Theorem uniinqs 7285

Description: Class union distributes over the intersection of two subclasses of a quotient space. Compare uniin 4214. (Contributed by FL, 25-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
uniinqs.1	|- R Er X

Assertion

Ref	Expression
uniinqs	|- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> U. ( B i^i C ) = ( U. B i^i U. C ) )

Proof of Theorem uniinqs

Dummy variables b c x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniin 4214	. . 3 |- U. ( B i^i C ) C_ ( U. B i^i U. C )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> U. ( B i^i C ) C_ ( U. B i^i U. C ) )
3		eluni2 4198	. . . . . 6 |- ( x e. U. B <-> E. b e. B x e. b )
4		eluni2 4198	. . . . . 6 |- ( x e. U. C <-> E. c e. C x e. c )
5	3, 4	anbi12i 697	. . . . 5 |- ( ( x e. U. B /\ x e. U. C ) <-> ( E. b e. B x e. b /\ E. c e. C x e. c ) )
6		elin 3642	. . . . 5 |- ( x e. ( U. B i^i U. C ) <-> ( x e. U. B /\ x e. U. C ) )
7		reeanv 2988	. . . . 5 |- ( E. b e. B E. c e. C ( x e. b /\ x e. c ) <-> ( E. b e. B x e. b /\ E. c e. C x e. c ) )
8	5, 6, 7	3bitr4i 277	. . . 4 |- ( x e. ( U. B i^i U. C ) <-> E. b e. B E. c e. C ( x e. b /\ x e. c ) )
9		simp3l 1016	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> x e. b )
10		simp2l 1014	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b e. B )
11		inelcm 3836	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. b /\ x e. c ) -> ( b i^i c ) =/= (/) )
12	11	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> ( b i^i c ) =/= (/) )
13		uniinqs.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- R Er X
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> R Er X )
15		simp1l 1012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> B C_ ( A /. R ) )
16	15, 10	sseldd 3460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b e. ( A /. R ) )
17		simp1r 1013	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> C C_ ( A /. R ) )
18		simp2r 1015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> c e. C )
19	17, 18	sseldd 3460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> c e. ( A /. R ) )
20	14, 16, 19	qsdisj 7282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> ( b = c \/ ( b i^i c ) = (/) ) )
21	20	ord 377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> ( -. b = c -> ( b i^i c ) = (/) ) )
22	21	necon1ad 2665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> ( ( b i^i c ) =/= (/) -> b = c ) )
23	12, 22	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b = c )
24	23, 18	eqeltrd 2540	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b e. C )
25	10, 24	elind 3643	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> b e. ( B i^i C ) )
26		elunii 4199	. . . . . . 7 |- ( ( x e. b /\ b e. ( B i^i C ) ) -> x e. U. ( B i^i C ) )
27	9, 25, 26	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) /\ ( x e. b /\ x e. c ) ) -> x e. U. ( B i^i C ) )
28	27	3expia 1190	. . . . 5 |- ( ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( ( x e. b /\ x e. c ) -> x e. U. ( B i^i C ) ) )
29	28	rexlimdvva 2948	. . . 4 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> ( E. b e. B E. c e. C ( x e. b /\ x e. c ) -> x e. U. ( B i^i C ) ) )
30	8, 29	syl5bi 217	. . 3 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> ( x e. ( U. B i^i U. C ) -> x e. U. ( B i^i C ) ) )
31	30	ssrdv 3465	. 2 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> ( U. B i^i U. C ) C_ U. ( B i^i C ) )
32	2, 31	eqssd 3476	1 |- ( ( B C_ ( A /. R ) /\ C C_ ( A /. R ) ) -> U. ( B i^i C ) = ( U. B i^i U. C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2645   E.wrex 2797   i^i cin 3430   C_ wss 3431   (/)c0 3740   U.cuni 4194   Er wer 7203   /.cqs 7205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-er 7206  df-ec 7208  df-qs 7212

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