Theorem uniioombllem2 21063

Description: Lemma for uniioombl 21069. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.2	|- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
uniioombl.3	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
uniioombl.a	|- A = U. ran ( (,) o. F )
uniioombl.e	|- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
uniioombl.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
uniioombl.g	|- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.s	|- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
uniioombl.t	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
uniioombl.v	|- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
uniioombllem2.h	|- H = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
uniioombllem2.k	|- K = ( x e. ran (,) |-> if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <. sup ( x , RR* , `' < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
uniioombllem2	|- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. H ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )

Distinct variable groups:   x, z, F   x, G, z   x, K, z   x, A, z   x, C, z   x, H, z   x, J, z   ph, x, z   x, T, z

Allowed substitution hints:   S( x, z)   E( x, z)

Proof of Theorem uniioombllem2

Dummy variables n y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 10896	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		eqid 2443	. . 3 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) )
3		1zzd 10677	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> 1 e. ZZ )
4		eqidd 2444	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) = ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) )
5		uniioombl.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
6		uniioombl.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
7		uniioombl.3	. . . . . . . . . . 11 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
8		uniioombl.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = U. ran ( (,) o. F )
9		uniioombl.e	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
10		uniioombl.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR+ )
11		uniioombl.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
12		uniioombl.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
13		uniioombl.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
14		uniioombl.v	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
15	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	uniioombllem2a 21062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. ran (,) )
16		inss2 3571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) )
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) )
18		inss2 3571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
19	11	ffvelrnda 5843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( G ` J ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
20	18, 19	sseldi 3354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( G ` J ) e. ( RR X. RR ) )
21		1st2nd2 6613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` J ) e. ( RR X. RR ) -> ( G ` J ) = <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( G ` J ) = <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. )
23	22	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) ` ( G ` J ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. ) )
24		df-ov 6094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. )
25	23, 24	syl6eqr 2493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) ` ( G ` J ) ) = ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) )
26		ioossre 11357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) C_ RR
27	25, 26	syl6eqss 3406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) ` ( G ` J ) ) C_ RR )
28	25	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) ) )
29		ovolfcl 20950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ J e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` J ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) )
30	11, 29	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` J ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) )
31		ovolioo 21049	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` J ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) )
33	28, 32	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) )
34	30	simp2d 1001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR )
35	30	simp1d 1000	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR )
36	34, 35	resubcld 9776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) e. RR )
37	33, 36	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. RR )
38		ovolsscl 20969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) /\ ( (,) ` ( G ` J ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR )
39	17, 27, 37, 38	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR )
40	39	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR )
41		uniioombllem2.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( x e. ran (,) |-> if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <. sup ( x , RR* , `' < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )
42	41	ioorcl 21057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. ran (,) /\ ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR ) -> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
43	15, 40, 42	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
44		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
45	43, 44	fmptd 5867	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
46		uniioombllem2.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> H = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
48	41	ioorf 21053	. . . . . . . . . . . 12 |- K : ran (,) --> ( <_ i^i ( RR* X. RR* ) )
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> K : ran (,) --> ( <_ i^i ( RR* X. RR* ) ) )
50	49	feqmptd 5744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> K = ( y e. ran (,) |-> ( K ` y ) ) )
51		fveq2 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) -> ( K ` y ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
52	15, 47, 50, 51	fmptco 5876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( K o. H ) = ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) )
53	52	feq1d 5546	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) <-> ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) )
54	45, 53	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
55		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) )
56	55	ovolfsf 20955	. . . . . . 7 |- ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
57	54, 56	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
58	57	ffvelrnda 5843	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) )
59		elrege0 11392	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) ) )
60	58, 59	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) ) )
61	60	simpld 459	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. RR )
