Theorem unierri 25523

Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates) F, G by other unitary transformations S, T, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
unierr.1	|- F e. UniOp
unierr.2	|- G e. UniOp
unierr.3	|- S e. UniOp
unierr.4	|- T e. UniOp

Assertion

Ref	Expression
unierri	|- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) )

Proof of Theorem unierri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unierr.1	. . . . . . . 8 |- F e. UniOp
2		unopbd 25434	. . . . . . . 8 |- ( F e. UniOp -> F e. BndLinOp )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- F e. BndLinOp
4		bdopf 25281	. . . . . . 7 |- ( F e. BndLinOp -> F : ~H --> ~H )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- F : ~H --> ~H
6		unierr.2	. . . . . . . 8 |- G e. UniOp
7		unopbd 25434	. . . . . . . 8 |- ( G e. UniOp -> G e. BndLinOp )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- G e. BndLinOp
9		bdopf 25281	. . . . . . 7 |- ( G e. BndLinOp -> G : ~H --> ~H )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- G : ~H --> ~H
11	5, 10	hocofi 25185	. . . . 5 |- ( F o. G ) : ~H --> ~H
12		unierr.3	. . . . . . . 8 |- S e. UniOp
13		unopbd 25434	. . . . . . . 8 |- ( S e. UniOp -> S e. BndLinOp )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- S e. BndLinOp
15		bdopf 25281	. . . . . . 7 |- ( S e. BndLinOp -> S : ~H --> ~H )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- S : ~H --> ~H
17		unierr.4	. . . . . . . 8 |- T e. UniOp
18		unopbd 25434	. . . . . . . 8 |- ( T e. UniOp -> T e. BndLinOp )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- T e. BndLinOp
20		bdopf 25281	. . . . . . 7 |- ( T e. BndLinOp -> T : ~H --> ~H )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 |- T : ~H --> ~H
22	16, 21	hocofi 25185	. . . . 5 |- ( S o. T ) : ~H --> ~H
23	11, 22	hosubcli 25188	. . . 4 |- ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) : ~H --> ~H
24		nmop0h 25410	. . . 4 |- ( ( ~H = 0H /\ ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) : ~H --> ~H ) -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) = 0 )
25	23, 24	mpan2 671	. . 3 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) = 0 )
26		0le0 10426	. . . . 5 |- 0 <_ 0
27		00id 9559	. . . . 5 |- ( 0 + 0 ) = 0
28	26, 27	breqtrri 4332	. . . 4 |- 0 <_ ( 0 + 0 )
29	5, 16	hosubcli 25188	. . . . . 6 |- ( F -op S ) : ~H --> ~H
30		nmop0h 25410	. . . . . 6 |- ( ( ~H = 0H /\ ( F -op S ) : ~H --> ~H ) -> ( normop ` ( F -op S ) ) = 0 )
31	29, 30	mpan2 671	. . . . 5 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( F -op S ) ) = 0 )
32	10, 21	hosubcli 25188	. . . . . 6 |- ( G -op T ) : ~H --> ~H
33		nmop0h 25410	. . . . . 6 |- ( ( ~H = 0H /\ ( G -op T ) : ~H --> ~H ) -> ( normop ` ( G -op T ) ) = 0 )
34	32, 33	mpan2 671	. . . . 5 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( G -op T ) ) = 0 )
35	31, 34	oveq12d 6124	. . . 4 |- ( ~H = 0H -> ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( 0 + 0 ) )
36	28, 35	syl5breqr 4343	. . 3 |- ( ~H = 0H -> 0 <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
37	25, 36	eqbrtrd 4327	. 2 |- ( ~H = 0H -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
38	16, 10	hocofi 25185	. . . . . 6 |- ( S o. G ) : ~H --> ~H
39	11, 38, 22	honpncani 25246	. . . . 5 |- ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) = ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) )
40	39	fveq2i 5709	. . . 4 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) = ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) )
41	3, 8	bdopcoi 25517	. . . . . . 7 |- ( F o. G ) e. BndLinOp
42	14, 8	bdopcoi 25517	. . . . . . 7 |- ( S o. G ) e. BndLinOp
43	41, 42	bdophdi 25516	. . . . . 6 |- ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) e. BndLinOp
44	14, 19	bdopcoi 25517	. . . . . . 7 |- ( S o. T ) e. BndLinOp
45	42, 44	bdophdi 25516	. . . . . 6 |- ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) e. BndLinOp
46	43, 45	nmoptrii 25513	. . . . 5 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) )
47	5, 16, 10	hocsubdiri 25199	. . . . . . . 8 |- ( ( F -op S ) o. G ) = ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) )
48	47	fveq2i 5709	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( F -op S ) o. G ) ) = ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) )
49	3, 14	bdophdi 25516	. . . . . . . 8 |- ( F -op S ) e. BndLinOp
50	49, 8	nmopcoi 25514	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( F -op S ) o. G ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) )
51	48, 50	eqbrtrri 4328	. . . . . 6 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) )
52		bdopln 25280	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. BndLinOp -> S e. LinOp )
53	14, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- S e. LinOp
