Theorem unierri 27436

Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates) F, G by other unitary transformations S, T, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
unierr.1	|- F e. UniOp
unierr.2	|- G e. UniOp
unierr.3	|- S e. UniOp
unierr.4	|- T e. UniOp

Assertion

Ref	Expression
unierri	|- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) )

Proof of Theorem unierri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unierr.1	. . . . . . . 8 |- F e. UniOp
2		unopbd 27347	. . . . . . . 8 |- ( F e. UniOp -> F e. BndLinOp )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- F e. BndLinOp
4		bdopf 27194	. . . . . . 7 |- ( F e. BndLinOp -> F : ~H --> ~H )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- F : ~H --> ~H
6		unierr.2	. . . . . . . 8 |- G e. UniOp
7		unopbd 27347	. . . . . . . 8 |- ( G e. UniOp -> G e. BndLinOp )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- G e. BndLinOp
9		bdopf 27194	. . . . . . 7 |- ( G e. BndLinOp -> G : ~H --> ~H )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- G : ~H --> ~H
11	5, 10	hocofi 27098	. . . . 5 |- ( F o. G ) : ~H --> ~H
12		unierr.3	. . . . . . . 8 |- S e. UniOp
13		unopbd 27347	. . . . . . . 8 |- ( S e. UniOp -> S e. BndLinOp )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- S e. BndLinOp
15		bdopf 27194	. . . . . . 7 |- ( S e. BndLinOp -> S : ~H --> ~H )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- S : ~H --> ~H
17		unierr.4	. . . . . . . 8 |- T e. UniOp
18		unopbd 27347	. . . . . . . 8 |- ( T e. UniOp -> T e. BndLinOp )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- T e. BndLinOp
20		bdopf 27194	. . . . . . 7 |- ( T e. BndLinOp -> T : ~H --> ~H )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 |- T : ~H --> ~H
22	16, 21	hocofi 27098	. . . . 5 |- ( S o. T ) : ~H --> ~H
23	11, 22	hosubcli 27101	. . . 4 |- ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) : ~H --> ~H
24		nmop0h 27323	. . . 4 |- ( ( ~H = 0H /\ ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) : ~H --> ~H ) -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) = 0 )
25	23, 24	mpan2 669	. . 3 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) = 0 )
26		0le0 10666	. . . . 5 |- 0 <_ 0
27		00id 9789	. . . . 5 |- ( 0 + 0 ) = 0
28	26, 27	breqtrri 4420	. . . 4 |- 0 <_ ( 0 + 0 )
29	5, 16	hosubcli 27101	. . . . . 6 |- ( F -op S ) : ~H --> ~H
30		nmop0h 27323	. . . . . 6 |- ( ( ~H = 0H /\ ( F -op S ) : ~H --> ~H ) -> ( normop ` ( F -op S ) ) = 0 )
31	29, 30	mpan2 669	. . . . 5 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( F -op S ) ) = 0 )
32	10, 21	hosubcli 27101	. . . . . 6 |- ( G -op T ) : ~H --> ~H
33		nmop0h 27323	. . . . . 6 |- ( ( ~H = 0H /\ ( G -op T ) : ~H --> ~H ) -> ( normop ` ( G -op T ) ) = 0 )
34	32, 33	mpan2 669	. . . . 5 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( G -op T ) ) = 0 )
35	31, 34	oveq12d 6296	. . . 4 |- ( ~H = 0H -> ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( 0 + 0 ) )
36	28, 35	syl5breqr 4431	. . 3 |- ( ~H = 0H -> 0 <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
37	25, 36	eqbrtrd 4415	. 2 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
38	16, 10	hocofi 27098	. . . . . 6 |- ( S o. G ) : ~H --> ~H
39	11, 38, 22	honpncani 27159	. . . . 5 |- ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) = ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) )
40	39	fveq2i 5852	. . . 4 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) = ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) )
41	3, 8	bdopcoi 27430	. . . . . . 7 |- ( F o. G ) e. BndLinOp
42	14, 8	bdopcoi 27430	. . . . . . 7 |- ( S o. G ) e. BndLinOp
43	41, 42	bdophdi 27429	. . . . . 6 |- ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) e. BndLinOp
44	14, 19	bdopcoi 27430	. . . . . . 7 |- ( S o. T ) e. BndLinOp
45	42, 44	bdophdi 27429	. . . . . 6 |- ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) e. BndLinOp
46	43, 45	nmoptrii 27426	. . . . 5 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) )
47	5, 16, 10	hocsubdiri 27112	. . . . . . . 8 |- ( ( F -op S ) o. G ) = ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) )
48	47	fveq2i 5852	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( F -op S ) o. G ) ) = ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) )
49	3, 14	bdophdi 27429	. . . . . . . 8 |- ( F -op S ) e. BndLinOp
50	49, 8	nmopcoi 27427	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( F -op S ) o. G ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) )
51	48, 50	eqbrtrri 4416	. . . . . 6 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) )
52		bdopln 27193	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. BndLinOp -> S e. LinOp )
53	14, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- S e. LinOp
54	53, 10, 21	hoddii 27321	. . . . . . . 8 |- ( S o. ( G -op T ) ) = ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) )
55	54	fveq2i 5852	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( S o. ( G -op T ) ) ) = ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) )
56	8, 19	bdophdi 27429	. . . . . . . 8 |- ( G -op T ) e. BndLinOp
57	14, 56	nmopcoi 27427	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( S o. ( G -op T ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) )
58	55, 57	eqbrtrri 4416	. . . . . 6 |- ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) )
59		nmopre 27202	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) e. RR )
60	43, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) e. RR
61		nmopre 27202	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. RR )
62	45, 61	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. RR
63		nmopre 27202	. . . . . . . . 9 |- ( ( F -op S ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( F -op S ) ) e. RR )
64	49, 63	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` ( F -op S ) ) e. RR
65		nmopre 27202	. . . . . . . . 9 |- ( G e. BndLinOp -> ( normop ` G ) e. RR )
66	8, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` G ) e. RR
67	64, 66	remulcli 9640	. . . . . . 7 |- ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) e. RR
68		nmopre 27202	. . . . . . . . 9 |- ( S e. BndLinOp -> ( normop ` S ) e. RR )
69	14, 68	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` S ) e. RR
70		nmopre 27202	. . . . . . . . 9 |- ( ( G -op T ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( G -op T ) ) e. RR )
71	56, 70	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` ( G -op T ) ) e. RR
72	69, 71	remulcli 9640	. . . . . . 7 |- ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) e. RR
73	60, 62, 67, 72	le2addi 10156	. . . . . 6 |- ( ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) /\ ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) -> ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) )
74	51, 58, 73	mp2an 670	. . . . 5 |- ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
75	43, 45	bdophsi 27428	. . . . . . 7 |- ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. BndLinOp
76		nmopre 27202	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) e. RR )
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) e. RR
78	60, 62	readdcli 9639	. . . . . 6 |- ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) e. RR
79	67, 72	readdcli 9639	. . . . . 6 |- ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) e. RR
80	77, 78, 79	letri 9745	. . . . 5 |- ( ( ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) /\ ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) ) -> ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) )
81	46, 74, 80	mp2an 670	. . . 4 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
82	40, 81	eqbrtrri 4416	. . 3 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
83		nmopun 27346	. . . . . . 7 |- ( ( ~H =/= 0H /\ G e. UniOp ) -> ( normop ` G ) = 1 )
84	6, 83	mpan2 669	. . . . . 6 |- ( ~H =/= 0H -> ( normop ` G ) = 1 )
85	84	oveq2d 6294	. . . . 5 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) = ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. 1 ) )
86	64	recni 9638	. . . . . 6 |- ( normop ` ( F -op S ) ) e. CC
87	86	mulid1i 9628	. . . . 5 |- ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. 1 ) = ( normop ` ( F -op S ) )
88	85, 87	syl6eq 2459	. . . 4 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) = ( normop ` ( F -op S ) ) )
89		nmopun 27346	. . . . . . 7 |- ( ( ~H =/= 0H /\ S e. UniOp ) -> ( normop ` S ) = 1 )
90	12, 89	mpan2 669	. . . . . 6 |- ( ~H =/= 0H -> ( normop ` S ) = 1 )
91	90	oveq1d 6293	. . . . 5 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( 1 x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
92	71	recni 9638	. . . . . 6 |- ( normop ` ( G -op T ) ) e. CC
93	92	mulid2i 9629	. . . . 5 |- ( 1 x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( normop ` ( G -op T ) )
94	91, 93	syl6eq 2459	. . . 4 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( normop ` ( G -op T ) ) )
95	88, 94	oveq12d 6296	. . 3 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) = ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
96	82, 95	syl5breq 4430	. 2 |- ( ~H =/= 0H -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
97	37, 96	pm2.61ine 2716	1 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) )