62	60	simprd 463	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) )
63	52	fveq1d 5693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( K o. H ) ` z ) = ( ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ` z ) )
64		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. _V
65	44	fvmpt2 5781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. NN /\ ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. _V ) -> ( ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ` z ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
66	64, 65	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. NN -> ( ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ` z ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
67	63, 66	sylan9eq 2495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( ( K o. H ) ` z ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
68	67	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) )
69	41	ioorinv 21056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. ran (,) -> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
70	15, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
71	68, 70	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
72	71	ralrimiva 2799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> A. z e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
73		fveq2 5691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( K o. H ) ` z ) = ( ( K o. H ) ` x ) )
74	73	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) )
75		fveq2 5691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( F ` z ) = ( F ` x ) )
76	75	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( (,) ` ( F ` z ) ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
77	76	ineq1d 3551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
78	74, 77	eqeq12d 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) <-> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
79	78	rspccva 3072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. z e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) /\ x e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
80	72, 79	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ x e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
81		inss1 3570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) )
82	80, 81	syl6eqss 3406	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ x e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) ) )
83	82	ralrimiva 2799	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> A. x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) ) )
84	6	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
85		disjss2 4265	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) ) -> (Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) ) )
86	83, 84, 85	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) )
87	54, 86, 2	uniioovol 21059	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
88	70	mpteq2dva 4378	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( z e. NN |-> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
89		rexpssxrxp 9428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
90	18, 89	sstri 3365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* )
91	90, 43	sseldi 3354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. ( RR* X. RR* ) )
92		ioof 11387	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR )
94	93	feqmptd 5744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> (,) = ( y e. ( RR* X. RR* ) |-> ( (,) ` y ) ) )
95		fveq2 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) -> ( (,) ` y ) = ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) )
96	91, 52, 94, 95	fmptco 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) o. ( K o. H ) ) = ( z e. NN |-> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ) )
97	88, 96, 47	3eqtr4d 2485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) o. ( K o. H ) ) = H )
98	97	rneqd 5067	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran ( (,) o. ( K o. H ) ) = ran H )
99	98	unieqd 4101	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) = U. ran H )
100		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) ` ( F ` z ) ) e. _V
101	100	inex1 4433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. _V
102	46	fvmpt2 5781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. NN /\ ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. _V ) -> ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
103	101, 102	mpan2 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
104		incom 3543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) )
105	103, 104	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) ) )
106	105	iuneq2i 4189	. . . . . . . . . 10 |- U_ z e. NN ( H ` z ) = U_ z e. NN ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) )
107		iunin2 4234	. . . . . . . . . 10 |- U_ z e. NN ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) )
108	106, 107	eqtri 2463	. . . . . . . . 9 |- U_ z e. NN ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) )
109	15, 46	fmptd 5867	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> H : NN --> ran (,) )
110		ffn 5559	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : NN --> ran (,) -> H Fn NN )
111	109, 110	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> H Fn NN )
112		fniunfv 5964	. . . . . . . . . 10 |- ( H Fn NN -> U_ z e. NN ( H ` z ) = U. ran H )
113	111, 112	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( H ` z ) = U. ran H )
114	108, 113	syl5eqr 2489	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) ) = U. ran H )
115	5	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
116		fvco3 5768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ z e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` z ) = ( (,) ` ( F ` z ) ) )
117	115, 116	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` z ) = ( (,) ` ( F ` z ) ) )
118	117	iuneq2dv 4192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) )
119		ffn 5559	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
120	92, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
121		fss 5567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
122	115, 90, 121	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
123		fnfco 5577	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ F : NN --> ( RR* X. RR* ) ) -> ( (,) o. F ) Fn NN )
124	120, 122, 123	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) o. F ) Fn NN )
125		fniunfv 5964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (,) o. F ) Fn NN -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = U. ran ( (,) o. F ) )
126	124, 125	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = U. ran ( (,) o. F ) )
127	126, 8	syl6eqr 2493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = A )
128	118, 127	eqtr3d 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) = A )
129	128	ineq2d 3552	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) )
