MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem1 Structured version   Unicode version

Theorem uniioombllem1 21858
Description: Lemma for uniioombl 21866. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.2  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  NN  ( (,) `  ( F `  x ) ) )
uniioombl.3  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
uniioombl.a  |-  A  = 
U. ran  ( (,)  o.  F )
uniioombl.e  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
uniioombl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
uniioombl.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
uniioombl.s  |-  ( ph  ->  E  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
uniioombl.t  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
uniioombl.v  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem1  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, A    x, C    ph, x    x, T
Allowed substitution hints:    S( x)    E( x)

Proof of Theorem uniioombllem1
StepHypRef Expression
1 uniioombl.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
3 uniioombl.t . . . . . 6  |-  T  =  seq 1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
42, 3ovolsf 21752 . . . . 5  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
51, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
6 frn 5743 . . . 4  |-  ( T : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  T  C_  ( 0 [,) +oo ) )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  (
0 [,) +oo )
)
8 0re 9608 . . . 4  |-  0  e.  RR
9 pnfxr 11333 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
10 icossre 11617 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
118, 9, 10mp2an 672 . . 3  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
127, 11syl6ss 3521 . 2  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  RR )
13 1nn 10559 . . . . 5  |-  1  e.  NN
14 fdm 5741 . . . . . 6  |-  ( T : NN --> ( 0 [,) +oo )  ->  dom  T  =  NN )
155, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  T  =  NN )
1613, 15syl5eleqr 2562 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  dom  T
)
17 ne0i 3796 . . . 4  |-  ( 1  e.  dom  T  ->  dom  T  =/=  (/) )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  T  =/=  (/) )
19 dm0rn0 5225 . . . 4  |-  ( dom 
T  =  (/)  <->  ran  T  =  (/) )
2019necon3bii 2735 . . 3  |-  ( dom 
T  =/=  (/)  <->  ran  T  =/=  (/) )
2118, 20sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ran  T  =/=  (/) )
22 icossxr 11621 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
237, 22syl6ss 3521 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  T  C_  RR* )
24 supxrcl 11518 . . . 4  |-  ( ran 
T  C_  RR*  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
2523, 24syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
26 uniioombl.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
27 uniioombl.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
2827rpred 11268 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2926, 28readdcld 9635 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  E )  +  C
)  e.  RR )
3029rexrd 9655 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  E )  +  C
)  e.  RR* )
319a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
32 uniioombl.v . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol* `  E )  +  C
) )
33 ltpnf 11343 . . . 4  |-  ( ( ( vol* `  E )  +  C
)  e.  RR  ->  ( ( vol* `  E )  +  C
)  < +oo )
3429, 33syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  E )  +  C
)  < +oo )
3525, 30, 31, 32, 34xrlelttrd 11375 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  < +oo )
36 supxrbnd 11532 . 2  |-  ( ( ran  T  C_  RR  /\ 
ran  T  =/=  (/)  /\  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  < +oo )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
3712, 21, 35, 36syl3anc 1228 1  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   U.cuni 4251  Disj wdisj 4423   class class class wbr 4453    X. cxp 5003   dom cdm 5005   ran crn 5006    o. ccom 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   supcsup 7912   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507   +oocpnf 9637   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   NNcn 10548   RR+crp 11232   (,)cioo 11541   [,)cico 11543    seqcseq 12087   abscabs 13047   vol*covol 21742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-ico 11547  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049
This theorem is referenced by:  uniioombllem3  21862  uniioombllem4  21863  uniioombllem5  21864  uniioombllem6  21865
  Copyright terms: Public domain W3C validator