Theorem unierri 11674

Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates) F, G by other unitary transformations S, T, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195.

Hypotheses

Ref	Expression
unierr.1	|- F e. UniOp
unierr.2	|- G e. UniOp
unierr.3	|- S e. UniOp
unierr.4	|- T e. UniOp

Assertion

Ref	Expression
unierri	|- (normop` ((F o. G) -op (S o. T))) <_ ((normop` (F -op S)) + (normop` (G -op T)))

Proof of Theorem unierri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unierr.1	. . . . . . . 8 |- F e. UniOp
2		unopbd 11577	. . . . . . . 8 |- (F e. UniOp -> F e. BndLinOp)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- F e. BndLinOp
4		bdopf 11426	. . . . . . 7 |- (F e. BndLinOp -> F:~H-->~H)
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . 6 |- F:~H-->~H
6		unierr.2	. . . . . . . 8 |- G e. UniOp
7		unopbd 11577	. . . . . . . 8 |- (G e. UniOp -> G e. BndLinOp)
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- G e. BndLinOp
9		bdopf 11426	. . . . . . 7 |- (G e. BndLinOp -> G:~H-->~H)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . 6 |- G:~H-->~H
11	5, 10	hocofi 11329	. . . . 5 |- (F o. G):~H-->~H
12		unierr.3	. . . . . . . 8 |- S e. UniOp
13		unopbd 11577	. . . . . . . 8 |- (S e. UniOp -> S e. BndLinOp)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- S e. BndLinOp
15		bdopf 11426	. . . . . . 7 |- (S e. BndLinOp -> S:~H-->~H)
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . 6 |- S:~H-->~H
17		unierr.4	. . . . . . . 8 |- T e. UniOp
18		unopbd 11577	. . . . . . . 8 |- (T e. UniOp -> T e. BndLinOp)
19	17, 18	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- T e. BndLinOp
20		bdopf 11426	. . . . . . 7 |- (T e. BndLinOp -> T:~H-->~H)
21	19, 20	ax-mp 7	. . . . . 6 |- T:~H-->~H
22	16, 21	hocofi 11329	. . . . 5 |- (S o. T):~H-->~H
23	11, 22	hosubcli 11332	. . . 4 |- ((F o. G) -op (S o. T)):~H-->~H
24		nmop0h 11553	. . . 4 |- ((~H = 0H /\ ((F o. G) -op (S o. T)):~H-->~H) -> (normop` ((F o. G) -op (S o. T))) = 0)
25	23, 24	mpan2 760	. . 3 |- (~H = 0H -> (normop` ((F o. G) -op (S o. T))) = 0)
26	5, 16	hosubcli 11332	. . . . . 6 |- (F -op S):~H-->~H
27		nmop0h 11553	. . . . . 6 |- ((~H = 0H /\ (F -op S):~H-->~H) -> (normop` (F -op S)) = 0)
28	26, 27	mpan2 760	. . . . 5 |- (~H = 0H -> (normop` (F -op S)) = 0)
29	10, 21	hosubcli 11332	. . . . . 6 |- (G -op T):~H-->~H
30		nmop0h 11553	. . . . . 6 |- ((~H = 0H /\ (G -op T):~H-->~H) -> (normop` (G -op T)) = 0)
31	29, 30	mpan2 760	. . . . 5 |- (~H = 0H -> (normop` (G -op T)) = 0)
32	28, 31	opreq12d 4900	. . . 4 |- (~H = 0H -> ((normop` (F -op S)) + (normop` (G -op T))) = (0 + 0))
33		0re 6603	. . . . . 6 |- 0 e. RR
34	33	leidi 6790	. . . . 5 |- 0 <_ 0
35		0cn 6481	. . . . . 6 |- 0 e. CC
36	35	addid1i 6483	. . . . 5 |- (0 + 0) = 0
37	34, 36	breqtrri 3362	. . . 4 |- 0 <_ (0 + 0)
38	32, 37	syl5breqr 3373	. . 3 |- (~H = 0H -> 0 <_ ((normop` (F -op S)) + (normop` (G -op T))))
39	25, 38	eqbrtrd 3357	. 2 |- (~H = 0H -> (normop` ((F o. G) -op (S o. T))) <_ ((normop` (F -op S)) + (normop` (G -op T))))
40		nmopun 11576	. . . . . . 7 |- ((~H =/= 0H /\ G e. UniOp) -> (normop` G) = 1)
41	6, 40	mpan2 760	. . . . . 6 |- (~H =/= 0H -> (normop` G) = 1)
42	41	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (~H =/= 0H -> ((normop` (F -op S)) x. (normop` G)) = ((normop` (F -op S)) x. 1))
43	3, 14	bdophdi 11667	. . . . . . . 8 |- (F -op S) e. BndLinOp
