Theorem uniimadomf 4873

Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99. This version of uniimadom 4872 uses a bound-variable hypothesis in place of a distinct variable condition.

Hypotheses

Ref	Expression
uniimadomf.1	|- (y e. F -> A.x y e. F)
uniimadomf.2	|- A e. V
uniimadomf.3	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
uniimadomf	|- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ (A X. B))

Distinct variable groups:   x,A   x,y,B   y,F

Proof of Theorem uniimadomf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniimadomf.2	. . 3 |- A e. V
2		uniimadomf.3	. . 3 |- B e. V
3	1, 2	uniimadom 4872	. 2 |- ((Fun F /\ A.z e. A (F` z) ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ (A X. B))
4		ax-17 1012	. . 3 |- ((F` x) ~<_ B -> A.z(F` x) ~<_ B)
5		uniimadomf.1	. . . . 5 |- (y e. F -> A.x y e. F)
6		ax-17 1012	. . . . 5 |- (y e. z -> A.x y e. z)
7	5, 6	hbfv 3786	. . . 4 |- (y e. (F` z) -> A.x y e. (F` z))
8		ax-17 1012	. . . 4 |- (y e. ~<_ -> A.x y e. ~<_ )
9		ax-17 1012	. . . 4 |- (y e. B -> A.x y e. B)
10	7, 8, 9	hbbr 2713	. . 3 |- ((F` z) ~<_ B -> A.x(F` z) ~<_ B)
11		fveq2 3781	. . . 4 |- (x = z -> (F` x) = (F` z))
12	11	breq1d 2684	. . 3 |- (x = z -> ((F` x) ~<_ B <-> (F` z) ~<_ B))
13	4, 10, 12	cbvral 1845	. 2 |- (A.x e. A (F` x) ~<_ B <-> A.z e. A (F` z) ~<_ B)
14	3, 13	sylan2b 463	1 |- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ (A X. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230  A.wal 995   = wceq 997   e. wcel 999  A.wral 1692  Vcvv 1858  U.cuni 2557   class class class wbr 2674   X. cxp 3225  "cima 3230  Fun wfun 3233  ` cfv 3239   ~<_ cdom 4426

This theorem is referenced by:  iundom 4874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-reg 4653  ax-inf2 4687  ax-ac 4806

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-iin 2623  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-en 4429  df-dom 4430  df-r1 4705  df-rank 4706

Copyright terms: Public domain