Theorem unierri 27813

Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates) F, G by other unitary transformations S, T, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
unierr.1	|- F e. UniOp
unierr.2	|- G e. UniOp
unierr.3	|- S e. UniOp
unierr.4	|- T e. UniOp

Assertion

Ref	Expression
unierri	|- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) )

Proof of Theorem unierri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unierr.1	. . . . . . . 8 |- F e. UniOp
2		unopbd 27724	. . . . . . . 8 |- ( F e. UniOp -> F e. BndLinOp )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- F e. BndLinOp
4		bdopf 27571	. . . . . . 7 |- ( F e. BndLinOp -> F : ~H --> ~H )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- F : ~H --> ~H
6		unierr.2	. . . . . . . 8 |- G e. UniOp
7		unopbd 27724	. . . . . . . 8 |- ( G e. UniOp -> G e. BndLinOp )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- G e. BndLinOp
9		bdopf 27571	. . . . . . 7 |- ( G e. BndLinOp -> G : ~H --> ~H )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- G : ~H --> ~H
11	5, 10	hocofi 27475	. . . . 5 |- ( F o. G ) : ~H --> ~H
12		unierr.3	. . . . . . . 8 |- S e. UniOp
13		unopbd 27724	. . . . . . . 8 |- ( S e. UniOp -> S e. BndLinOp )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- S e. BndLinOp
15		bdopf 27571	. . . . . . 7 |- ( S e. BndLinOp -> S : ~H --> ~H )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- S : ~H --> ~H
17		unierr.4	. . . . . . . 8 |- T e. UniOp
18		unopbd 27724	. . . . . . . 8 |- ( T e. UniOp -> T e. BndLinOp )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- T e. BndLinOp
20		bdopf 27571	. . . . . . 7 |- ( T e. BndLinOp -> T : ~H --> ~H )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 |- T : ~H --> ~H
22	16, 21	hocofi 27475	. . . . 5 |- ( S o. T ) : ~H --> ~H
23	11, 22	hosubcli 27478	. . . 4 |- ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) : ~H --> ~H
24		nmop0h 27700	. . . 4 |- ( ( ~H = 0H /\ ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) : ~H --> ~H ) -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) = 0 )
25	23, 24	mpan2 682	. . 3 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) = 0 )
26		0le0 10732	. . . . 5 |- 0 <_ 0
27		00id 9839	. . . . 5 |- ( 0 + 0 ) = 0
28	26, 27	breqtrri 4444	. . . 4 |- 0 <_ ( 0 + 0 )
29	5, 16	hosubcli 27478	. . . . . 6 |- ( F -op S ) : ~H --> ~H
30		nmop0h 27700	. . . . . 6 |- ( ( ~H = 0H /\ ( F -op S ) : ~H --> ~H ) -> ( normop ` ( F -op S ) ) = 0 )
31	29, 30	mpan2 682	. . . . 5 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( F -op S ) ) = 0 )
32	10, 21	hosubcli 27478	. . . . . 6 |- ( G -op T ) : ~H --> ~H
33		nmop0h 27700	. . . . . 6 |- ( ( ~H = 0H /\ ( G -op T ) : ~H --> ~H ) -> ( normop ` ( G -op T ) ) = 0 )
34	32, 33	mpan2 682	. . . . 5 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( G -op T ) ) = 0 )
35	31, 34	oveq12d 6338	. . . 4 |- ( ~H = 0H -> ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( 0 + 0 ) )
36	28, 35	syl5breqr 4455	. . 3 |- ( ~H = 0H -> 0 <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
37	25, 36	eqbrtrd 4439	. 2 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
38	16, 10	hocofi 27475	. . . . . 6 |- ( S o. G ) : ~H --> ~H
39	11, 38, 22	honpncani 27536	. . . . 5 |- ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) = ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) )
40	39	fveq2i 5895	. . . 4 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) = ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) )
41	3, 8	bdopcoi 27807	. . . . . . 7 |- ( F o. G ) e. BndLinOp
42	14, 8	bdopcoi 27807	. . . . . . 7 |- ( S o. G ) e. BndLinOp
43	41, 42	bdophdi 27806	. . . . . 6 |- ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) e. BndLinOp
44	14, 19	bdopcoi 27807	. . . . . . 7 |- ( S o. T ) e. BndLinOp
45	42, 44	bdophdi 27806	. . . . . 6 |- ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) e. BndLinOp
46	43, 45	nmoptrii 27803	. . . . 5 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) )
47	5, 16, 10	hocsubdiri 27489	. . . . . . . 8 |- ( ( F -op S ) o. G ) = ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) )
48	47	fveq2i 5895	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( F -op S ) o. G ) ) = ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) )
49	3, 14	bdophdi 27806	. . . . . . . 8 |- ( F -op S ) e. BndLinOp
50	49, 8	nmopcoi 27804	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( F -op S ) o. G ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) )
51	48, 50	eqbrtrri 4440	. . . . . 6 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) )
