Theorem uniioombllem2 22482

Description: Lemma for uniioombl 22489. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.2	|- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
uniioombl.3	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
uniioombl.a	|- A = U. ran ( (,) o. F )
uniioombl.e	|- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
uniioombl.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
uniioombl.g	|- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.s	|- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
uniioombl.t	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
uniioombl.v	|- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
uniioombllem2.h	|- H = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
uniioombllem2.k	|- K = ( x e. ran (,) |-> if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( x , RR* , < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
uniioombllem2	|- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. H ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )

Distinct variable groups:   x, z, F   x, G, z   x, K, z   x, A, z   x, C, z   x, H, z   x, J, z   ph, x, z   x, T, z

Allowed substitution hints:   S( x, z)   E( x, z)

Proof of Theorem uniioombllem2

Dummy variables n y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11145	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		eqid 2428	. . 3 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) )
3		1zzd 10919	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> 1 e. ZZ )
4		eqidd 2429	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) = ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) )
5		uniioombl.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
6		uniioombl.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
7		uniioombl.3	. . . . . . . . . . 11 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
8		uniioombl.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = U. ran ( (,) o. F )
9		uniioombl.e	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
10		uniioombl.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR+ )
11		uniioombl.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
12		uniioombl.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
13		uniioombl.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
14		uniioombl.v	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
15	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	uniioombllem2a 22481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. ran (,) )
16		inss2 3626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) )
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) )
18		inss2 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
19	11	ffvelrnda 5981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( G ` J ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
20	18, 19	sseldi 3405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( G ` J ) e. ( RR X. RR ) )
21		1st2nd2 6788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` J ) e. ( RR X. RR ) -> ( G ` J ) = <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( G ` J ) = <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. )
23	22	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) ` ( G ` J ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. ) )
24		df-ov 6252	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` J ) ) , ( 2nd ` ( G ` J ) ) >. )
25	23, 24	syl6eqr 2480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) ` ( G ` J ) ) = ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) )
26		ioossre 11647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) C_ RR
27	25, 26	syl6eqss 3457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) ` ( G ` J ) ) C_ RR )
28	25	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) ) )
29		ovolfcl 22361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ J e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` J ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) )
30	11, 29	sylan 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` J ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) )
31		ovolioo 22463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` J ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` J ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` J ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) )
33	28, 32	eqtrd 2462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) )
34	30	simp2d 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` J ) ) e. RR )
35	30	simp1d 1017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` J ) ) e. RR )
36	34, 35	resubcld 9998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` J ) ) - ( 1st ` ( G ` J ) ) ) e. RR )
37	33, 36	eqeltrd 2506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. RR )
38		ovolsscl 22381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) /\ ( (,) ` ( G ` J ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR )
39	17, 27, 37, 38	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR )
40	39	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR )
41		uniioombllem2.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( x e. ran (,) |-> if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( x , RR* , < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )
42	41	ioorcl 22471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. ran (,) /\ ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. RR ) -> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
43	15, 40, 42	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
44		eqid 2428	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
45	43, 44	fmptd 6005	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
46		uniioombllem2.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> H = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
48	41	ioorf 22467	. . . . . . . . . . . 12 |- K : ran (,) --> ( <_ i^i ( RR* X. RR* ) )
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> K : ran (,) --> ( <_ i^i ( RR* X. RR* ) ) )
50	49	feqmptd 5878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> K = ( y e. ran (,) |-> ( K ` y ) ) )
51		fveq2 5825	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) -> ( K ` y ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
52	15, 47, 50, 51	fmptco 6015	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( K o. H ) = ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) )
53	52	feq1d 5675	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) <-> ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) )
54	45, 53	mpbird 235	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
55		eqid 2428	. . . . . . . 8 |- ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) )
56	55	ovolfsf 22366	. . . . . . 7 |- ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
57	54, 56	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
58	57	ffvelrnda 5981	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) )
59		elrege0 11689	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) ) )
60	58, 59	sylib 199	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) ) )
61	60	simpld 460	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) e. RR )
62	60	simprd 464	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ` n ) )
63	52	fveq1d 5827	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( K o. H ) ` z ) = ( ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ` z ) )
