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `  J )
)  /\  ( (,) `  ( G `  J
) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( (,) `  ( G `
 J ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
)  e.  RR )
136134, 27, 37, 135syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  J ) )  i^i 
A ) )  e.  RR )
137132, 136eqeltrd 2507 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e.  RR )
13855, 2ovolsf 22423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
13954, 138syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
140 ffn 5746 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  Fn  NN )
141139, 140syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  Fn  NN )
142 fnfvelrn 6034 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  Fn  NN  /\  y  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  e.  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) )
143141, 142sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  y  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  e.  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) )
144 frn 5752 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) 
C_  ( 0 [,) +oo ) )
145139, 144syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  C_  (
0 [,) +oo )
)
146 icossxr 11726 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
147145, 146syl6ss 3476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  C_  RR* )
148 supxrub 11617 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  C_  RR* 
/\  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  e. 
ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) )  ->  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
149147, 148sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  e.  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
150143, 149syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  y  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
151150ralrimiva 2836 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  A. y  e.  NN  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
152 breq2 4427 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x 
<->  (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
153152ralbidv 2861 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( A. y  e.  NN  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x 
<-> 
A. y  e.  NN  (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
154153rspcev 3182 . . . 4  |-  ( ( sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\ 
A. y  e.  NN  (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  <_  x )
155137, 151, 154syl2anc 665 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x )
1561, 2, 3, 4, 61, 62, 155isumsup2 13903 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  ~~>  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR ,  <  ) )
15755ovolfs2 22521 . . . . 5  |-  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( ( vol*  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H )
) )
15854, 157syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( ( vol*  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H )
) )
159 coass 5373 . . . . 5  |-  ( ( vol*  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H ) )  =  ( vol*  o.  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) ) )
16097coeq2d 5016 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol*  o.  ( (,)  o.  ( K  o.  H
) ) )  =  ( vol*  o.  H ) )
161159, 160syl5eq 2475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( vol*  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H ) )  =  ( vol*  o.  H ) )
162158, 161eqtrd 2463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( vol*  o.  H
) )
163162seqeq3d 12227 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( vol*  o.  H )
) )
164 rge0ssre 11747 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
165145, 164syl6ss 3476 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  C_  RR )
166 1nn 10627 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
167 fdm 5750 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  dom  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  NN )
168139, 167syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  dom  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  =  NN )
169166, 168syl5eleqr 2514 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  1  e. 
dom  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) )
170 ne0i 3767 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  dom  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  ->  dom  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =/=  (/) )
171169, 170syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  dom  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  =/=  (/) )
172 dm0rn0 5070 . . . . . 6  |-  ( dom 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =  (/) 
<->  ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =  (/) )
173172necon3bii 2688 . . . . 5  |-  ( dom 
seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =/=  (/) 
<->  ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =/=  (/) )
174171, 173sylib 199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  =/=  (/) )
175 breq1 4426 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  -> 
( z  <_  x  <->  (  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  x
) )
176175ralrn 6040 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e. 
ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) z  <_  x  <->  A. y  e.  NN  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x ) )
177141, 176syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( A. z  e.  ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) z  <_  x  <->  A. y  e.  NN  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x ) )
178177rexbidv 2936 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x ) )
179155, 178mpbird 235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) z  <_  x )
180 supxrre 11620 . . . 4  |-  ( ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  C_  RR  /\  ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) z  <_  x )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR ,  <  ) )
181165, 174, 179, 180syl3anc 1264 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR ,  <  ) )
182181, 132eqtr3d 2465 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
) )
183156, 163, 1823brtr3d 4453 1  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq 1
(  +  ,  ( vol*  o.  H
) )  ~~>  ( vol* `  ( ( (,) `  ( G `  J ) )  i^i 
A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ifcif 3911   ~Pcpw 3981   <.cop 4004   U.cuni 4219   U_ciun 4299  Disj wdisj 4394   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482    X. cxp 4851   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   ran crn 4854    o. ccom 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1stc1st 6805   2ndc2nd 6806   supcsup 7963   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549   +oocpnf 9679   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867   NNcn 10616   RR+crp 11309   (,)cioo 11642   [,)cico 11644    seqcseq 12219   abscabs 13297    ~~> cli 13547   vol*covol 22411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-rest 15320  df-topgen 15341  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-cmp 20400  df-ovol 22414  df-vol 22416
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