52		bdopln 27570	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. BndLinOp -> S e. LinOp )
53	14, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- S e. LinOp
54	53, 10, 21	hoddii 27698	. . . . . . . 8 |- ( S o. ( G -op T ) ) = ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) )
55	54	fveq2i 5895	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( S o. ( G -op T ) ) ) = ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) )
56	8, 19	bdophdi 27806	. . . . . . . 8 |- ( G -op T ) e. BndLinOp
57	14, 56	nmopcoi 27804	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( S o. ( G -op T ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) )
58	55, 57	eqbrtrri 4440	. . . . . 6 |- ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) )
59		nmopre 27579	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) e. RR )
60	43, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) e. RR
61		nmopre 27579	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. RR )
62	45, 61	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. RR
63		nmopre 27579	. . . . . . . . 9 |- ( ( F -op S ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( F -op S ) ) e. RR )
64	49, 63	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` ( F -op S ) ) e. RR
65		nmopre 27579	. . . . . . . . 9 |- ( G e. BndLinOp -> ( normop ` G ) e. RR )
66	8, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` G ) e. RR
67	64, 66	remulcli 9688	. . . . . . 7 |- ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) e. RR
68		nmopre 27579	. . . . . . . . 9 |- ( S e. BndLinOp -> ( normop ` S ) e. RR )
69	14, 68	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` S ) e. RR
70		nmopre 27579	. . . . . . . . 9 |- ( ( G -op T ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( G -op T ) ) e. RR )
71	56, 70	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` ( G -op T ) ) e. RR
72	69, 71	remulcli 9688	. . . . . . 7 |- ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) e. RR
73	60, 62, 67, 72	le2addi 10210	. . . . . 6 |- ( ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) /\ ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) -> ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) )
74	51, 58, 73	mp2an 683	. . . . 5 |- ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
75	43, 45	bdophsi 27805	. . . . . . 7 |- ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. BndLinOp
76		nmopre 27579	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) e. RR )
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) e. RR
78	60, 62	readdcli 9687	. . . . . 6 |- ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) e. RR
79	67, 72	readdcli 9687	. . . . . 6 |- ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) e. RR
80	77, 78, 79	letri 9794	. . . . 5 |- ( ( ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) /\ ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) ) -> ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) )
81	46, 74, 80	mp2an 683	. . . 4 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
82	40, 81	eqbrtrri 4440	. . 3 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
83		nmopun 27723	. . . . . . 7 |- ( ( ~H =/= 0H /\ G e. UniOp ) -> ( normop ` G ) = 1 )
84	6, 83	mpan2 682	. . . . . 6 |- ( ~H =/= 0H -> ( normop ` G ) = 1 )
85	84	oveq2d 6336	. . . . 5 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) = ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. 1 ) )
86	64	recni 9686	. . . . . 6 |- ( normop ` ( F -op S ) ) e. CC
87	86	mulid1i 9676	. . . . 5 |- ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. 1 ) = ( normop ` ( F -op S ) )
88	85, 87	syl6eq 2512	. . . 4 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) = ( normop ` ( F -op S ) ) )
89		nmopun 27723	. . . . . . 7 |- ( ( ~H =/= 0H /\ S e. UniOp ) -> ( normop ` S ) = 1 )
90	12, 89	mpan2 682	. . . . . 6 |- ( ~H =/= 0H -> ( normop ` S ) = 1 )
91	90	oveq1d 6335	. . . . 5 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( 1 x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
92	71	recni 9686	. . . . . 6 |- ( normop ` ( G -op T ) ) e. CC
93	92	mulid2i 9677	. . . . 5 |- ( 1 x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( normop ` ( G -op T ) )
94	91, 93	syl6eq 2512	. . . 4 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( normop ` ( G -op T ) ) )
95	88, 94	oveq12d 6338	. . 3 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) = ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
96	82, 95	syl5breq 4454	. 2 |- ( ~H =/= 0H -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
97	37, 96	pm2.61ine 2719	1 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) )