44		nmopre 11434	. . . . . . . 8 |- ((F -op S) e. BndLinOp -> (normop` (F -op S)) e. RR)
45	43, 44	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (normop` (F -op S)) e. RR
46	45	recni 6467	. . . . . 6 |- (normop` (F -op S)) e. CC
47	46	mulid1i 6485	. . . . 5 |- ((normop` (F -op S)) x. 1) = (normop` (F -op S))
48	42, 47	syl6eq 1944	. . . 4 |- (~H =/= 0H -> ((normop` (F -op S)) x. (normop` G)) = (normop` (F -op S)))
49		nmopun 11576	. . . . . . 7 |- ((~H =/= 0H /\ S e. UniOp) -> (normop` S) = 1)
50	12, 49	mpan2 760	. . . . . 6 |- (~H =/= 0H -> (normop` S) = 1)
51	50	opreq1d 4897	. . . . 5 |- (~H =/= 0H -> ((normop` S) x. (normop` (G -op T))) = (1 x. (normop` (G -op T))))
52	8, 19	bdophdi 11667	. . . . . . . 8 |- (G -op T) e. BndLinOp
53		nmopre 11434	. . . . . . . 8 |- ((G -op T) e. BndLinOp -> (normop` (G -op T)) e. RR)
54	52, 53	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (normop` (G -op T)) e. RR
55	54	recni 6467	. . . . . 6 |- (normop` (G -op T)) e. CC
56	55	mulid2i 6486	. . . . 5 |- (1 x. (normop` (G -op T))) = (normop` (G -op T))
57	51, 56	syl6eq 1944	. . . 4 |- (~H =/= 0H -> ((normop` S) x. (normop` (G -op T))) = (normop` (G -op T)))
58	48, 57	opreq12d 4900	. . 3 |- (~H =/= 0H -> (((normop` (F -op S)) x. (normop` G)) + ((normop` S) x. (normop` (G -op T)))) = ((normop` (F -op S)) + (normop` (G -op T))))
59	16, 10	hocofi 11329	. . . . . 6 |- (S o. G):~H-->~H
60	11, 59, 22	honpncani 11390	. . . . 5 |- (((F o. G) -op (S o. G)) +op ((S o. G) -op (S o. T))) = ((F o. G) -op (S o. T))
61	60	fveq2i 4684	. . . 4 |- (normop` (((F o. G) -op (S o. G)) +op ((S o. G) -op (S o. T)))) = (normop` ((F o. G) -op (S o. T)))
62	3, 8	bdopcoi 11668	. . . . . . 7 |- (F o. G) e. BndLinOp
63	14, 8	bdopcoi 11668	. . . . . . 7 |- (S o. G) e. BndLinOp
64	62, 63	bdophdi 11667	. . . . . 6 |- ((F o. G) -op (S o. G)) e. BndLinOp
65	14, 19	bdopcoi 11668	. . . . . . 7 |- (S o. T) e. BndLinOp
66	63, 65	bdophdi 11667	. . . . . 6 |- ((S o. G) -op (S o. T)) e. BndLinOp
67	64, 66	nmoptrii 11664	. . . . 5 |- (normop` (((F o. G) -op (S o. G)) +op ((S o. G) -op (S o. T)))) <_ ((normop` ((F o. G) -op (S o. G))) + (normop` ((S o. G) -op (S o. T))))
68	5, 16, 10	hocsubdiri 11343	. . . . . . . 8 |- ((F -op S) o. G) = ((F o. G) -op (S o. G))
69	68	fveq2i 4684	. . . . . . 7 |- (normop` ((F -op S) o. G)) = (normop` ((F o. G) -op (S o. G)))
70	43, 8	nmopcoi 11665	. . . . . . 7 |- (normop` ((F -op S) o. G)) <_ ((normop` (F -op S)) x. (normop` G))
71	69, 70	eqbrtrri 3358	. . . . . 6 |- (normop` ((F o. G) -op (S o. G))) <_ ((normop` (F -op S)) x. (normop` G))
72		bdopln 11425	. . . . . . . . . 10 |- (S e. BndLinOp -> S e. LinOp)
73	14, 72	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- S e. LinOp
74	73, 10, 21	hoddii 11551	. . . . . . . 8 |- (S o. (G -op T)) = ((S o. G) -op (S o. T))
75	74	fveq2i 4684	. . . . . . 7 |- (normop` (S o. (G -op T))) = (normop` ((S o. G) -op (S o. T)))
76	14, 52	nmopcoi 11665	. . . . . . 7 |- (normop` (S o. (G -op T))) <_ ((normop` S) x. (normop` (G -op T)))
77	75, 76	eqbrtrri 3358	. . . . . 6 |- (normop` ((S o. G) -op (S o. T))) <_ ((normop` S) x. (normop` (G -op T)))
78		nmopre 11434	. . . . . . . 8 |- (((F o. G) -op (S o. G)) e. BndLinOp -> (normop` ((F o. G) -op (S o. G))) e. RR)
79	64, 78	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (normop` ((F o. G) -op (S o. G))) e. RR
80		nmopre 11434	. . . . . . . 8 |- (((S o. G) -op (S o. T)) e. BndLinOp -> (normop` ((S o. G) -op (S o. T))) e. RR)
