Theorem unifpw 7815

Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unifpw	|- U. ( ~P A i^i Fin ) = A

Proof of Theorem unifpw

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3704	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
2	1	unissi 4258	. . . . 5 |- U. ( ~P A i^i Fin ) C_ U. ~P A
3		unipw 4687	. . . . 5 |- U. ~P A = A
4	2, 3	sseqtri 3521	. . . 4 |- U. ( ~P A i^i Fin ) C_ A
5	4	sseli 3485	. . 3 |- ( a e. U. ( ~P A i^i Fin ) -> a e. A )
6		snelpwi 4682	. . . . . 6 |- ( a e. A -> { a } e. ~P A )
7		snfi 7589	. . . . . . 7 |- { a } e. Fin
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( a e. A -> { a } e. Fin )
9	6, 8	elind 3674	. . . . 5 |- ( a e. A -> { a } e. ( ~P A i^i Fin ) )
10		elssuni 4264	. . . . 5 |- ( { a } e. ( ~P A i^i Fin ) -> { a } C_ U. ( ~P A i^i Fin ) )
11	9, 10	syl 16	. . . 4 |- ( a e. A -> { a } C_ U. ( ~P A i^i Fin ) )
12		snidg 4042	. . . 4 |- ( a e. A -> a e. { a } )
13	11, 12	sseldd 3490	. . 3 |- ( a e. A -> a e. U. ( ~P A i^i Fin ) )
14	5, 13	impbii 188	. 2 |- ( a e. U. ( ~P A i^i Fin ) <-> a e. A )
15	14	eqriv 2450	1 |- U. ( ~P A i^i Fin ) = A

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 1823   i^i cin 3460   C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   {csn 4016   U.cuni 4235   Fincfn 7509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-om 6674  df-1o 7122  df-en 7510  df-fin 7513

This theorem is referenced by:  isacs5lem  16001  acsmapd  16010  acsmap2d  16011