Syntax hints:   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   class class class wbr 4395   o. ccom 4827   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   + caddc 9525   x. cmul 9527   <_ cle 9659   ~Hchil 26250   0Hc0h 26266   +op chos 26269   -op chod 26271   normopcnop 26276   LinOpclo 26278   BndLinOpcbo 26279   UniOpcuo 26280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cc 8847  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602  ax-hilex 26330  ax-hfvadd 26331  ax-hvcom 26332  ax-hvass 26333  ax-hv0cl 26334  ax-hvaddid 26335  ax-hfvmul 26336  ax-hvmulid 26337  ax-hvmulass 26338  ax-hvdistr1 26339  ax-hvdistr2 26340  ax-hvmul0 26341  ax-hfi 26410  ax-his1 26413  ax-his2 26414  ax-his3 26415  ax-his4 26416  ax-hcompl 26533

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-acn 8355  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-lm 20023  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cfil 21986  df-cau 21987  df-cmet 21988  df-grpo 25607  df-gid 25608  df-ginv 25609  df-gdiv 25610  df-ablo 25698  df-subgo 25718  df-vc 25853  df-nv 25899  df-va 25902  df-ba 25903  df-sm 25904  df-0v 25905  df-vs 25906  df-nmcv 25907  df-ims 25908  df-dip 26025  df-ssp 26049  df-lno 26073  df-nmoo 26074  df-0o 26076  df-ph 26142  df-cbn 26193  df-hnorm 26299  df-hba 26300  df-hvsub 26302  df-hlim 26303  df-hcau 26304  df-sh 26538  df-ch 26553  df-oc 26584  df-ch0 26585  df-shs 26640  df-pjh 26727  df-hosum 27062  df-homul 27063  df-hodif 27064  df-h0op 27080  df-nmop 27171  df-lnop 27173  df-bdop 27174  df-unop 27175  df-hmop 27176

This theorem is referenced by: (None)