Theorem uniinqs 7448

Description: Class union distributes over the intersection of two subclasses of a quotient space. Compare uniin 4221. (Contributed by FL, 25-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
uniinqs.1	|- R Er X

Assertion

Ref	Expression
uniinqs	|- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> U. ( B i^i C ) = ( U. B i^i U. C ) )

Proof of Theorem uniinqs

Dummy variables b c x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniin 4221	. . 3 |- U. ( B i^i C ) C_ ( U. B i^i U. C )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> U. ( B i^i C ) C_ ( U. B i^i U. C ) )
3		eluni2 4205	. . . . . 6 |- ( x e. U. B <-> E. b e. B x e. b )
4		eluni2 4205	. . . . . 6 |- ( x e. U. C <-> E. c e. C x e. c )
5	3, 4	anbi12i 704	. . . . 5 |- ( ( x e. U. B /\ x e. U. C ) <-> ( E. b e. B x e. b /\ E. c e. C x e. c ) )
6		elin 3619	. . . . 5 |- ( x e. ( U. B i^i U. C ) <-> ( x e. U. B /\ x e. U. C ) )
7		reeanv 2960	. . . . 5 |- ( E. b e. B E. c e. C ( x e. b /\ x e. c ) <-> ( E. b e. B x e. b /\ E. c e. C x e. c ) )
8	5, 6, 7	3bitr4i 281	. . . 4 |- ( x e. ( U. B i^i U. C ) <-> E. b e. B E. c e. C ( x e. b /\ x e. c ) )
9		simp3l 1037	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> x e. b )
10		simp2l 1035	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b e. B )
11		inelcm 3821	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. b /\ x e. c ) -> ( b i^i c ) =/= (/) )
12	11	3ad2ant3 1032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> ( b i^i c ) =/= (/) )
13		uniinqs.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- R Er X
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> R Er X )
15		simp1l 1033	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> B C_ ( A /. R ) )
16	15, 10	sseldd 3435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b e. ( A /. R ) )
17		simp1r 1034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> C C_ ( A /. R ) )
18		simp2r 1036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> c e. C )
19	17, 18	sseldd 3435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> c e. ( A /. R ) )
20	14, 16, 19	qsdisj 7445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> ( b = c \/ ( b i^i c ) = (/) ) )
21	20	ord 379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> ( -. b = c -> ( b i^i c ) = (/) ) )
22	21	necon1ad 2643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> ( ( b i^i c ) =/= (/) -> b = c ) )
23	12, 22	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b = c )
24	23, 18	eqeltrd 2531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b e. C )
25	10, 24	elind 3620	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b e. ( B i^i C ) )
26		elunii 4206	. . . . . . 7 |- ( ( x e. b /\ b e. ( B i^i C ) ) -> x e. U. ( B i^i C ) )
27	9, 25, 26	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> x e. U. ( B i^i C ) )
28	27	3expia 1211	. . . . 5 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( ( x e. b /\ x e. c ) -> x e. U. ( B i^i C ) ) )
29	28	rexlimdvva 2888	. . . 4 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> ( E. b e. B E. c e. C ( x e. b /\ x e. c ) -> x e. U. ( B i^i C ) ) )
30	8, 29	syl5bi 221	. . 3 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> ( x e. ( U. B i^i U. C ) -> x e. U. ( B i^i C ) ) )
31	30	ssrdv 3440	. 2 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> ( U. B i^i U. C ) C_ U. ( B i^i C ) )
32	2, 31	eqssd 3451	1 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> U. ( B i^i C ) = ( U. B i^i U. C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   E.wrex 2740   i^i cin 3405   C_ wss 3406   (/)c0 3733   U.cuni 4201   Er wer 7365   /.cqs 7367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pr 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-er 7368  df-ec 7370  df-qs 7374

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