Theorem uniioombllem2 22118

Description: Lemma for uniioombl 22124. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.2	|- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
uniioombl.3	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
uniioombl.a	|- A = U. ran ( (,) o. F )
uniioombl.e	|- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
uniioombl.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
uniioombl.g	|- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.s	|- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
uniioombl.t	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
uniioombl.v	|- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
uniioombllem2.h	|- H = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
uniioombllem2.k	|- K = ( x e. ran (,) |-> if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <. sup ( x , RR* , `' < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
uniioombllem2	|- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. H ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )

Distinct variable groups:   x, z, F   x, G, z   x, K, z   x, A, z   x, C, z   x, H, z   x, J, z   ph, x, z   x, T, z

Allowed substitution hints:   S( x, z)   E( x, z)

Proof of Theorem uniioombllem2

Dummy variables n y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11141	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		eqid 2457	. . 3 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) )
3		1zzd 10916	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> 1 e. ZZ )
4		eqidd 2458	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) = ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) )
5		uniioombl.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
6		uniioombl.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
7		uniioombl.3	. . . . . . . . . . 11 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
8		uniioombl.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = U. ran ( (,) o. F )
9		uniioombl.e	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
10		uniioombl.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR+ )
11		uniioombl.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
12		uniioombl.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
13		uniioombl.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
14		uniioombl.v	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
15	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	uniioombllem2a 22117	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. ran (,) )
16		inss2 3715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) )
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) )
18		inss2 3715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
19	11	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( G ` J ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
20	18, 19	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( G ` J ) e. ( RR X. RR ) )
21		1st2nd2 6836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` J ) e. ( RR X. RR ) -> ( G ` J ) = <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( G ` J ) = <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. )
23	22	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) ` ( G ` J ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. ) )
24		df-ov 6299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. )
25	23, 24	syl6eqr 2516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) ` ( G ` J ) ) = ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) )
26		ioossre 11611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) C_ RR
27	25, 26	syl6eqss 3549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) ` ( G ` J ) ) C_ RR )
28	25	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) ) )
29		ovolfcl 22004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ J e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` J ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) )
30	11, 29	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` J ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) )
31		ovolioo 22104	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` J ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) )
33	28, 32	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) )
34	30	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR )
35	30	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR )
36	34, 35	resubcld 10008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) e. RR )
37	33, 36	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. RR )
38		ovolsscl 22023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) /\ ( (,) ` ( G ` J ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR )
39	17, 27, 37, 38	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR )
40	39	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR )
41		uniioombllem2.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( x e. ran (,) |-> if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <. sup ( x , RR* , `' < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )
42	41	ioorcl 22112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. ran (,) /\ ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR ) -> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
43	15, 40, 42	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
44		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
45	43, 44	fmptd 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
46		uniioombllem2.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> H = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
48	41	ioorf 22108	. . . . . . . . . . . 12 |- K : ran (,) --> ( <_ i^i ( RR* X. RR* ) )
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> K : ran (,) --> ( <_ i^i ( RR* X. RR* ) ) )
50	49	feqmptd 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> K = ( y e. ran (,) |-> ( K ` y ) ) )
51		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) -> ( K ` y ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
52	15, 47, 50, 51	fmptco 6065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( K o. H ) = ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) )
53	52	feq1d 5723	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) <-> ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) )
54	45, 53	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
55		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) )
56	55	ovolfsf 22009	. . . . . . 7 |- ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
57	54, 56	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
58	57	ffvelrnda 6032	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) )
59		elrege0 11652	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) ) )
60	58, 59	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) ) )
61	60	simpld 459	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. RR )
62	60	simprd 463	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) )
63	52	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( K o. H ) ` z ) = ( ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ` z ) )
64		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. _V
65	44	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. NN /\ ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. _V ) -> ( ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ` z ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
66	64, 65	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. NN -> ( ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ` z ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
67	63, 66	sylan9eq 2518	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( ( K o. H ) ` z ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
68	67	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) )
69	41	ioorinv 22111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. ran (,) -> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
70	15, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
71	68, 70	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
72	71	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> A. z e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
73		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( K o. H ) ` z ) = ( ( K o. H ) ` x ) )
74	73	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) )
75		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( F ` z ) = ( F ` x ) )
76	75	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( (,) ` ( F ` z ) ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
77	76	ineq1d 3695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
78	74, 77	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) <-> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
79	78	rspccva 3209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. z e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) /\ x e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
80	72, 79	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ x e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
81		inss1 3714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) )
82	80, 81	syl6eqss 3549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ x e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) ) )
83	82	ralrimiva 2871	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> A. x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) ) )
84	6	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
85		disjss2 4430	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) ) -> (Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) ) )
86	83, 84, 85	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) )
87	54, 86, 2	uniioovol 22114	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
88	70	mpteq2dva 4543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( z e. NN |-> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
89		rexpssxrxp 9655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
90	18, 89	sstri 3508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* )