81	66, 80	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (normop` ((S o. G) -op (S o. T))) e. RR
82		nmopre 11434	. . . . . . . . 9 |- (G e. BndLinOp -> (normop` G) e. RR)
83	8, 82	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (normop` G) e. RR
84	45, 83	remulcli 6488	. . . . . . 7 |- ((normop` (F -op S)) x. (normop` G)) e. RR
85		nmopre 11434	. . . . . . . . 9 |- (S e. BndLinOp -> (normop` S) e. RR)
86	14, 85	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (normop` S) e. RR
87	86, 54	remulcli 6488	. . . . . . 7 |- ((normop` S) x. (normop` (G -op T))) e. RR
88	79, 81, 84, 87	le2addi 6774	. . . . . 6 |- (((normop` ((F o. G) -op (S o. G))) <_ ((normop` (F -op S)) x. (normop` G)) /\ (normop` ((S o. G) -op (S o. T))) <_ ((normop` S) x. (normop` (G -op T)))) -> ((normop` ((F o. G) -op (S o. G))) + (normop` ((S o. G) -op (S o. T)))) <_ (((normop` (F -op S)) x. (normop` G)) + ((normop` S) x. (normop` (G -op T)))))
89	71, 77, 88	mp2an 761	. . . . 5 |- ((normop` ((F o. G) -op (S o. G))) + (normop` ((S o. G) -op (S o. T)))) <_ (((normop` (F -op S)) x. (normop` G)) + ((normop` S) x. (normop` (G -op T))))
90	64, 66	bdophsi 11666	. . . . . . 7 |- (((F o. G) -op (S o. G)) +op ((S o. G) -op (S o. T))) e. BndLinOp
91		nmopre 11434	. . . . . . 7 |- ((((F o. G) -op (S o. G)) +op ((S o. G) -op (S o. T))) e. BndLinOp -> (normop` (((F o. G) -op (S o. G)) +op ((S o. G) -op (S o. T)))) e. RR)
92	90, 91	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (normop` (((F o. G) -op (S o. G)) +op ((S o. G) -op (S o. T)))) e. RR
93	79, 81	readdcli 6487	. . . . . 6 |- ((normop` ((F o. G) -op (S o. G))) + (normop` ((S o. G) -op (S o. T)))) e. RR
94	84, 87	readdcli 6487	. . . . . 6 |- (((normop` (F -op S)) x. (normop` G)) + ((normop` S) x. (normop` (G -op T)))) e. RR
95	92, 93, 94	letri 6763	. . . . 5 |- (((normop` (((F o. G) -op (S o. G)) +op ((S o. G) -op (S o. T)))) <_ ((normop` ((F o. G) -op (S o. G))) + (normop` ((S o. G) -op (S o. T)))) /\ ((normop` ((F o. G) -op (S o. G))) + (normop` ((S o. G) -op (S o. T)))) <_ (((normop` (F -op S)) x. (normop` G)) + ((normop` S) x. (normop` (G -op T))))) -> (normop` (((F o. G) -op (S o. G)) +op ((S o. G) -op (S o. T)))) <_ (((normop` (F -op S)) x. (normop` G)) + ((normop` S) x. (normop` (G -op T)))))
96	67, 89, 95	mp2an 761	. . . 4 |- (normop` (((F o. G) -op (S o. G)) +op ((S o. G) -op (S o. T)))) <_ (((normop` (F -op S)) x. (normop` G)) + ((normop` S) x. (normop` (G -op T))))
97	61, 96	eqbrtrri 3358	. . 3 |- (normop` ((F o. G) -op (S o. T))) <_ (((normop` (F -op S)) x. (normop` G)) + ((normop` S) x. (normop` (G -op T))))
98	58, 97	syl5breq 3372	. 2 |- (~H =/= 0H -> (normop` ((F o. G) -op (S o. T))) <_ ((normop` (F -op S)) + (normop` (G -op T))))
99	39, 98	pm2.61ine 2089	1 |- (normop` ((F o. G) -op (S o. T))) <_ ((normop` (F -op S)) + (normop` (G -op T)))

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338   o. ccom 3990  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   <_ cle 6448  ~Hchil 10420  0Hc0h 10436   +op chos 10439   -op chod 10441  norm_opcnop 10446  LinOpclo 10448  BndLinOpcbo 10449  UniOpcuo 10450

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-lno 9744  df-nmo 9745  df-0o 9747  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-hosum 11139  df-homul 11140  df-hodif 11141  df-h0op 11311  df-nmop 11402  df-lnop 11404  df-bdop 11405  df-unop 11406  df-hmop 11407

Copyright terms: Public domain