Theorem uniioombllem2 20963

Description: Lemma for uniioombl 20969. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.2	|- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
uniioombl.3	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
uniioombl.a	|- A = U. ran ( (,) o. F )
uniioombl.e	|- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
uniioombl.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
uniioombl.g	|- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.s	|- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
uniioombl.t	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
uniioombl.v	|- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
uniioombllem2.h	|- H = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
uniioombllem2.k	|- K = ( x e. ran (,) |-> if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <. sup ( x , RR* , `' < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
uniioombllem2	|- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. H ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )

Distinct variable groups:   x, z, F   x, G, z   x, K, z   x, A, z   x, C, z   x, H, z   x, J, z   ph, x, z   x, T, z

Allowed substitution hints:   S( x, z)   E( x, z)

Proof of Theorem uniioombllem2

Dummy variables n y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 10892	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		eqid 2441	. . 3 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) )
3		1zzd 10673	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> 1 e. ZZ )
4		eqidd 2442	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) = ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) )
5		uniioombl.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
6		uniioombl.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
7		uniioombl.3	. . . . . . . . . . 11 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
8		uniioombl.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = U. ran ( (,) o. F )
9		uniioombl.e	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
10		uniioombl.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR+ )
11		uniioombl.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
12		uniioombl.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
13		uniioombl.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
14		uniioombl.v	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
15	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	uniioombllem2a 20962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. ran (,) )
16		inss2 3568	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) )
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) )
18		inss2 3568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
19	11	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( G ` J ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
20	18, 19	sseldi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( G ` J ) e. ( RR X. RR ) )
21		1st2nd2 6612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` J ) e. ( RR X. RR ) -> ( G ` J ) = <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( G ` J ) = <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. )
23	22	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) ` ( G ` J ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. ) )
24		df-ov 6093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. )
25	23, 24	syl6eqr 2491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) ` ( G ` J ) ) = ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) )
26		ioossre 11353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) C_ RR
27	25, 26	syl6eqss 3403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) ` ( G ` J ) ) C_ RR )
28	25	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) ) )
29		ovolfcl 20850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ J e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` J ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) )
30	11, 29	sylan 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` J ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) )
31		ovolioo 20949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` J ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) )
33	28, 32	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) )
34	30	simp2d 996	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR )
35	30	simp1d 995	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR )
36	34, 35	resubcld 9772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) e. RR )
37	33, 36	eqeltrd 2515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. RR )
38		ovolsscl 20869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) /\ ( (,) ` ( G ` J ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR )
39	17, 27, 37, 38	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR )
40	39	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR )
41		uniioombllem2.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( x e. ran (,) |-> if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <. sup ( x , RR* , `' < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )
42	41	ioorcl 20957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. ran (,) /\ ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR ) -> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
43	15, 40, 42	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
44		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
45	43, 44	fmptd 5864	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
46		uniioombllem2.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> H = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
48	41	ioorf 20953	. . . . . . . . . . . 12 |- K : ran (,) --> ( <_ i^i ( RR* X. RR* ) )
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> K : ran (,) --> ( <_ i^i ( RR* X. RR* ) ) )
50	49	feqmptd 5741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> K = ( y e. ran (,) |-> ( K ` y ) ) )
51		fveq2 5688	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) -> ( K ` y ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
52	15, 47, 50, 51	fmptco 5873	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( K o. H ) = ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) )
53	52	feq1d 5543	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) <-> ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) )
54	45, 53	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
55		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) )
56	55	ovolfsf 20855	. . . . . . 7 |- ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
57	54, 56	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
58	57	ffvelrnda 5840	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) )
59		elrege0 11388	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) ) )
60	58, 59	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) ) )
