Theorem unifpw 7635

Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unifpw	|- U. ( ~P A i^i Fin ) = A

Proof of Theorem unifpw

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3591	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
2	1	unissi 4135	. . . . 5 |- U. ( ~P A i^i Fin ) C_ U. ~P A
3		unipw 4563	. . . . 5 |- U. ~P A = A
4	2, 3	sseqtri 3409	. . . 4 |- U. ( ~P A i^i Fin ) C_ A
5	4	sseli 3373	. . 3 |- ( a e. U. ( ~P A i^i Fin ) -> a e. A )
6		snelpwi 4558	. . . . . 6 |- ( a e. A -> { a } e. ~P A )
7		snfi 7411	. . . . . . 7 |- { a } e. Fin
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( a e. A -> { a } e. Fin )
9	6, 8	elind 3561	. . . . 5 |- ( a e. A -> { a } e. ( ~P A i^i Fin ) )
10		elssuni 4142	. . . . 5 |- ( { a } e. ( ~P A i^i Fin ) -> { a } C_ U. ( ~P A i^i Fin ) )
11	9, 10	syl 16	. . . 4 |- ( a e. A -> { a } C_ U. ( ~P A i^i Fin ) )
12		snidg 3924	. . . 4 |- ( a e. A -> a e. { a } )
13	11, 12	sseldd 3378	. . 3 |- ( a e. A -> a e. U. ( ~P A i^i Fin ) )
14	5, 13	impbii 188	. 2 |- ( a e. U. ( ~P A i^i Fin ) <-> a e. A )
15	14	eqriv 2440	1 |- U. ( ~P A i^i Fin ) = A

Syntax hints:   = wceq 1369   e. wcel 1756   i^i cin 3348   C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   {csn 3898   U.cuni 4112   Fincfn 7331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-om 6498  df-1o 6941  df-en 7332  df-fin 7335

This theorem is referenced by:  isacs5lem  15360  acsmapd  15369  acsmap2d  15370