Theorem uniex2 2925

Description: The Axiom of Union using the standard abbreviation for union. Given any set x, its union y exists.

Assertion

Ref	Expression
uniex2	|- E.y y = U.x

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem uniex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axun 2923	. . . 4 |- E.yA.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y)
2		eluni 2560	. . . . . . 7 |- (z e. U.x <-> E.y(z e. y /\ y e. x))
3	2	imbi1i 193	. . . . . 6 |- ((z e. U.x -> z e. y) <-> (E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
4	3	albii 1040	. . . . 5 |- (A.z(z e. U.x -> z e. y) <-> A.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
5	4	exbii 1092	. . . 4 |- (E.yA.z(z e. U.x -> z e. y) <-> E.yA.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
6	1, 5	mpbir 197	. . 3 |- E.yA.z(z e. U.x -> z e. y)
7	6	bm1.3ii 2761	. 2 |- E.yA.z(z e. y <-> z e. U.x)
8		dfcleq 1516	. . 3 |- (y = U.x <-> A.z(z e. y <-> z e. U.x))
9	8	exbii 1092	. 2 |- (E.y y = U.x <-> E.yA.z(z e. y <-> z e. U.x))
10	7, 9	mpbir 197	1 |- E.y y = U.x

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   /\ wa 230  A.wal 995   = wceq 997   e. wcel 999  E.wex 1021  U.cuni 2557

This theorem is referenced by:  uniex 2926

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-v 1859  df-uni 2558

Copyright terms: Public domain