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Theorem uniioombllem2 19428
Description: Lemma for uniioombl 19434. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
uniioombl.a  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
uniioombl.e  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
uniioombl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
uniioombl.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.s  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
uniioombl.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
uniioombl.v  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
uniioombllem2.h  |-  H  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
uniioombllem2.k  |-  K  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( vol *  o.  H
) )  ~~>  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  J ) )  i^i 
A ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, F    x, G, z    x, K, z    x, A, z   
x, C, z    x, H, z    x, J, z    ph, x, z    x, T, z
Allowed substitution hints:    S( x, z)    E( x, z)

Proof of Theorem uniioombllem2
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 eqid 2404 . . 3  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )
3 1z 10267 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
43a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
5 eqidd 2405 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  =  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) )
6 uniioombl.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
7 uniioombl.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x ) ) )
8 uniioombl.3 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
9 uniioombl.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
10 uniioombl.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( vol * `  E )  e.  RR )
11 uniioombl.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
12 uniioombl.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
13 uniioombl.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
14 uniioombl.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
15 uniioombl.v . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  E )  +  C
) )
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15uniioombllem2a 19427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
ran  (,) )
17 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( G `  J ) )
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( G `  J ) ) )
19 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
2012ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `
 J )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2119, 20sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `
 J )  e.  ( RR  X.  RR ) )
22 1st2nd2 6345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  J )  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( G `
 J )  = 
<. ( 1st `  ( G `  J )
) ,  ( 2nd `  ( G `  J
) ) >. )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( G `
 J )  = 
<. ( 1st `  ( G `  J )
) ,  ( 2nd `  ( G `  J
) ) >. )
2423fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( G `  J
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  J ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  J )
) >. ) )
25 df-ov 6043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) )  =  ( (,) `  <. ( 1st `  ( G `  J ) ) ,  ( 2nd `  ( G `  J )
) >. )
2624, 25syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( G `  J
) )  =  ( ( 1st `  ( G `  J )
) (,) ( 2nd `  ( G `  J
) ) ) )
27 ioossre 10928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) )  C_  RR
2826, 27syl6eqss 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( G `  J
) )  C_  RR )
2926fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  =  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `  J )
) (,) ( 2nd `  ( G `  J
) ) ) ) )
30 ovolfcl 19316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  J  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  J )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 J ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  J ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  J )
) ) )
3112, 30sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( G `
 J ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `  J ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  J
) )  <_  ( 2nd `  ( G `  J ) ) ) )
32 ovolioo 19415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  J )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( G `
 J ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( G `  J ) )  <_ 
( 2nd `  ( G `  J )
) )  ->  ( vol * `  ( ( 1st `  ( G `
 J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  J )
)  -  ( 1st `  ( G `  J
) ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( ( 1st `  ( G `  J ) ) (,) ( 2nd `  ( G `  J )
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  J )
)  -  ( 1st `  ( G `  J
) ) ) )
3429, 33eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  =  ( ( 2nd `  ( G `  J )
)  -  ( 1st `  ( G `  J
) ) ) )
3531simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  J
) )  e.  RR )
3631simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  J
) )  e.  RR )
3735, 36resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( G `
 J ) )  -  ( 1st `  ( G `  J )
) )  e.  RR )
3834, 37eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e.  RR )
39 ovolsscl 19335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  C_  ( (,) `  ( G `
 J ) )  /\  ( (,) `  ( G `  J )
)  C_  RR  /\  ( vol * `  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )
4018, 28, 38, 39syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )
4140adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )
42 uniioombllem2.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( x  e.  ran  (,)  |->  if ( x  =  (/) ,  <. 0 ,  0
>. ,  <. sup (
x ,  RR* ,  `'  <  ) ,  sup (
x ,  RR* ,  <  )
>. ) )
4342ioorcl 19422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
ran  (,)  /\  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  RR )  ->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
4416, 41, 43syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
45 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  |->  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) )
4644, 45fmptd 5852 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( z  e.  NN  |->  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
47 uniioombllem2.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  H  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
4942ioorf 19418 . . . . . . . . . . . 12  |-  K : ran  (,) --> (  <_  i^i  ( RR*  X.  RR* )
)
5049a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  K : ran  (,) --> (  <_  i^i  ( RR*  X.  RR* )
) )
5150feqmptd 5738 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  K  =  ( y  e.  ran  (,)  |->  ( K `  y
) ) )
52 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) )  ->  ( K `  y )  =  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) )
5316, 48, 51, 52fmptco 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( K  o.  H )  =  ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) )
5453feq1d 5539 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) ) )
5546, 54mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
56 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) )
5756ovolfsf 19321 . . . . . . 7  |-  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
5855, 57syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
5958ffvelrnda 5829 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
60 elrege0 10963 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) ) )
6159, 60sylib 189 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) ) )
6261simpld 446 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) `  n )  e.  RR )
6361simprd 450 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) `  n
) )
6453fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( K  o.  H ) `
 z )  =  ( ( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) `  z ) )
65 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) )  e.  _V
6645fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  NN  /\  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e. 
