MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unidom Structured version   Unicode version

Theorem unidom 8952
Description: An upper bound for the cardinality of a union. Theorem 10.47 of [TakeutiZaring] p. 98. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
unidom  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  B )  ->  U. A  ~<_  ( A  X.  B
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem unidom
StepHypRef Expression
1 uniiun 4326 . 2  |-  U. A  =  U_ x  e.  A  x
2 iundom 8951 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  x  ~<_  ( A  X.  B ) )
31, 2syl5eqbr 4430 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  B )  ->  U. A  ~<_  ( A  X.  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1844   A.wral 2756   U.cuni 4193   U_ciun 4273   class class class wbr 4397    X. cxp 4823    ~<_ cdom 7554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-ac2 8877
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-card 8354  df-acn 8357  df-ac 8531
This theorem is referenced by:  uniimadom  8953  unirnfdomd  8976
  Copyright terms: Public domain W3C validator