MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifpw Structured version   Unicode version

Theorem unifpw 7821
Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unifpw  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  =  A

Proof of Theorem unifpw
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3700 . . . . . 6  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
21unissi 4253 . . . . 5  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
U. ~P A
3 unipw 4683 . . . . 5  |-  U. ~P A  =  A
42, 3sseqtri 3518 . . . 4  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  C_  A
54sseli 3482 . . 3  |-  ( a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  e.  A )
6 snelpwi 4678 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  ~P A
)
7 snfi 7594 . . . . . . 7  |-  { a }  e.  Fin
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  Fin )
96, 8elind 3670 . . . . 5  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
10 elssuni 4260 . . . . 5  |-  ( { a }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  { a } 
C_  U. ( ~P A  i^i  Fin ) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  C_  U. ( ~P A  i^i  Fin )
)
12 snidg 4036 . . . 4  |-  ( a  e.  A  ->  a  e.  { a } )
1311, 12sseldd 3487 . . 3  |-  ( a  e.  A  ->  a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin ) )
145, 13impbii 188 . 2  |-  ( a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin )  <->  a  e.  A )
1514eqriv 2437 1  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  =  A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1381    e. wcel 1802    i^i cin 3457    C_ wss 3458   ~Pcpw 3993   {csn 4010   U.cuni 4230   Fincfn 7514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-om 6682  df-1o 7128  df-en 7515  df-fin 7518
This theorem is referenced by:  isacs5lem  15668  acsmapd  15677  acsmap2d  15678
  Copyright terms: Public domain W3C validator