Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem uniioombl 22547
 Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 22506.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1
uniioombl.2 Disj
uniioombl.3
Assertion
Ref Expression
uniioombl
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem uniioombl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 11732 . . . . 5
2 uniioombl.1 . . . . . 6
3 inss2 3653 . . . . . . 7
4 rexpssxrxp 9685 . . . . . . 7
53, 4sstri 3441 . . . . . 6
6 fss 5737 . . . . . 6
72, 5, 6sylancl 668 . . . . 5
8 fco 5739 . . . . 5
91, 7, 8sylancr 669 . . . 4
10 frn 5735 . . . 4
119, 10syl 17 . . 3
12 sspwuni 4367 . . 3
1311, 12sylib 200 . 2
14 elpwi 3960 . . . . . . . . . . 11
1514ad2antrl 734 . . . . . . . . . 10
1615adantr 467 . . . . . . . . 9
17 simprr 766 . . . . . . . . . 10
1817adantr 467 . . . . . . . . 9
19 rphalfcl 11327 . . . . . . . . . . 11
2019rphalfcld 11353 . . . . . . . . . 10
2120adantl 468 . . . . . . . . 9
22 eqid 2451 . . . . . . . . . 10
2322ovolgelb 22433 . . . . . . . . 9
2416, 18, 21, 23syl3anc 1268 . . . . . . . 8
252ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9
26 uniioombl.2 . . . . . . . . . 10 Disj
2726ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9 Disj
28 uniioombl.3 . . . . . . . . 9
29 eqid 2451 . . . . . . . . 9
3018adantr 467 . . . . . . . . 9
3119adantl 468 . . . . . . . . . . 11
3231adantr 467 . . . . . . . . . 10
3332rphalfcld 11353 . . . . . . . . 9
34 elmapi 7493 . . . . . . . . . 10
3534ad2antrl 734 . . . . . . . . 9
36 simprrl 774 . . . . . . . . 9
37 simprrr 775 . . . . . . . . 9
3825, 27, 28, 29, 30, 33, 35, 36, 22, 37uniioombllem6 22546 . . . . . . . 8
3924, 38rexlimddv 2883 . . . . . . 7
40 rpcn 11310 . . . . . . . . . . . . 13
4140adantl 468 . . . . . . . . . . . 12
42 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . 12
43 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . 13
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
4541, 42, 42, 44, 44divdiv1d 10414 . . . . . . . . . . 11
46 2t2e4 10759 . . . . . . . . . . . 12
4746oveq2i 6301 . . . . . . . . . . 11
4845, 47syl6eq 2501 . . . . . . . . . 10
4948oveq2d 6306 . . . . . . . . 9
50 4cn 10687 . . . . . . . . . . 11
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10
52 4ne0 10706 . . . . . . . . . . 11
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10
5441, 51, 53divcan2d 10385 . . . . . . . . 9
5549, 54eqtrd 2485 . . . . . . . 8
5655oveq2d 6306 . . . . . . 7
5739, 56breqtrd 4427 . . . . . 6
5857ralrimiva 2802 . . . . 5
59 inss1 3652 . . . . . . . . 9
6059a1i 11 . . . . . . . 8
61 ovolsscl 22439 . . . . . . . 8
6260, 15, 17, 61syl3anc 1268 . . . . . . 7
63 difssd 3561 . . . . . . . 8
64 ovolsscl 22439 . . . . . . . 8
6563, 15, 17, 64syl3anc 1268 . . . . . . 7
6662, 65readdcld 9670 . . . . . 6
67 alrple 11499 . . . . . 6
6866, 17, 67syl2anc 667 . . . . 5
6958, 68mpbird 236 . . . 4
7069expr 620 . . 3
7170ralrimiva 2802 . 2
72 ismbl2 22481 . 2
7313, 71, 72sylanbrc 670 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738   cdif 3401   cin 3403   wss 3404  cpw 3951  cuni 4198  Disj wdisj 4373   class class class wbr 4402   cxp 4832   cdm 4834   crn 4835   ccom 4838  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmap 7472  csup 7954  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544  cxr 9674   clt 9675   cle 9676   cmin 9860   cdiv 10269  cn 10609  c2 10659  c4 10661  crp 11302  cioo 11635   cseq 12213  cabs 13297  covol 22413  cvol 22415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cmp 20402  df-ovol 22416  df-vol 22418 This theorem is referenced by:  uniiccmbl  22548
 Copyright terms: Public domain W3C validator