Theorem unierri 26699

Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates) F, G by other unitary transformations S, T, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
unierr.1	|- F e. UniOp
unierr.2	|- G e. UniOp
unierr.3	|- S e. UniOp
unierr.4	|- T e. UniOp

Assertion

Ref	Expression
unierri	|- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) )

Proof of Theorem unierri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unierr.1	. . . . . . . 8 |- F e. UniOp
2		unopbd 26610	. . . . . . . 8 |- ( F e. UniOp -> F e. BndLinOp )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- F e. BndLinOp
4		bdopf 26457	. . . . . . 7 |- ( F e. BndLinOp -> F : ~H --> ~H )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- F : ~H --> ~H
6		unierr.2	. . . . . . . 8 |- G e. UniOp
7		unopbd 26610	. . . . . . . 8 |- ( G e. UniOp -> G e. BndLinOp )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- G e. BndLinOp
9		bdopf 26457	. . . . . . 7 |- ( G e. BndLinOp -> G : ~H --> ~H )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- G : ~H --> ~H
11	5, 10	hocofi 26361	. . . . 5 |- ( F o. G ) : ~H --> ~H
12		unierr.3	. . . . . . . 8 |- S e. UniOp
13		unopbd 26610	. . . . . . . 8 |- ( S e. UniOp -> S e. BndLinOp )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- S e. BndLinOp
15		bdopf 26457	. . . . . . 7 |- ( S e. BndLinOp -> S : ~H --> ~H )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- S : ~H --> ~H
17		unierr.4	. . . . . . . 8 |- T e. UniOp
18		unopbd 26610	. . . . . . . 8 |- ( T e. UniOp -> T e. BndLinOp )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- T e. BndLinOp
20		bdopf 26457	. . . . . . 7 |- ( T e. BndLinOp -> T : ~H --> ~H )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 |- T : ~H --> ~H
22	16, 21	hocofi 26361	. . . . 5 |- ( S o. T ) : ~H --> ~H
23	11, 22	hosubcli 26364	. . . 4 |- ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) : ~H --> ~H
24		nmop0h 26586	. . . 4 |- ( ( ~H = 0H /\ ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) : ~H --> ~H ) -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) = 0 )
25	23, 24	mpan2 671	. . 3 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) = 0 )
26		0le0 10621	. . . . 5 |- 0 <_ 0
27		00id 9750	. . . . 5 |- ( 0 + 0 ) = 0
28	26, 27	breqtrri 4472	. . . 4 |- 0 <_ ( 0 + 0 )
29	5, 16	hosubcli 26364	. . . . . 6 |- ( F -op S ) : ~H --> ~H
30		nmop0h 26586	. . . . . 6 |- ( ( ~H = 0H /\ ( F -op S ) : ~H --> ~H ) -> ( normop ` ( F -op S ) ) = 0 )
31	29, 30	mpan2 671	. . . . 5 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( F -op S ) ) = 0 )
32	10, 21	hosubcli 26364	. . . . . 6 |- ( G -op T ) : ~H --> ~H
33		nmop0h 26586	. . . . . 6 |- ( ( ~H = 0H /\ ( G -op T ) : ~H --> ~H ) -> ( normop ` ( G -op T ) ) = 0 )
34	32, 33	mpan2 671	. . . . 5 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( G -op T ) ) = 0 )
35	31, 34	oveq12d 6300	. . . 4 |- ( ~H = 0H -> ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( 0 + 0 ) )
36	28, 35	syl5breqr 4483	. . 3 |- ( ~H = 0H -> 0 <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
37	25, 36	eqbrtrd 4467	. 2 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
38	16, 10	hocofi 26361	. . . . . 6 |- ( S o. G ) : ~H --> ~H
39	11, 38, 22	honpncani 26422	. . . . 5 |- ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) = ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) )
40	39	fveq2i 5867	. . . 4 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) = ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) )
41	3, 8	bdopcoi 26693	. . . . . . 7 |- ( F o. G ) e. BndLinOp
42	14, 8	bdopcoi 26693	. . . . . . 7 |- ( S o. G ) e. BndLinOp
43	41, 42	bdophdi 26692	. . . . . 6 |- ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) e. BndLinOp
44	14, 19	bdopcoi 26693	. . . . . . 7 |- ( S o. T ) e. BndLinOp
45	42, 44	bdophdi 26692	. . . . . 6 |- ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) e. BndLinOp
46	43, 45	nmoptrii 26689	. . . . 5 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) )
47	5, 16, 10	hocsubdiri 26375	. . . . . . . 8 |- ( ( F -op S ) o. G ) = ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) )
48	47	fveq2i 5867	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( F -op S ) o. G ) ) = ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) )
49	3, 14	bdophdi 26692	. . . . . . . 8 |- ( F -op S ) e. BndLinOp
50	49, 8	nmopcoi 26690	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( F -op S ) o. G ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) )
51	48, 50	eqbrtrri 4468	. . . . . 6 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) )
52		bdopln 26456	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. BndLinOp -> S e. LinOp )
53	14, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- S e. LinOp
54	53, 10, 21	hoddii 26584	. . . . . . . 8 |- ( S o. ( G -op T ) ) = ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) )
55	54	fveq2i 5867	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( S o. ( G -op T ) ) ) = ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) )
56	8, 19	bdophdi 26692	. . . . . . . 8 |- ( G -op T ) e. BndLinOp
57	14, 56	nmopcoi 26690	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( S o. ( G -op T ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) )
58	55, 57	eqbrtrri 4468	. . . . . 6 |- ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) )
59		nmopre 26465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) e. RR )
60	43, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) e. RR
61		nmopre 26465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. RR )
62	45, 61	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. RR
63		nmopre 26465	. . . . . . . . 9 |- ( ( F -op S ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( F -op S ) ) e. RR )
64	49, 63	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` ( F -op S ) ) e. RR
65		nmopre 26465	. . . . . . . . 9 |- ( G e. BndLinOp -> ( normop ` G ) e. RR )
66	8, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` G ) e. RR
67	64, 66	remulcli 9606	. . . . . . 7 |- ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) e. RR
68		nmopre 26465	. . . . . . . . 9 |- ( S e. BndLinOp -> ( normop ` S ) e. RR )
69	14, 68	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` S ) e. RR
70		nmopre 26465	. . . . . . . . 9 |- ( ( G -op T ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( G -op T ) ) e. RR )
71	56, 70	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` ( G -op T ) ) e. RR
72	69, 71	remulcli 9606	. . . . . . 7 |- ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) e. RR
73	60, 62, 67, 72	le2addi 10112	. . . . . 6 |- ( ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) /\ ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) -> ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) )
74	51, 58, 73	mp2an 672	. . . . 5 |- ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
75	43, 45	bdophsi 26691	. . . . . . 7 |- ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. BndLinOp
76		nmopre 26465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) e. RR )
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) e. RR
78	60, 62	readdcli 9605	. . . . . 6 |- ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) e. RR
79	67, 72	readdcli 9605	. . . . . 6 |- ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) e. RR
80	77, 78, 79	letri 9709	. . . . 5 |- ( ( ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) /\ ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) ) -> ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) )
81	46, 74, 80	mp2an 672	. . . 4 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
82	40, 81	eqbrtrri 4468	. . 3 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
83		nmopun 26609	. . . . . . 7 |- ( ( ~H =/= 0H /\ G e. UniOp ) -> ( normop ` G ) = 1 )
84	6, 83	mpan2 671	. . . . . 6 |- ( ~H =/= 0H -> ( normop ` G ) = 1 )
85	84	oveq2d 6298	. . . . 5 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) = ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. 1 ) )
86	64	recni 9604	. . . . . 6 |- ( normop ` ( F -op S ) ) e. CC
87	86	mulid1i 9594	. . . . 5 |- ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. 1 ) = ( normop ` ( F -op S ) )
88	85, 87	syl6eq 2524	. . . 4 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) = ( normop ` ( F -op S ) ) )
89		nmopun 26609	. . . . . . 7 |- ( ( ~H =/= 0H /\ S e. UniOp ) -> ( normop ` S ) = 1 )
90	12, 89	mpan2 671	. . . . . 6 |- ( ~H =/= 0H -> ( normop ` S ) = 1 )
91	90	oveq1d 6297	. . . . 5 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( 1 x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
92	71	recni 9604	. . . . . 6 |- ( normop ` ( G -op T ) ) e. CC
93	92	mulid2i 9595	. . . . 5 |- ( 1 x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( normop ` ( G -op T ) )
94	91, 93	syl6eq 2524	. . . 4 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( normop ` ( G -op T ) ) )
95	88, 94	oveq12d 6300	. . 3 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) = ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
96	82, 95	syl5breq 4482	. 2 |- ( ~H =/= 0H -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
97	37, 96	pm2.61ine 2780	1 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) )