64		fvex 5835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. _V
65	44	fvmpt2 5917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. NN /\ ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. _V ) -> ( ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ` z ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
66	64, 65	mpan2 675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. NN -> ( ( z e. NN |-> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ` z ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
67	63, 66	sylan9eq 2482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( ( K o. H ) ` z ) = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
68	67	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) )
69	41	ioorinv 22470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. ran (,) -> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
70	15, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
71	68, 70	eqtrd 2462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
72	71	ralrimiva 2779	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> A. z e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
73		fveq2 5825	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( K o. H ) ` z ) = ( ( K o. H ) ` x ) )
74	73	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) )
75		fveq2 5825	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( F ` z ) = ( F ` x ) )
76	75	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( (,) ` ( F ` z ) ) = ( (,) ` ( F ` x ) ) )
77	76	ineq1d 3606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
78	74, 77	eqeq12d 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) <-> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
79	78	rspccva 3124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. z e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` z ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) /\ x e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
80	72, 79	sylan 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ x e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) = ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
81		inss1 3625	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (,) ` ( F ` x ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) )
82	80, 81	syl6eqss 3457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ x e. NN ) -> ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) ) )
83	82	ralrimiva 2779	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> A. x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) ) )
84	6	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
85		disjss2 4340	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) C_ ( (,) ` ( F ` x ) ) -> (Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) ) )
86	83, 84, 85	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( ( K o. H ) ` x ) ) )
87	54, 86, 2	uniioovol 22478	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
88	70	mpteq2dva 4453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( z e. NN |-> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) )
89		rexpssxrxp 9636	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
90	18, 89	sstri 3416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* )
91	90, 43	sseldi 3405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) e. ( RR* X. RR* ) )
92		ioof 11683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR )
94	93	feqmptd 5878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> (,) = ( y e. ( RR* X. RR* ) |-> ( (,) ` y ) ) )
95		fveq2 5825	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) -> ( (,) ` y ) = ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) )
96	91, 52, 94, 95	fmptco 6015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) o. ( K o. H ) ) = ( z e. NN |-> ( (,) ` ( K ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) ) ) ) )
97	88, 96, 47	3eqtr4d 2472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) o. ( K o. H ) ) = H )
98	97	rneqd 5024	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran ( (,) o. ( K o. H ) ) = ran H )
99	98	unieqd 4172	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) = U. ran H )
100		fvex 5835	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) ` ( F ` z ) ) e. _V
101	100	inex1 4508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. _V
102	46	fvmpt2 5917	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. NN /\ ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. _V ) -> ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
103	101, 102	mpan2 675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) )
104		incom 3598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` J ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) )
105	103, 104	syl6eq 2478	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) ) )
106	105	iuneq2i 4261	. . . . . . . . . 10 |- U_ z e. NN ( H ` z ) = U_ z e. NN ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) )
107		iunin2 4306	. . . . . . . . . 10 |- U_ z e. NN ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i ( (,) ` ( F ` z ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) )
108	106, 107	eqtri 2450	. . . . . . . . 9 |- U_ z e. NN ( H ` z ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) )
109	15, 46	fmptd 6005	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> H : NN --> ran (,) )
110		ffn 5689	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : NN --> ran (,) -> H Fn NN )
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> H Fn NN )
112		fniunfv 6111	. . . . . . . . . 10 |- ( H Fn NN -> U_ z e. NN ( H ` z ) = U. ran H )
113	111, 112	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( H ` z ) = U. ran H )
114	108, 113	syl5eqr 2476	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) ) = U. ran H )
115	5	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
116		fvco3 5902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ z e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` z ) = ( (,) ` ( F ` z ) ) )
117	115, 116	sylan 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ z e. NN ) -> ( ( (,) o. F ) ` z ) = ( (,) ` ( F ` z ) ) )
118	117	iuneq2dv 4264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) )
119		ffn 5689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
120	92, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
121		fss 5697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
122	115, 90, 121	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> F : NN --> ( RR* X. RR* ) )
123		fnfco 5708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ F : NN --> ( RR* X. RR* ) ) -> ( (,) o. F ) Fn NN )
124	120, 122, 123	sylancr 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( (,) o. F ) Fn NN )
125		fniunfv 6111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (,) o. F ) Fn NN -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = U. ran ( (,) o. F ) )
126	124, 125	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = U. ran ( (,) o. F ) )
127	126, 8	syl6eqr 2480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( ( (,) o. F ) ` z ) = A )
128	118, 127	eqtr3d 2464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) = A )
129	128	ineq2d 3607	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i U_ z e. NN ( (,) ` ( F ` z ) ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) )