Syntax hints:   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   class class class wbr 4418   o. ccom 4860   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   RRcr 9569   0cc0 9570   1c1 9571   + caddc 9573   x. cmul 9575   <_ cle 9707   ~Hchil 26628   0Hc0h 26644   +op chos 26647   -op chod 26649   normopcnop 26654   LinOpclo 26656   BndLinOpcbo 26657   UniOpcuo 26658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cc 8896  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648  ax-addf 9649  ax-mulf 9650  ax-hilex 26708  ax-hfvadd 26709  ax-hvcom 26710  ax-hvass 26711  ax-hv0cl 26712  ax-hvaddid 26713  ax-hfvmul 26714  ax-hvmulid 26715  ax-hvmulass 26716  ax-hvdistr1 26717  ax-hvdistr2 26718  ax-hvmul0 26719  ax-hfi 26788  ax-his1 26791  ax-his2 26792  ax-his3 26793  ax-his4 26794  ax-hcompl 26911

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-supp 6947  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-omul 7218  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-ixp 7554  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fsupp 7915  df-fi 7956  df-sup 7987  df-inf 7988  df-oi 8056  df-card 8404  df-acn 8407  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-xneg 11443  df-xadd 11444  df-xmul 11445  df-ioo 11673  df-ico 11675  df-icc 11676  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-fl 12066  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-clim 13607  df-rlim 13608  df-sum 13808  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-ip 15263  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-hom 15269  df-cco 15270  df-rest 15376  df-topn 15377  df-0g 15395  df-gsum 15396  df-topgen 15397  df-pt 15398  df-prds 15401  df-xrs 15455  df-qtop 15461  df-imas 15462  df-xps 15465  df-mre 15547  df-mrc 15548  df-acs 15550  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-submnd 16638  df-mulg 16731  df-cntz 17026  df-cmn 17487  df-psmet 19017  df-xmet 19018  df-met 19019  df-bl 19020  df-mopn 19021  df-fbas 19022  df-fg 19023  df-cnfld 19026  df-top 19976  df-bases 19977  df-topon 19978  df-topsp 19979  df-cld 20089  df-ntr 20090  df-cls 20091  df-nei 20169  df-cn 20298  df-cnp 20299  df-lm 20300  df-haus 20386  df-tx 20632  df-hmeo 20825  df-fil 20916  df-fm 21008  df-flim 21009  df-flf 21010  df-xms 21390  df-ms 21391  df-tms 21392  df-cfil 22280  df-cau 22281  df-cmet 22282  df-grpo 25975  df-gid 25976  df-ginv 25977  df-gdiv 25978  df-ablo 26066  df-subgo 26086  df-vc 26221  df-nv 26267  df-va 26270  df-ba 26271  df-sm 26272  df-0v 26273  df-vs 26274  df-nmcv 26275  df-ims 26276  df-dip 26393  df-ssp 26417  df-lno 26441  df-nmoo 26442  df-0o 26444  df-ph 26510  df-cbn 26561  df-hnorm 26677  df-hba 26678  df-hvsub 26680  df-hlim 26681  df-hcau 26682  df-sh 26916  df-ch 26930  df-oc 26961  df-ch0 26962  df-shs 27017  df-pjh 27104  df-hosum 27439  df-homul 27440  df-hodif 27441  df-h0op 27457  df-nmop 27548  df-lnop 27550  df-bdop 27551  df-unop 27552  df-hmop 27553

This theorem is referenced by: (None)