54	53, 10, 21	hoddii 25408	. . . . . . . 8 |- ( S o. ( G -op T ) ) = ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) )
55	54	fveq2i 5709	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( S o. ( G -op T ) ) ) = ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) )
56	8, 19	bdophdi 25516	. . . . . . . 8 |- ( G -op T ) e. BndLinOp
57	14, 56	nmopcoi 25514	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( S o. ( G -op T ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) )
58	55, 57	eqbrtrri 4328	. . . . . 6 |- ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) )
59		nmopre 25289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) e. RR )
60	43, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) e. RR
61		nmopre 25289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. RR )
62	45, 61	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. RR
63		nmopre 25289	. . . . . . . . 9 |- ( ( F -op S ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( F -op S ) ) e. RR )
64	49, 63	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` ( F -op S ) ) e. RR
65		nmopre 25289	. . . . . . . . 9 |- ( G e. BndLinOp -> ( normop ` G ) e. RR )
66	8, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` G ) e. RR
67	64, 66	remulcli 9415	. . . . . . 7 |- ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) e. RR
68		nmopre 25289	. . . . . . . . 9 |- ( S e. BndLinOp -> ( normop ` S ) e. RR )
69	14, 68	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` S ) e. RR
70		nmopre 25289	. . . . . . . . 9 |- ( ( G -op T ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( G -op T ) ) e. RR )
71	56, 70	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` ( G -op T ) ) e. RR
72	69, 71	remulcli 9415	. . . . . . 7 |- ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) e. RR
73	60, 62, 67, 72	le2addi 9918	. . . . . 6 |- ( ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) /\ ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) -> ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) )
74	51, 58, 73	mp2an 672	. . . . 5 |- ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
75	43, 45	bdophsi 25515	. . . . . . 7 |- ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. BndLinOp
76		nmopre 25289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) e. BndLinOp -> ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) e. RR )
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) e. RR
78	60, 62	readdcli 9414	. . . . . 6 |- ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) e. RR
79	67, 72	readdcli 9414	. . . . . 6 |- ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) e. RR
80	77, 78, 79	letri 9518	. . . . 5 |- ( ( ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) /\ ( ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) ) + ( normop ` ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) ) -> ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) )
81	46, 74, 80	mp2an 672	. . . 4 |- ( normop ` ( ( ( F o. G ) -op ( S o. G ) ) +op ( ( S o. G ) -op ( S o. T ) ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
82	40, 81	eqbrtrri 4328	. . 3 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
83		nmopun 25433	. . . . . . 7 |- ( ( ~H =/= 0H /\ G e. UniOp ) -> ( normop ` G ) = 1 )
84	6, 83	mpan2 671	. . . . . 6 |- ( ~H =/= 0H -> ( normop ` G ) = 1 )
85	84	oveq2d 6122	. . . . 5 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) = ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. 1 ) )
86	64	recni 9413	. . . . . 6 |- ( normop ` ( F -op S ) ) e. CC
87	86	mulid1i 9403	. . . . 5 |- ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. 1 ) = ( normop ` ( F -op S ) )
88	85, 87	syl6eq 2491	. . . 4 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) = ( normop ` ( F -op S ) ) )
89		nmopun 25433	. . . . . . 7 |- ( ( ~H =/= 0H /\ S e. UniOp ) -> ( normop ` S ) = 1 )
90	12, 89	mpan2 671	. . . . . 6 |- ( ~H =/= 0H -> ( normop ` S ) = 1 )
91	90	oveq1d 6121	. . . . 5 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( 1 x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
92	71	recni 9413	. . . . . 6 |- ( normop ` ( G -op T ) ) e. CC
93	92	mulid2i 9404	. . . . 5 |- ( 1 x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( normop ` ( G -op T ) )
94	91, 93	syl6eq 2491	. . . 4 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) = ( normop ` ( G -op T ) ) )
95	88, 94	oveq12d 6124	. . 3 |- ( ~H =/= 0H -> ( ( ( normop ` ( F -op S ) ) x. ( normop ` G ) ) + ( ( normop ` S ) x. ( normop ` ( G -op T ) ) ) ) = ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
96	82, 95	syl5breq 4342	. 2 |- ( ~H =/= 0H -> ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) ) )
97	37, 96	pm2.61ine 2702	1 |- ( normop ` ( ( F o. G ) -op ( S o. T ) ) ) <_ ( ( normop ` ( F -op S ) ) + ( normop ` ( G -op T ) ) )

