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Theorem unidif0 4576
Description: The removal of the empty set from a class does not affect its union. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
unidif0  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. A

Proof of Theorem unidif0
StepHypRef Expression
1 uniun 4221 . . . 4  |-  U. (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  =  ( U. ( A  \  { (/) } )  u. 
U. { (/) } )
2 undif1 3865 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( A  u.  { (/) } )
3 uncom 3611 . . . . . 6  |-  ( A  u.  { (/) } )  =  ( { (/) }  u.  A )
42, 3eqtr2i 2484 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  u.  A
)  =  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )
54unieqi 4211 . . . 4  |-  U. ( { (/) }  u.  A
)  =  U. (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )
6 0ex 4533 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
76unisn 4217 . . . . . 6  |-  U. { (/)
}  =  (/)
87uneq2i 3618 . . . . 5  |-  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  U. { (/)
} )  =  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  (/) )
9 un0 3773 . . . . 5  |-  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  (/) )  = 
U. ( A  \  { (/) } )
108, 9eqtr2i 2484 . . . 4  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  U. { (/) } )
111, 5, 103eqtr4ri 2494 . . 3  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. ( {
(/) }  u.  A
)
12 uniun 4221 . . 3  |-  U. ( { (/) }  u.  A
)  =  ( U. { (/) }  u.  U. A )
137uneq1i 3617 . . 3  |-  ( U. { (/) }  u.  U. A )  =  (
(/)  u.  U. A )
1411, 12, 133eqtri 2487 . 2  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  ( (/)  u.  U. A )
15 uncom 3611 . 2  |-  ( (/)  u. 
U. A )  =  ( U. A  u.  (/) )
16 un0 3773 . 2  |-  ( U. A  u.  (/) )  = 
U. A
1714, 15, 163eqtri 2487 1  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    \ cdif 3436    u. cun 3437   (/)c0 3748   {csn 3988   U.cuni 4202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-nul 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-sn 3989  df-pr 3991  df-uni 4203
This theorem is referenced by:  infeq5i  7957  zornn0g  8789  basdif0  18700  tgdif0  18739  stoweidlem57  30023
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