Theorem unifpw 7902

Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unifpw	|- U. ( ~P A i^i Fin ) = A

Proof of Theorem unifpw

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3663	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
2	1	unissi 4234	. . . . 5 |- U. ( ~P A i^i Fin ) C_ U. ~P A
3		unipw 4663	. . . . 5 |- U. ~P A = A
4	2, 3	sseqtri 3475	. . . 4 |- U. ( ~P A i^i Fin ) C_ A
5	4	sseli 3439	. . 3 |- ( a e. U. ( ~P A i^i Fin ) -> a e. A )
6		snelpwi 4658	. . . . . 6 |- ( a e. A -> { a } e. ~P A )
7		snfi 7675	. . . . . . 7 |- { a } e. Fin
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( a e. A -> { a } e. Fin )
9	6, 8	elind 3629	. . . . 5 |- ( a e. A -> { a } e. ( ~P A i^i Fin ) )
10		elssuni 4240	. . . . 5 |- ( { a } e. ( ~P A i^i Fin ) -> { a } C_ U. ( ~P A i^i Fin ) )
11	9, 10	syl 17	. . . 4 |- ( a e. A -> { a } C_ U. ( ~P A i^i Fin ) )
12		snidg 4005	. . . 4 |- ( a e. A -> a e. { a } )
13	11, 12	sseldd 3444	. . 3 |- ( a e. A -> a e. U. ( ~P A i^i Fin ) )
14	5, 13	impbii 192	. 2 |- ( a e. U. ( ~P A i^i Fin ) <-> a e. A )
15	14	eqriv 2458	1 |- U. ( ~P A i^i Fin ) = A

Syntax hints:   = wceq 1454   e. wcel 1897   i^i cin 3414   C_ wss 3415   ~Pcpw 3962   {csn 3979   U.cuni 4211   Fincfn 7594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-om 6719  df-1o 7207  df-en 7595  df-fin 7598

This theorem is referenced by:  isacs5lem  16463  acsmapd  16472  acsmap2d  16473