Theorem unifpw 7821

Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unifpw	|- U. ( ~P A i^i Fin ) = A

Proof of Theorem unifpw

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3700	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
2	1	unissi 4253	. . . . 5 |- U. ( ~P A i^i Fin ) C_ U. ~P A
3		unipw 4683	. . . . 5 |- U. ~P A = A
4	2, 3	sseqtri 3518	. . . 4 |- U. ( ~P A i^i Fin ) C_ A
5	4	sseli 3482	. . 3 |- ( a e. U. ( ~P A i^i Fin ) -> a e. A )
6		snelpwi 4678	. . . . . 6 |- ( a e. A -> { a } e. ~P A )
7		snfi 7594	. . . . . . 7 |- { a } e. Fin
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( a e. A -> { a } e. Fin )
9	6, 8	elind 3670	. . . . 5 |- ( a e. A -> { a } e. ( ~P A i^i Fin ) )
10		elssuni 4260	. . . . 5 |- ( { a } e. ( ~P A i^i Fin ) -> { a } C_ U. ( ~P A i^i Fin ) )
11	9, 10	syl 16	. . . 4 |- ( a e. A -> { a } C_ U. ( ~P A i^i Fin ) )
12		snidg 4036	. . . 4 |- ( a e. A -> a e. { a } )
13	11, 12	sseldd 3487	. . 3 |- ( a e. A -> a e. U. ( ~P A i^i Fin ) )
14	5, 13	impbii 188	. 2 |- ( a e. U. ( ~P A i^i Fin ) <-> a e. A )
15	14	eqriv 2437	1 |- U. ( ~P A i^i Fin ) = A

Syntax hints:   = wceq 1381   e. wcel 1802   i^i cin 3457   C_ wss 3458   ~Pcpw 3993   {csn 4010   U.cuni 4230   Fincfn 7514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-om 6682  df-1o 7128  df-en 7515  df-fin 7518

This theorem is referenced by:  isacs5lem  15668  acsmapd  15677  acsmap2d  15678