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Theorem uniinqs 7448
Description: Class union distributes over the intersection of two subclasses of a quotient space. Compare uniin 4236. (Contributed by FL, 25-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
uniinqs.1  |-  R  Er  X
Assertion
Ref Expression
uniinqs  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  U. ( B  i^i  C )  =  ( U. B  i^i  U. C ) )

Proof of Theorem uniinqs
Dummy variables  b 
c  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniin 4236 . . 3  |-  U. ( B  i^i  C )  C_  ( U. B  i^i  U. C )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  U. ( B  i^i  C )  C_  ( U. B  i^i  U. C ) )
3 eluni2 4220 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. b  e.  B  x  e.  b )
4 eluni2 4220 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. C  <->  E. c  e.  C  x  e.  c )
53, 4anbi12i 701 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U. B  /\  x  e.  U. C
)  <->  ( E. b  e.  B  x  e.  b  /\  E. c  e.  C  x  e.  c ) )
6 elin 3649 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( U. B  i^i  U. C )  <->  ( x  e.  U. B  /\  x  e.  U. C ) )
7 reeanv 2996 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  B  E. c  e.  C  (
x  e.  b  /\  x  e.  c )  <->  ( E. b  e.  B  x  e.  b  /\  E. c  e.  C  x  e.  c ) )
85, 6, 73bitr4i 280 . . . 4  |-  ( x  e.  ( U. B  i^i  U. C )  <->  E. b  e.  B  E. c  e.  C  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )
9 simp3l 1033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  x  e.  b )
10 simp2l 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  e.  B )
11 inelcm 3847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  b  /\  x  e.  c )  ->  ( b  i^i  c
)  =/=  (/) )
12113ad2ant3 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
( b  i^i  c
)  =/=  (/) )
13 uniinqs.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R  Er  X
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  R  Er  X )
15 simp1l 1029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  B  C_  ( A /. R ) )
1615, 10sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  e.  ( A /. R ) )
17 simp1r 1030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  C  C_  ( A /. R ) )
18 simp2r 1032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
c  e.  C )
1917, 18sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
c  e.  ( A /. R ) )
2014, 16, 19qsdisj 7445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
( b  =  c  \/  ( b  i^i  c )  =  (/) ) )
2120ord 378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
( -.  b  =  c  ->  ( b  i^i  c )  =  (/) ) )
2221necon1ad 2640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
( ( b  i^i  c )  =/=  (/)  ->  b  =  c ) )
2312, 22mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  =  c )
2423, 18eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  e.  C )
2510, 24elind 3650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  -> 
b  e.  ( B  i^i  C ) )
26 elunii 4221 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  b  /\  b  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C ) )
279, 25, 26syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
)  /\  ( x  e.  b  /\  x  e.  c ) )  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C ) )
28273expia 1207 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R ) )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
) )  ->  (
( x  e.  b  /\  x  e.  c )  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C
) ) )
2928rexlimdvva 2924 . . . 4  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  ( E. b  e.  B  E. c  e.  C  ( x  e.  b  /\  x  e.  c
)  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C
) ) )
308, 29syl5bi 220 . . 3  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  (
x  e.  ( U. B  i^i  U. C )  ->  x  e.  U. ( B  i^i  C ) ) )
3130ssrdv 3470 . 2  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  ( U. B  i^i  U. C
)  C_  U. ( B  i^i  C ) )
322, 31eqssd 3481 1  |-  ( ( B  C_  ( A /. R )  /\  C  C_  ( A /. R
) )  ->  U. ( B  i^i  C )  =  ( U. B  i^i  U. C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   E.wrex 2776    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   U.cuni 4216    Er wer 7365   /.cqs 7367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pr 4657
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-er 7368  df-ec 7370  df-qs 7374
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