MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifpw Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem unifpw 7902
Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unifpw  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  =  A

Proof of Theorem unifpw
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3663 . . . . . 6  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
21unissi 4234 . . . . 5  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
U. ~P A
3 unipw 4663 . . . . 5  |-  U. ~P A  =  A
42, 3sseqtri 3475 . . . 4  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  C_  A
54sseli 3439 . . 3  |-  ( a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin )  ->  a  e.  A )
6 snelpwi 4658 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  ~P A
)
7 snfi 7675 . . . . . . 7  |-  { a }  e.  Fin
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  Fin )
96, 8elind 3629 . . . . 5  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
10 elssuni 4240 . . . . 5  |-  ( { a }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  { a } 
C_  U. ( ~P A  i^i  Fin ) )
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( a  e.  A  ->  { a }  C_  U. ( ~P A  i^i  Fin )
)
12 snidg 4005 . . . 4  |-  ( a  e.  A  ->  a  e.  { a } )
1311, 12sseldd 3444 . . 3  |-  ( a  e.  A  ->  a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin ) )
145, 13impbii 192 . 2  |-  ( a  e.  U. ( ~P A  i^i  Fin )  <->  a  e.  A )
1514eqriv 2458 1  |-  U. ( ~P A  i^i  Fin )  =  A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1454    e. wcel 1897    i^i cin 3414    C_ wss 3415   ~Pcpw 3962   {csn 3979   U.cuni 4211   Fincfn 7594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-om 6719  df-1o 7207  df-en 7595  df-fin 7598
This theorem is referenced by:  isacs5lem  16463  acsmapd  16472  acsmap2d  16473
  Copyright terms: Public domain W3C validator