_V )  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) `
 z )  =  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
6765, 66mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  NN  ->  (
( z  e.  NN  |->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) `
 z )  =  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
6864, 67sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( K  o.  H
) `  z )  =  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
6968fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  z ) )  =  ( (,) `  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) ) ) )
7042ioorinv 19421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
ran  (,)  ->  ( (,) `  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
7116, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
7269, 71eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  z ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
7372ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  A. z  e.  NN  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  z )
)  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
74 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( K  o.  H
) `  z )  =  ( ( K  o.  H ) `  x ) )
7574fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  z ) )  =  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
) )
76 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
7776fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( (,) `  ( F `  z ) )  =  ( (,) `  ( F `  x )
) )
7877ineq1d 3501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  x )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
7975, 78eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
( (,) `  (
( K  o.  H
) `  z )
)  =  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  <->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x
) )  =  ( ( (,) `  ( F `  x )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
8079rspccva 3011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. z  e.  NN  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `
 z ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
)  =  ( ( (,) `  ( F `
 x ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )
8173, 80sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  x  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x ) )  =  ( ( (,) `  ( F `  x )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )
82 inss1 3521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (,) `  ( F `
 x ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  C_  ( (,) `  ( F `  x ) )
8381, 82syl6eqss 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  x  e.  NN )  ->  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x ) )  C_  ( (,) `  ( F `
 x ) ) )
8483ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  A. x  e.  NN  ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
)  C_  ( (,) `  ( F `  x
) ) )
857adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `  x )
) )
86 disjss2 4145 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  NN  ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `  x ) )  C_  ( (,) `  ( F `
 x ) )  ->  (Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( F `
 x ) )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  ( ( K  o.  H ) `
 x ) ) ) )
8784, 85, 86sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  -> Disj  x  e.  NN ( (,) `  (
( K  o.  H
) `  x )
) )
8855, 87, 2uniioovol 19424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
8971mpteq2dva 4255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( z  e.  NN  |->  ( (,) `  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) )
90 ressxr 9085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  RR*
91 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
9290, 90, 91mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
9319, 92sstri 3317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
9493, 44sseldi 3306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) ) )  e.  ( RR*  X.  RR* )
)
95 ioof 10958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR )
9796feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  (,)  =  ( y  e.  (
RR*  X.  RR* )  |->  ( (,) `  y ) ) )
98 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( K `  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) )  ->  ( (,) `  y
)  =  ( (,) `  ( K `  (
( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) ) ) ) )
9994, 53, 97, 98fmptco 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  ( K  o.  H ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( (,) `  ( K `
 ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) ) ) ) )
10089, 99, 483eqtr4d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  ( K  o.  H ) )  =  H )
101100rneqd 5056 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) )  =  ran  H )
102101unieqd 3986 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) )  =  U. ran  H
)
103 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,) `  ( F `  z
) )  e.  _V
104103inex1 4304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  e.  _V
10547fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  NN  /\  ( ( (,) `  ( F `  z )
)  i^i  ( (,) `  ( G `  J
) ) )  e. 
_V )  ->  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) )
106104, 105mpan2 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( F `  z
) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J ) ) ) )
107 incom 3493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (,) `  ( F `
 z ) )  i^i  ( (,) `  ( G `  J )
) )  =  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  z
) ) )
108106, 107syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  ( (,) `  ( F `  z ) ) ) )
109108iuneq2i 4071 . . . . . . . . . 10  |-  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  U_ z  e.  NN  (
( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  ( (,) `  ( F `  z
) ) )
110 iunin2 4115 . . . . . . . . . 10  |-  U_ z  e.  NN  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  ( (,) `  ( F `  z ) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z ) ) )
111109, 110eqtri 2424 . . . . . . . . 9  |-  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z )
) )
11216, 47fmptd 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  H : NN
--> ran  (,) )
113 ffn 5550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : NN --> ran  (,)  ->  H  Fn  NN )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  H  Fn  NN )
115 fniunfv 5953 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  Fn  NN  ->  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  U. ran  H )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( H `  z )  =  U. ran  H )
117111, 116syl5eqr 2450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 z ) ) )  =  U. ran  H )
1186adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  F : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
119 fvco3 5759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  z )  =  ( (,) `  ( F `  z )
) )
120118, 119sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  z  e.  NN )  ->  (
( (,)  o.  F
) `  z )  =  ( (,) `  ( F `  z )
) )
121120iuneq2dv 4074 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z ) ) )
122 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
12395, 122ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
124 fss 5558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  ->  F : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
125118, 93, 124sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( RR*  X.  RR* )
)
126 fnfco 5568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  F : NN --> ( RR*  X.  RR* ) )  ->  ( (,)  o.  F )  Fn  NN )
127123, 125, 126sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( (,) 
o.  F )  Fn  NN )
128 fniunfv 5953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (,)  o.  F )  Fn  NN  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  U. ran  ( (,)  o.  F
