MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifpw Structured version   Unicode version

Theorem unifpw 7880
Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unifpw  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  =  A

Proof of Theorem unifpw
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3682 . . . . . 6  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
21unissi 4239 . . . . 5  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
U. ~P A
3 unipw 4668 . . . . 5  |-  U. ~P A  =  A
42, 3sseqtri 3496 . . . 4  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  C_  A
54sseli 3460 . . 3  |-  ( a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  e.  A )
6 snelpwi 4663 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  ~P A
)
7 snfi 7654 . . . . . . 7  |-  { a }  e.  Fin
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  Fin )
96, 8elind 3650 . . . . 5  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
10 elssuni 4245 . . . . 5  |-  ( { a }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  { a } 
C_  U. ( ~P A  i^i  Fin ) )
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  C_  U. ( ~P A  i^i  Fin )
)
12 snidg 4022 . . . 4  |-  ( a  e.  A  ->  a  e.  { a } )
1311, 12sseldd 3465 . . 3  |-  ( a  e.  A  ->  a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin ) )
145, 13impbii 190 . 2  |-  ( a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin )  <->  a  e.  A )
1514eqriv 2418 1  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  =  A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1868    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996   U.cuni 4216   Fincfn 7574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-om 6704  df-1o 7187  df-en 7575  df-fin 7578
This theorem is referenced by:  isacs5lem  16403  acsmapd  16412  acsmap2d  16413
  Copyright terms: Public domain W3C validator