Syntax hints:   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2620   class class class wbr 4307   o. ccom 4859   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   RRcr 9296   0cc0 9297   1c1 9298   + caddc 9300   x. cmul 9302   <_ cle 9434   ~Hchil 24336   0Hc0h 24352   +op chos 24355   -op chod 24357   normopcnop 24362   LinOpclo 24364   BndLinOpcbo 24365   UniOpcuo 24366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cc 8619  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375  ax-addf 9376  ax-mulf 9377  ax-hilex 24416  ax-hfvadd 24417  ax-hvcom 24418  ax-hvass 24419  ax-hv0cl 24420  ax-hvaddid 24421  ax-hfvmul 24422  ax-hvmulid 24423  ax-hvmulass 24424  ax-hvdistr1 24425  ax-hvdistr2 24426  ax-hvmul0 24427  ax-hfi 24496  ax-his1 24499  ax-his2 24500  ax-his3 24501  ax-his4 24502  ax-hcompl 24619

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-omul 6940  df-er 7116  df-map 7231  df-pm 7232  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fsupp 7636  df-fi 7676  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-acn 8127  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-ioo 11319  df-ico 11321  df-icc 11322  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-seq 11822  df-exp 11881  df-hash 12119  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-clim 12981  df-rlim 12982  df-sum 13179  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-starv 14268  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-unif 14276  df-hom 14277  df-cco 14278  df-rest 14376  df-topn 14377  df-0g 14395  df-gsum 14396  df-topgen 14397  df-pt 14398  df-prds 14401  df-xrs 14455  df-qtop 14460  df-imas 14461  df-xps 14463  df-mre 14539  df-mrc 14540  df-acs 14542  df-mnd 15430  df-submnd 15480  df-mulg 15563  df-cntz 15850  df-cmn 16294  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-met 17826  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-fbas 17829  df-fg 17830  df-cnfld 17834  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-topsp 18522  df-cld 18638  df-ntr 18639  df-cls 18640  df-nei 18717  df-cn 18846  df-cnp 18847  df-lm 18848  df-haus 18934  df-tx 19150  df-hmeo 19343  df-fil 19434  df-fm 19526  df-flim 19527  df-flf 19528  df-xms 19910  df-ms 19911  df-tms 19912  df-cfil 20781  df-cau 20782  df-cmet 20783  df-grpo 23693  df-gid 23694  df-ginv 23695  df-gdiv 23696  df-ablo 23784  df-subgo 23804  df-vc 23939  df-nv 23985  df-va 23988  df-ba 23989  df-sm 23990  df-0v 23991  df-vs 23992  df-nmcv 23993  df-ims 23994  df-dip 24111  df-ssp 24135  df-lno 24159  df-nmoo 24160  df-0o 24162  df-ph 24228  df-cbn 24279  df-hnorm 24385  df-hba 24386  df-hvsub 24388  df-hlim 24389  df-hcau 24390  df-sh 24624  df-ch 24639  df-oc 24670  df-ch0 24671  df-shs 24726  df-pjh 24813  df-hosum 25149  df-homul 25150  df-hodif 25151  df-h0op 25167  df-nmop 25258  df-lnop 25260  df-bdop 25261  df-unop 25262  df-hmop 25263

This theorem is referenced by: (None)