130	99, 114, 129	3eqtr2d 2468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) = ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) )
131	130	fveq2d 5829	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` U. ran ( (,) o. ( K o. H ) ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )
132	87, 131	eqtr3d 2464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )
133		inss1 3625	. . . . . . 7 |- ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) )
134	133	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) )
135		ovolsscl 22381	. . . . . 6 |- ( ( ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) C_ ( (,) ` ( G ` J ) ) /\ ( (,) ` ( G ` J ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( (,) ` ( G ` J ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) e. RR )
136	134, 27, 37, 135	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) e. RR )
137	132, 136	eqeltrd 2506	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) e. RR )
138	55, 2	ovolsf 22367	. . . . . . . . 9 |- ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
139	54, 138	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
140		ffn 5689	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN )
141	139, 140	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN )
142		fnfvelrn 5978	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN /\ y e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) )
143	141, 142	sylan 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ y e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) )
144		frn 5695	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
145	139, 144	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
146		icossxr 11670	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
147	145, 146	syl6ss 3419	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR* )
148		supxrub 11561	. . . . . . 7 |- ( ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR* /\ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
149	147, 148	sylan 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
150	143, 149	syldan 472	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. NN ) /\ y e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
151	150	ralrimiva 2779	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) )
152		breq2 4370	. . . . . 6 |- ( x = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) -> ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x <-> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) ) )
153	152	ralbidv 2804	. . . . 5 |- ( x = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) -> ( A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x <-> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) ) )
154	153	rspcev 3125	. . . 4 |- ( ( sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) e. RR /\ A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) ) -> E. x e. RR A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x )
155	137, 151, 154	syl2anc 665	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> E. x e. RR A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x )
156	1, 2, 3, 4, 61, 62, 155	isumsup2 13847	. 2 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ~~> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) )
157	55	ovolfs2 22465	. . . . 5 |- ( ( K o. H ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) )
158	54, 157	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) )
159		coass 5316	. . . . 5 |- ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) = ( vol* o. ( (,) o. ( K o. H ) ) )
160	97	coeq2d 4959	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( vol* o. ( (,) o. ( K o. H ) ) ) = ( vol* o. H ) )
161	159, 160	syl5eq 2474	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( vol* o. (,) ) o. ( K o. H ) ) = ( vol* o. H ) )
162	158, 161	eqtrd 2462	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) = ( vol* o. H ) )
163	162	seqeq3d 12171	. 2 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = seq 1 ( + , ( vol* o. H ) ) )
164		rge0ssre 11691	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
165	145, 164	syl6ss 3419	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR )
166		1nn 10571	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
167		fdm 5693	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = NN )
168	139, 167	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = NN )
169	166, 168	syl5eleqr 2513	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> 1 e. dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) )
170		ne0i 3710	. . . . . 6 |- ( 1 e. dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
171	169, 170	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
172		dm0rn0 5013	. . . . . 6 |- ( dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = (/) <-> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) = (/) )
173	172	necon3bii 2653	. . . . 5 |- ( dom seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) <-> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
174	171, 173	sylib 199	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) )
175		breq1 4369	. . . . . . . 8 |- ( z = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) -> ( z <_ x <-> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
176	175	ralrn 5984	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x <-> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
177	141, 176	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x <-> A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
178	177	rexbidv 2878	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> ( E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x <-> E. x e. RR A. y e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) ` y ) <_ x ) )
179	155, 178	mpbird 235	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x )
180		supxrre 11564	. . . 4 |- ( ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) C_ RR /\ ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) z <_ x ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) )
181	165, 174, 179, 180	syl3anc 1264	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) )
182	181, 132	eqtr3d 2464	. 2 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( K o. H ) ) ) , RR , < ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )
183	156, 163, 182	3brtr3d 4396	1 |- ( ( ph /\ J e. NN ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. H ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` J ) ) i^i A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 3022   i^i cin 3378   C_ wss 3379   (/)c0 3704   ifcif 3854   ~Pcpw 3924   <.cop 3947   U.cuni 4162   U_ciun 4242  Disj wdisj 4337   class class class wbr 4366   |-> cmpt 4425   X. cxp 4794   dom cdm 4796   ran crn 4797   o. ccom 4800   Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   1stc1st 6749   2ndc2nd 6750   supcsup 7907  infcinf 7908   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491   + caddc 9493   +oocpnf 9623   RR*cxr 9625   < clt 9626   <_ cle 9627   - cmin 9811   NNcn 10560   RR+crp 11253   (,)cioo 11586   [,)cico 11588   seqcseq 12163   abscabs 13241   ~~> cli 13491   vol*covol 22355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-rest 15264  df-topgen 15285  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-cmp 20344  df-ovol 22358  df-vol 22360

This theorem is referenced by:  uniioombllem6  22488