61	60	simpld 456	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. RR )
62	60	simprd 460	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) )
63	52	fveq1d 5690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( K o. H ) ` z ) = ( ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ` z ) )
64		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. _V
65	44	fvmpt2 5778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. NN /\ ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. _V ) -> ( ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ` z ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
66	64, 65	mpan2 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. NN -> ( ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ` z ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
67	63, 66	sylan9eq 2493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( ( K o. H ) ` z ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
68	67	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) )
69	41	ioorinv 20956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. ran (,) -> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
70	15, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
71	68, 70	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
72	71	ralrimiva 2797	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> A. z e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
73		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( K o. H ) ` z ) = ( ( K o. H ) ` x ) )
74	73	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) )
75		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( F ` z ) = ( F ` x ) )
76	75	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( (,) ` ( F ` z ) ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
77	76	ineq1d 3548	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
78	74, 77	eqeq12d 2455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) <-> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
79	78	rspccva 3069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. z e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) /\ x e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
80	72, 79	sylan 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ x e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
81		inss1 3567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) )
82	80, 81	syl6eqss 3403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ x e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) ) )
83	82	ralrimiva 2797	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> A. x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) ) )
84	6	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
85		disjss2 4262	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) ) -> (Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) ) )
86	83, 84, 85	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) )
87	54, 86, 2	uniioovol 20959	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
88	70	mpteq2dva 4375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( z e. NN |-> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
89		rexpssxrxp 9424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
90	18, 89	sstri 3362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* )
91	90, 43	sseldi 3351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. ( RR* X. RR* ) )
92		ioof 11383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR )
94	93	feqmptd 5741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> (,) = ( y e. ( RR* X. RR* ) |-> ( (,) ` y ) ) )
95		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) -> ( (,) ` y ) = ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) )
96	91, 52, 94, 95	fmptco 5873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) o. ( K o. H ) ) = ( z e. NN |-> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ) )
97	88, 96, 47	3eqtr4d 2483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) o. ( K o. H ) ) = H )
98	97	rneqd 5063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran ( (,) o. ( K o. H ) ) = ran H )
99	98	unieqd 4098	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) = U. ran H )
100		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) ` ( F ` z ) ) e. _V
101	100	inex1 4430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. _V
102	46	fvmpt2 5778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. NN /\ ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. _V ) -> ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
103	101, 102	mpan2 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
104		incom 3540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) )
105	103, 104	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) ) )
106	105	iuneq2i 4186	. . . . . . . . . 10 |- U_ z e. NN ( H ` z ) = U_ z e. NN ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) )
107		iunin2 4231	. . . . . . . . . 10 |- U_ z e. NN ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) )
108	106, 107	eqtri 2461	. . . . . . . . 9 |- U_ z e. NN ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) )
109	15, 46	fmptd 5864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> H : NN --> ran (,) )
110		ffn 5556	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : NN --> ran (,) -> H Fn NN )
111	109, 110	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> H Fn NN )
112		fniunfv 5961	. . . . . . . . . 10 |- ( H Fn NN -> U_ z e. NN ( H ` z ) = U. ran H )
113	111, 112	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( H ` z ) = U. ran H )
114	108, 113	syl5eqr 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) ) = U. ran H )
115	5	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
116		fvco3 5765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ z e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` z ) = ( (,) ` ( F ` z ) ) )
117	115, 116	sylan 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` z ) = ( (,) ` ( F ` z ) ) )
118	117	iuneq2dv 4189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) )
119		ffn 5556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
120	92, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
121		fss 5564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
122	115, 90, 121	sylancl 657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
123		fnfco 5574	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ F : NN --> ( RR* X. RR* ) ) -> ( (,) o. F ) Fn NN )
124	120, 122, 123	sylancr 658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) o. F ) Fn NN )
125		fniunfv 5961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (,) o. F ) Fn NN -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = U. ran ( (,) o. F ) )
126	124, 125	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = U. ran ( (,) o. F ) )
127	126, 8	syl6eqr 2491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = A )