130	99, 114, 129	3eqtr2d 2481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) )
131	130	fveq2d 5695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )
132	87, 131	eqtr3d 2477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )
133		inss1 3570	. . . . . . 7 |- ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) )
134	133	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) )
135		ovolsscl 20969	. . . . . 6 |- ( ( ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) /\ ( (,) ` ( G ` J ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) e. RR )
136	134, 27, 37, 135	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) e. RR )
137	132, 136	eqeltrd 2517	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) e. RR )
138	55, 2	ovolsf 20956	. . . . . . . . 9 |- ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
139	54, 138	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
140		ffn 5559	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN )
141	139, 140	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN )
142		fnfvelrn 5840	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN /\ y e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) )
143	141, 142	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ y e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) )
144		frn 5565	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
145	139, 144	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
146		icossxr 11380	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
147	145, 146	syl6ss 3368	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR* )
148		supxrub 11287	. . . . . . 7 |- ( ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR* /\ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
149	147, 148	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
150	143, 149	syldan 470	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ y e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
151	150	ralrimiva 2799	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
152		breq2 4296	. . . . . 6 |- ( x = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) -> ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x <-> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) ) )
153	152	ralbidv 2735	. . . . 5 |- ( x = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) -> ( A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x <-> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) ) )
154	153	rspcev 3073	. . . 4 |- ( ( sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) e. RR /\ A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) ) -> E. x e. RR A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x )
155	137, 151, 154	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> E. x e. RR A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x )
156	1, 2, 3, 4, 61, 62, 155	isumsup2 13309	. 2 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ~~> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) )
157	55	ovolfs2 21051	. . . . 5 |- ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) )
158	54, 157	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) )
159		coass 5356	. . . . 5 |- ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) = ( vol* o. ( (,) o. ( K o. H ) ) )
160	97	coeq2d 5002	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* o. ( (,) o. ( K o. H ) ) ) = ( vol* o. H ) )
161	159, 160	syl5eq 2487	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) = ( vol* o. H ) )
162	158, 161	eqtrd 2475	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( vol* o. H ) )
163	162	seqeq3d 11814	. 2 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = seq 1 ( + , ( vol* o. H ) ) )
164		0re 9386	. . . . . 6 |- 0 e. RR
165		pnfxr 11092	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
166		icossre 11376	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( 0 [,) +oo ) C_ RR )
167	164, 165, 166	mp2an 672	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
168	145, 167	syl6ss 3368	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR )
169		1nn 10333	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
170		fdm 5563	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = NN )
171	139, 170	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = NN )
172	169, 171	syl5eleqr 2530	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> 1 e. dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) )
173		ne0i 3643	. . . . . 6 |- ( 1 e. dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
174	172, 173	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
175		dm0rn0 5056	. . . . . 6 |- ( dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = (/) <-> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = (/) )
176	175	necon3bii 2640	. . . . 5 |- ( dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) <-> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
177	174, 176	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
178		breq1 4295	. . . . . . . 8 |- ( z = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) -> ( z <_ x <-> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
179	178	ralrn 5846	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x <-> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
180	141, 179	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x <-> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
181	180	rexbidv 2736	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x <-> E. x e. RR A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
182	155, 181	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x )
183		supxrre 11290	. . . 4 |- ( ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR /\ ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) )
184	168, 177, 182, 183	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) )
185	184, 132	eqtr3d 2477	. 2 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )
186	156, 163, 185	3brtr3d 4321	1 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. H ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   i^i cin 3327   C_ wss 3328   (/)c0 3637   ifcif 3791   ~Pcpw 3860   <.cop 3883   U.cuni 4091   U_ciun 4171  Disj wdisj 4262   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   X. cxp 4838   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   o. ccom 4844   Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   1stc1st 6575   2ndc2nd 6576   supcsup 7690   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   + caddc 9285   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417   < clt 9418   <_ cle 9419   - cmin 9595   NNcn 10322   RR+crp 10991   (,)cioo 11300   [,)cico 11302   seqcseq 11806   abscabs 12723   ~~> cli 12962   vol*covol 20946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-rest 14361  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cmp 18990  df-ovol 20948  df-vol 20949

This theorem is referenced by:  uniioombllem6  21068