Theorem unifpw 7880

Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unifpw	|- U. ( ~P A i^i Fin ) = A

Proof of Theorem unifpw

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3682	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
2	1	unissi 4239	. . . . 5 |- U. ( ~P A i^i Fin ) C_ U. ~P A
3		unipw 4668	. . . . 5 |- U. ~P A = A
4	2, 3	sseqtri 3496	. . . 4 |- U. ( ~P A i^i Fin ) C_ A
5	4	sseli 3460	. . 3 |- ( a e. U. ( ~P A i^i Fin ) -> a e. A )
6		snelpwi 4663	. . . . . 6 |- ( a e. A -> { a } e. ~P A )
7		snfi 7654	. . . . . . 7 |- { a } e. Fin
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( a e. A -> { a } e. Fin )
9	6, 8	elind 3650	. . . . 5 |- ( a e. A -> { a } e. ( ~P A i^i Fin ) )
10		elssuni 4245	. . . . 5 |- ( { a } e. ( ~P A i^i Fin ) -> { a } C_ U. ( ~P A i^i Fin ) )
11	9, 10	syl 17	. . . 4 |- ( a e. A -> { a } C_ U. ( ~P A i^i Fin ) )
12		snidg 4022	. . . 4 |- ( a e. A -> a e. { a } )
13	11, 12	sseldd 3465	. . 3 |- ( a e. A -> a e. U. ( ~P A i^i Fin ) )
14	5, 13	impbii 190	. 2 |- ( a e. U. ( ~P A i^i Fin ) <-> a e. A )
15	14	eqriv 2418	1 |- U. ( ~P A i^i Fin ) = A

Syntax hints:   = wceq 1437   e. wcel 1868   i^i cin 3435   C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996   U.cuni 4216   Fincfn 7574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-om 6704  df-1o 7187  df-en 7575  df-fin 7578

This theorem is referenced by:  isacs5lem  16403  acsmapd  16412  acsmap2d  16413