91	90, 43	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. ( RR* X. RR* ) )
92		ioof 11647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR )
94	93	feqmptd 5926	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> (,) = ( y e. ( RR* X. RR* ) |-> ( (,) ` y ) ) )
95		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) -> ( (,) ` y ) = ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) )
96	91, 52, 94, 95	fmptco 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) o. ( K o. H ) ) = ( z e. NN |-> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ) )
97	88, 96, 47	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) o. ( K o. H ) ) = H )
98	97	rneqd 5240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran ( (,) o. ( K o. H ) ) = ran H )
99	98	unieqd 4261	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) = U. ran H )
100		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) ` ( F ` z ) ) e. _V
101	100	inex1 4597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. _V
102	46	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. NN /\ ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. _V ) -> ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
103	101, 102	mpan2 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
104		incom 3687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) )
105	103, 104	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) ) )
106	105	iuneq2i 4351	. . . . . . . . . 10 |- U_ z e. NN ( H ` z ) = U_ z e. NN ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) )
107		iunin2 4396	. . . . . . . . . 10 |- U_ z e. NN ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) )
108	106, 107	eqtri 2486	. . . . . . . . 9 |- U_ z e. NN ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) )
109	15, 46	fmptd 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> H : NN --> ran (,) )
110		ffn 5737	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : NN --> ran (,) -> H Fn NN )
111	109, 110	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> H Fn NN )
112		fniunfv 6160	. . . . . . . . . 10 |- ( H Fn NN -> U_ z e. NN ( H ` z ) = U. ran H )
113	111, 112	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( H ` z ) = U. ran H )
114	108, 113	syl5eqr 2512	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) ) = U. ran H )
115	5	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
116		fvco3 5950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ z e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` z ) = ( (,) ` ( F ` z ) ) )
117	115, 116	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` z ) = ( (,) ` ( F ` z ) ) )
118	117	iuneq2dv 4354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) )
119		ffn 5737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
120	92, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
121		fss 5745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
122	115, 90, 121	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
123		fnfco 5756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ F : NN --> ( RR* X. RR* ) ) -> ( (,) o. F ) Fn NN )
124	120, 122, 123	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) o. F ) Fn NN )
125		fniunfv 6160	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (,) o. F ) Fn NN -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = U. ran ( (,) o. F ) )
126	124, 125	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = U. ran ( (,) o. F ) )
127	126, 8	syl6eqr 2516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = A )
128	118, 127	eqtr3d 2500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) = A )
129	128	ineq2d 3696	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) )
130	99, 114, 129	3eqtr2d 2504	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) )
131	130	fveq2d 5876	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )
132	87, 131	eqtr3d 2500	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )
133		inss1 3714	. . . . . . 7 |- ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) )
134	133	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) )
135		ovolsscl 22023	. . . . . 6 |- ( ( ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) /\ ( (,) ` ( G ` J ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) e. RR )
136	134, 27, 37, 135	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) e. RR )
137	132, 136	eqeltrd 2545	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) e. RR )
138	55, 2	ovolsf 22010	. . . . . . . . 9 |- ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
139	54, 138	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
140		ffn 5737	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN )
141	139, 140	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN )
142		fnfvelrn 6029	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN /\ y e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) )
143	141, 142	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ y e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) )
144		frn 5743	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
145	139, 144	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
146		icossxr 11634	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
147	145, 146	syl6ss 3511	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR* )
148		supxrub 11541	. . . . . . 7 |- ( ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR* /\ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
149	147, 148	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
150	143, 149	syldan 470	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ y e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
151	150	ralrimiva 2871	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
152		breq2 4460	. . . . . 6 |- ( x = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) -> ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x <-> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) ) )
153	152	ralbidv 2896	. . . . 5 |- ( x = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) -> ( A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x <-> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) ) )
154	153	rspcev 3210	. . . 4 |- ( ( sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) e. RR /\ A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) ) -> E. x e. RR A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x )
155	137, 151, 154	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> E. x e. RR A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x )
156	1, 2, 3, 4, 61, 62, 155	isumsup2 13670	. 2 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ~~> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) )
157	55	ovolfs2 22106	. . . . 5 |- ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) )
158	54, 157	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) )
159		coass 5532	. . . . 5 |- ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) = ( vol* o. ( (,) o. ( K o. H ) ) )
160	97	coeq2d 5175	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* o. ( (,) o. ( K o. H ) ) ) = ( vol* o. H ) )
161	159, 160	syl5eq 2510	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) = ( vol* o. H ) )
162	158, 161	eqtrd 2498	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( vol* o. H ) )
163	162	seqeq3d 12118	. 2 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = seq 1 ( + , ( vol* o. H ) ) )
164		rge0ssre 11653	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
165	145, 164	syl6ss 3511	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR )
166		1nn 10567	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
167		fdm 5741	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = NN )
168	139, 167	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = NN )
169	166, 168	syl5eleqr 2552	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> 1 e. dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) )
170		ne0i 3799	. . . . . 6 |- ( 1 e. dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
171	169, 170	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
172		dm0rn0 5229	. . . . . 6 |- ( dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = (/) <-> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = (/) )
173	172	necon3bii 2725	. . . . 5 |- ( dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) <-> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
174	171, 173	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
175		breq1 4459	. . . . . . . 8 |- ( z = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) -> ( z <_ x <-> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
176	175	ralrn 6035	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x <-> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
177	141, 176	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x <-> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
178	177	rexbidv 2968	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x <-> E. x e. RR A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
179	155, 178	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x )
180		supxrre 11544	. . . 4 |- ( ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR /\ ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) )
181	165, 174, 179, 180	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) )
182	181, 132	eqtr3d 2500	. 2 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )
183	156, 163, 182	3brtr3d 4485	1 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. H ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   <.cop 4038   U.cuni 4251   U_ciun 4332  Disj wdisj 4427   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   X. cxp 5006   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   o. ccom 5012   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   NNcn 10556   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   [,)cico 11556   seqcseq 12110   abscabs 13079   ~~> cli 13319   vol*covol 22000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cmp 20014  df-ovol 22002  df-vol 22003

This theorem is referenced by:  uniioombllem6  22123