MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unidom Structured version   Unicode version

Theorem unidom 8907
Description: An upper bound for the cardinality of a union. Theorem 10.47 of [TakeutiZaring] p. 98. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
unidom  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  B )  ->  U. A  ~<_  ( A  X.  B
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem unidom
StepHypRef Expression
1 uniiun 4371 . 2  |-  U. A  =  U_ x  e.  A  x
2 iundom 8906 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  x  ~<_  ( A  X.  B ) )
31, 2syl5eqbr 4473 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  B )  ->  U. A  ~<_  ( A  X.  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762   A.wral 2807   U.cuni 4238   U_ciun 4318   class class class wbr 4440    X. cxp 4990    ~<_ cdom 7504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-ac2 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-card 8309  df-acn 8312  df-ac 8486
This theorem is referenced by:  uniimadom  8908  unirnfdomd  8931
  Copyright terms: Public domain W3C validator