Syntax hints:   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   class class class wbr 4447   o. ccom 5003   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   <_ cle 9625   ~Hchil 25512   0Hc0h 25528   +op chos 25531   -op chod 25533   normopcnop 25538   LinOpclo 25540   BndLinOpcbo 25541   UniOpcuo 25542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568  ax-hilex 25592  ax-hfvadd 25593  ax-hvcom 25594  ax-hvass 25595  ax-hv0cl 25596  ax-hvaddid 25597  ax-hfvmul 25598  ax-hvmulid 25599  ax-hvmulass 25600  ax-hvdistr1 25601  ax-hvdistr2 25602  ax-hvmul0 25603  ax-hfi 25672  ax-his1 25675  ax-his2 25676  ax-his3 25677  ax-his4 25678  ax-hcompl 25795

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-lm 19496  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cfil 21429  df-cau 21430  df-cmet 21431  df-grpo 24869  df-gid 24870  df-ginv 24871  df-gdiv 24872  df-ablo 24960  df-subgo 24980  df-vc 25115  df-nv 25161  df-va 25164  df-ba 25165  df-sm 25166  df-0v 25167  df-vs 25168  df-nmcv 25169  df-ims 25170  df-dip 25287  df-ssp 25311  df-lno 25335  df-nmoo 25336  df-0o 25338  df-ph 25404  df-cbn 25455  df-hnorm 25561  df-hba 25562  df-hvsub 25564  df-hlim 25565  df-hcau 25566  df-sh 25800  df-ch 25815  df-oc 25846  df-ch0 25847  df-shs 25902  df-pjh 25989  df-hosum 26325  df-homul 26326  df-hodif 26327  df-h0op 26343  df-nmop 26434  df-lnop 26436  df-bdop 26437  df-unop 26438  df-hmop 26439

This theorem is referenced by: (None)