Theorem uniimadomf 5973

Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99. This version of uniimadom 5972 uses a bound-variable hypothesis in place of a distinct variable condition.

Hypotheses

Ref	Expression
uniimadomf.1	|- (y e. F -> A.x y e. F)
uniimadomf.2	|- A e. _V
uniimadomf.3	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniimadomf	|- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ (A X. B))

Distinct variable groups:   x,A   x,y,B   y,F

Proof of Theorem uniimadomf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniimadomf.2	. . 3 |- A e. _V
2		uniimadomf.3	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	uniimadom 5972	. 2 |- ((Fun F /\ A.z e. A (F` z) ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ (A X. B))
4		ax-17 1317	. . 3 |- ((F` x) ~<_ B -> A.z(F` x) ~<_ B)
5		uniimadomf.1	. . . . 5 |- (y e. F -> A.x y e. F)
6		ax-17 1317	. . . . 5 |- (y e. z -> A.x y e. z)
7	5, 6	hbfv 4686	. . . 4 |- (y e. (F` z) -> A.x y e. (F` z))
8		ax-17 1317	. . . 4 |- (y e. ~<_ -> A.x y e. ~<_ )
9		ax-17 1317	. . . 4 |- (y e. B -> A.x y e. B)
10	7, 8, 9	hbbr 3381	. . 3 |- ((F` z) ~<_ B -> A.x(F` z) ~<_ B)
11		fveq2 4681	. . . 4 |- (x = z -> (F` x) = (F` z))
12	11	breq1d 3348	. . 3 |- (x = z -> ((F` x) ~<_ B <-> (F` z) ~<_ B))
13	4, 10, 12	cbvral 2278	. 2 |- (A.x e. A (F` x) ~<_ B <-> A.z e. A (F` z) ~<_ B)
14	3, 13	sylan2b 501	1 |- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ (A X. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  "cima 3989  Fun wfun 3992  ` cfv 3998   ~<_ cdom 5424

This theorem is referenced by:  iundom 5974

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-en 5427  df-dom 5428  df-r1 5750  df-rank 5751

Copyright terms: Public domain