Theorem unielrel 4418

Description: The membership relation for a relation is inherited by class union.

Assertion

Ref	Expression
unielrel	|- ((Rel R /\ A e. R) -> U.A e. U.R)

Proof of Theorem unielrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrel 4086	. 2 |- ((Rel R /\ A e. R) -> E.xE.y A = <.x, y>.)
2		simpr 350	. 2 |- ((Rel R /\ A e. R) -> A e. R)
3		uniopel 3556	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. R -> U.<.x, y>. e. U.R)
4	3	a1i 8	. . . 4 |- (A = <.x, y>. -> (<.x, y>. e. R -> U.<.x, y>. e. U.R))
5		eleq1 1957	. . . 4 |- (A = <.x, y>. -> (A e. R <-> <.x, y>. e. R))
6		unieq 3185	. . . . 5 |- (A = <.x, y>. -> U.A = U.<.x, y>.)
7	6	eleq1d 1963	. . . 4 |- (A = <.x, y>. -> (U.A e. U.R <-> U.<.x, y>. e. U.R))
8	4, 5, 7	3imtr4d 602	. . 3 |- (A = <.x, y>. -> (A e. R -> U.A e. U.R))
9	8	19.23aivv 1675	. 2 |- (E.xE.y A = <.x, y>. -> (A e. R -> U.A e. U.R))
10	1, 2, 9	sylc 83	1 |- ((Rel R /\ A e. R) -> U.A e. U.R)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  <.cop 3046  U.cuni 3177  Rel wrel 3991

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001

Copyright terms: Public domain