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Theorem unidif0 4625
Description: The removal of the empty set from a class does not affect its union. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
unidif0  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. A

Proof of Theorem unidif0
StepHypRef Expression
1 uniun 4269 . . . 4  |-  U. (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  =  ( U. ( A  \  { (/) } )  u. 
U. { (/) } )
2 undif1 3907 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( A  u.  { (/) } )
3 uncom 3653 . . . . . 6  |-  ( A  u.  { (/) } )  =  ( { (/) }  u.  A )
42, 3eqtr2i 2497 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  u.  A
)  =  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )
54unieqi 4259 . . . 4  |-  U. ( { (/) }  u.  A
)  =  U. (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )
6 0ex 4582 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
76unisn 4265 . . . . . 6  |-  U. { (/)
}  =  (/)
87uneq2i 3660 . . . . 5  |-  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  U. { (/)
} )  =  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  (/) )
9 un0 3815 . . . . 5  |-  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  (/) )  = 
U. ( A  \  { (/) } )
108, 9eqtr2i 2497 . . . 4  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  U. { (/) } )
111, 5, 103eqtr4ri 2507 . . 3  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. ( {
(/) }  u.  A
)
12 uniun 4269 . . 3  |-  U. ( { (/) }  u.  A
)  =  ( U. { (/) }  u.  U. A )
137uneq1i 3659 . . 3  |-  ( U. { (/) }  u.  U. A )  =  (
(/)  u.  U. A )
1411, 12, 133eqtri 2500 . 2  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  ( (/)  u.  U. A )
15 uncom 3653 . 2  |-  ( (/)  u. 
U. A )  =  ( U. A  u.  (/) )
16 un0 3815 . 2  |-  ( U. A  u.  (/) )  = 
U. A
1714, 15, 163eqtri 2500 1  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    \ cdif 3478    u. cun 3479   (/)c0 3790   {csn 4032   U.cuni 4250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-sn 4033  df-pr 4035  df-uni 4251
This theorem is referenced by:  infeq5i  8063  zornn0g  8895  basdif0  19300  tgdif0  19339  stoweidlem57  31648
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