Theorem uniinqs 7383

Description: Class union distributes over the intersection of two subclasses of a quotient space. Compare uniin 4255. (Contributed by FL, 25-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
uniinqs.1	|- R Er X

Assertion

Ref	Expression
uniinqs	|- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> U. ( B i^i C ) = ( U. B i^i U. C ) )

Proof of Theorem uniinqs

Dummy variables b c x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniin 4255	. . 3 |- U. ( B i^i C ) C_ ( U. B i^i U. C )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> U. ( B i^i C ) C_ ( U. B i^i U. C ) )
3		eluni2 4239	. . . . . 6 |- ( x e. U. B <-> E. b e. B x e. b )
4		eluni2 4239	. . . . . 6 |- ( x e. U. C <-> E. c e. C x e. c )
5	3, 4	anbi12i 695	. . . . 5 |- ( ( x e. U. B /\ x e. U. C ) <-> ( E. b e. B x e. b /\ E. c e. C x e. c ) )
6		elin 3673	. . . . 5 |- ( x e. ( U. B i^i U. C ) <-> ( x e. U. B /\ x e. U. C ) )
7		reeanv 3022	. . . . 5 |- ( E. b e. B E. c e. C ( x e. b /\ x e. c ) <-> ( E. b e. B x e. b /\ E. c e. C x e. c ) )
8	5, 6, 7	3bitr4i 277	. . . 4 |- ( x e. ( U. B i^i U. C ) <-> E. b e. B E. c e. C ( x e. b /\ x e. c ) )
9		simp3l 1022	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> x e. b )
10		simp2l 1020	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b e. B )
11		inelcm 3869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. b /\ x e. c ) -> ( b i^i c ) =/= (/) )
12	11	3ad2ant3 1017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> ( b i^i c ) =/= (/) )
13		uniinqs.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- R Er X
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> R Er X )
15		simp1l 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> B C_ ( A /. R ) )
16	15, 10	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b e. ( A /. R ) )
17		simp1r 1019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> C C_ ( A /. R ) )
18		simp2r 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> c e. C )
19	17, 18	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> c e. ( A /. R ) )
20	14, 16, 19	qsdisj 7380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> ( b = c \/ ( b i^i c ) = (/) ) )
21	20	ord 375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> ( -. b = c -> ( b i^i c ) = (/) ) )
22	21	necon1ad 2670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> ( ( b i^i c ) =/= (/) -> b = c ) )
23	12, 22	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b = c )
24	23, 18	eqeltrd 2542	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b e. C )
25	10, 24	elind 3674	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b e. ( B i^i C ) )
26		elunii 4240	. . . . . . 7 |- ( ( x e. b /\ b e. ( B i^i C ) ) -> x e. U. ( B i^i C ) )
27	9, 25, 26	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> x e. U. ( B i^i C ) )
28	27	3expia 1196	. . . . 5 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( ( x e. b /\ x e. c ) -> x e. U. ( B i^i C ) ) )
29	28	rexlimdvva 2953	. . . 4 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> ( E. b e. B E. c e. C ( x e. b /\ x e. c ) -> x e. U. ( B i^i C ) ) )
30	8, 29	syl5bi 217	. . 3 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> ( x e. ( U. B i^i U. C ) -> x e. U. ( B i^i C ) ) )
31	30	ssrdv 3495	. 2 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> ( U. B i^i U. C ) C_ U. ( B i^i C ) )
32	2, 31	eqssd 3506	1 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> U. ( B i^i C ) = ( U. B i^i U. C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   E.wrex 2805   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   U.cuni 4235   Er wer 7300   /.cqs 7302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309

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