128	118, 127	eqtr3d 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) = A )
129	128	ineq2d 3549	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) )
130	99, 114, 129	3eqtr2d 2479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) )
131	130	fveq2d 5692	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )
132	87, 131	eqtr3d 2475	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )
133		inss1 3567	. . . . . . 7 |- ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) )
134	133	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) )
135		ovolsscl 20869	. . . . . 6 |- ( ( ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) /\ ( (,) ` ( G ` J ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) e. RR )
136	134, 27, 37, 135	syl3anc 1213	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) e. RR )
137	132, 136	eqeltrd 2515	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) e. RR )
138	55, 2	ovolsf 20856	. . . . . . . . 9 |- ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
139	54, 138	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
140		ffn 5556	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN )
141	139, 140	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN )
142		fnfvelrn 5837	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN /\ y e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) )
143	141, 142	sylan 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ y e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) )
144		frn 5562	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
145	139, 144	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
146		icossxr 11376	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
147	145, 146	syl6ss 3365	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR* )
148		supxrub 11283	. . . . . . 7 |- ( ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR* /\ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
149	147, 148	sylan 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
150	143, 149	syldan 467	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ y e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
151	150	ralrimiva 2797	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
152		breq2 4293	. . . . . 6 |- ( x = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) -> ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x <-> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) ) )
153	152	ralbidv 2733	. . . . 5 |- ( x = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) -> ( A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x <-> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) ) )
154	153	rspcev 3070	. . . 4 |- ( ( sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) e. RR /\ A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) ) -> E. x e. RR A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x )
155	137, 151, 154	syl2anc 656	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> E. x e. RR A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x )
156	1, 2, 3, 4, 61, 62, 155	isumsup2 13305	. 2 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ~~> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) )
157	55	ovolfs2 20951	. . . . 5 |- ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) )
158	54, 157	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) )
159		coass 5353	. . . . 5 |- ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) = ( vol* o. ( (,) o. ( K o. H ) ) )
160	97	coeq2d 4998	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* o. ( (,) o. ( K o. H ) ) ) = ( vol* o. H ) )
161	159, 160	syl5eq 2485	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) = ( vol* o. H ) )
162	158, 161	eqtrd 2473	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( vol* o. H ) )
163	162	seqeq3d 11810	. 2 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = seq 1 ( + , ( vol* o. H ) ) )
164		0re 9382	. . . . . 6 |- 0 e. RR
165		pnfxr 11088	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
166		icossre 11372	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( 0 [,) +oo ) C_ RR )
167	164, 165, 166	mp2an 667	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
168	145, 167	syl6ss 3365	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR )
169		1nn 10329	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
170		fdm 5560	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = NN )
171	139, 170	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = NN )
172	169, 171	syl5eleqr 2528	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> 1 e. dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) )
173		ne0i 3640	. . . . . 6 |- ( 1 e. dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
174	172, 173	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
175		dm0rn0 5052	. . . . . 6 |- ( dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = (/) <-> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = (/) )
176	175	necon3bii 2638	. . . . 5 |- ( dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) <-> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
177	174, 176	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
178		breq1 4292	. . . . . . . 8 |- ( z = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) -> ( z <_ x <-> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
179	178	ralrn 5843	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x <-> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
180	141, 179	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x <-> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
181	180	rexbidv 2734	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x <-> E. x e. RR A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
182	155, 181	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x )
183		supxrre 11286	. . . 4 |- ( ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR /\ ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) )
184	168, 177, 182, 183	syl3anc 1213	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) )
185	184, 132	eqtr3d 2475	. 2 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )
186	156, 163, 185	3brtr3d 4318	1 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. H ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   ~Pcpw 3857   <.cop 3880   U.cuni 4088   U_ciun 4168  Disj wdisj 4259   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   X. cxp 4834   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837   o. ccom 4840   Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   1stc1st 6574   2ndc2nd 6575   supcsup 7686   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   NNcn 10318   RR+crp 10987   (,)cioo 11296   [,)cico 11298   seqcseq 11802   abscabs 12719   ~~> cli 12958   vol*covol 20846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cmp 18890  df-ovol 20848  df-vol 20849

This theorem is referenced by:  uniioombllem6  20968