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Theorem uniin 4265
Description: The class union of the intersection of two classes. Exercise 4.12(n) of [Mendelson] p. 235. See uniinqs 7391 for a condition where equality holds. (Contributed by NM, 4-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
uniin  |-  U. ( A  i^i  B )  C_  ( U. A  i^i  U. B )

Proof of Theorem uniin
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.40 1656 . . . 4  |-  ( E. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  (
x  e.  y  /\  y  e.  B )
)  ->  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ) )
2 elin 3687 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) )
32anbi2i 694 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  i^i  B ) )  <->  ( x  e.  y  /\  (
y  e.  A  /\  y  e.  B )
) )
4 anandi 826 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
53, 4bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  i^i  B ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
65exbii 1644 . . . 4  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  i^i  B
) )  <->  E. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  (
x  e.  y  /\  y  e.  B )
) )
7 eluni 4248 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
8 eluni 4248 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) )
97, 8anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. A  /\  x  e.  U. B
)  <->  ( E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  /\  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
101, 6, 93imtr4i 266 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  (
x  e.  U. A  /\  x  e.  U. B
) )
11 eluni 4248 . . 3  |-  ( x  e.  U. ( A  i^i  B )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  i^i  B ) ) )
12 elin 3687 . . 3  |-  ( x  e.  ( U. A  i^i  U. B )  <->  ( x  e.  U. A  /\  x  e.  U. B ) )
1310, 11, 123imtr4i 266 . 2  |-  ( x  e.  U. ( A  i^i  B )  ->  x  e.  ( U. A  i^i  U. B ) )
1413ssriv 3508 1  |-  U. ( A  i^i  B )  C_  ( U. A  i^i  U. B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369   E.wex 1596    e. wcel 1767    i^i cin 3475    C_ wss 3476   U.cuni 4245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-v 3115  df-in 3483  df-ss 3490  df-uni 4246
This theorem is referenced by:  uniinqs  7391  psss  15701  tgval  19251  mapdunirnN  36465
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