) )
130129, 9syl6eqr 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( ( (,) 
o.  F ) `  z )  =  A )
131121, 130eqtr3d 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `  z )
)  =  A )
132131ineq2d 3502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  U_ z  e.  NN  ( (,) `  ( F `
 z ) ) )  =  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  A ) )
133102, 117, 1323eqtr2d 2442 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) )  =  ( ( (,) `  ( G `  J
) )  i^i  A
) )
134133fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  U. ran  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
) )
13588, 134eqtr3d 2438 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
) )
136 inss1 3521 . . . . . . 7  |-  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `
 J ) )
137136a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( (,) `  ( G `
 J ) )  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `
 J ) ) )
138 ovolsscl 19335 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )  C_  ( (,) `  ( G `  J )
)  /\  ( (,) `  ( G `  J
) )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( (,) `  ( G `
 J ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
)  e.  RR )
139137, 28, 38, 138syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  J ) )  i^i 
A ) )  e.  RR )
140135, 139eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e.  RR )
14156, 2ovolsf 19322 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
14255, 141syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
143 ffn 5550 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  Fn  NN )
144142, 143syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  Fn  NN )
145 fnfvelrn 5826 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  Fn  NN  /\  y  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) )
146144, 145sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  y  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) )
147 frn 5556 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
148142, 147syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  C_  (
0 [,)  +oo ) )
149 icossxr 10951 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
150148, 149syl6ss 3320 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  C_  RR* )
151 supxrub 10859 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  C_  RR* 
/\  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
152150, 151sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
153146, 152syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  NN )  /\  y  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
154153ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
155 breq2 4176 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x 
<->  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
156155ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x 
<-> 
A. y  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
157156rspcev 3012 . . . 4  |-  ( ( sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\ 
A. y  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) `  y
)  <_  x )
158140, 154, 157syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x )
1591, 2, 4, 5, 62, 63, 158isumsup2 12581 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  ~~>  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR ,  <  ) )
16056ovolfs2 19416 . . . . 5  |-  ( ( K  o.  H ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( ( vol *  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H )
) )
16155, 160syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( ( vol *  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H )
) )
162 coass 5347 . . . . 5  |-  ( ( vol *  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H ) )  =  ( vol *  o.  ( (,)  o.  ( K  o.  H ) ) )
163100coeq2d 4994 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( vol
*  o.  ( (,) 
o.  ( K  o.  H ) ) )  =  ( vol *  o.  H ) )
164162, 163syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( vol *  o.  (,) )  o.  ( K  o.  H ) )  =  ( vol *  o.  H ) )
165161, 164eqtrd 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) )  =  ( vol *  o.  H
) )
166165seqeq3d 11286 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( vol
*  o.  H ) ) )
167 0re 9047 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
168 pnfxr 10669 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
169 icossre 10947 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
170167, 168, 169mp2an 654 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
171148, 170syl6ss 3320 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  C_  RR )
172 1nn 9967 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
173 fdm 5554 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  dom  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =  NN )
174142, 173syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  dom  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  =  NN )
175172, 174syl5eleqr 2491 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  1  e. 
dom  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) )
176 ne0i 3594 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  dom  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  ->  dom  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =/=  (/) )
177175, 176syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  dom  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  =/=  (/) )
178 dm0rn0 5045 . . . . . 6  |-  ( dom 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =  (/) 
<->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =  (/) )
179178necon3bii 2599 . . . . 5  |-  ( dom 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =/=  (/) 
<->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  =/=  (/) )
180177, 179sylib 189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  =/=  (/) )
181 breq1 4175 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  -> 
( z  <_  x  <->  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) `  y )  <_  x
) )
182181ralrn 5832 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) z  <_  x  <->  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x ) )
183144, 182syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( A. z  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) z  <_  x  <->  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x ) )
184183rexbidv 2687 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) `
 y )  <_  x ) )
185158, 184mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) z  <_  x )
186 supxrre 10862 . . . 4  |-  ( ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) )  C_  RR  /\  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) z  <_  x )  ->  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR ,  <  ) )
187171, 180, 185, 186syl3anc 1184 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  ( K  o.  H )
) ) ,  RR ,  <  ) )
188187, 135eqtr3d 2438 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( K  o.  H
) ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( vol * `  ( ( (,) `  ( G `  J )
)  i^i  A )
) )
189159, 166, 1883brtr3d 4201 1  |-  ( (
ph  /\  J  e.  NN )  ->  seq  1
(  +  ,  ( vol *  o.  H
) )  ~~>  ( vol
* `  ( ( (,) `  ( G `  J ) )  i^i 
A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   ~Pcpw 3759   <.cop 3777   U.cuni 3975   U_ciun 4053  Disj wdisj 4142   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   supcsup 7403   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   ZZcz 10238   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,)cico 10874    seq cseq 11278   abscabs 11994    ~~> cli 12233   vol *covol 19312
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  19433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314  df-vol 19315
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