MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unidif0 Structured version   Unicode version

Theorem unidif0 4606
Description: The removal of the empty set from a class does not affect its union. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
unidif0  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. A

Proof of Theorem unidif0
StepHypRef Expression
1 uniun 4249 . . . 4  |-  U. (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  =  ( U. ( A  \  { (/) } )  u. 
U. { (/) } )
2 undif1 3885 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( A  u.  { (/) } )
3 uncom 3630 . . . . . 6  |-  ( A  u.  { (/) } )  =  ( { (/) }  u.  A )
42, 3eqtr2i 2471 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  u.  A
)  =  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )
54unieqi 4239 . . . 4  |-  U. ( { (/) }  u.  A
)  =  U. (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )
6 0ex 4563 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
76unisn 4245 . . . . . 6  |-  U. { (/)
}  =  (/)
87uneq2i 3637 . . . . 5  |-  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  U. { (/)
} )  =  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  (/) )
9 un0 3792 . . . . 5  |-  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  (/) )  = 
U. ( A  \  { (/) } )
108, 9eqtr2i 2471 . . . 4  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  U. { (/) } )
111, 5, 103eqtr4ri 2481 . . 3  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. ( {
(/) }  u.  A
)
12 uniun 4249 . . 3  |-  U. ( { (/) }  u.  A
)  =  ( U. { (/) }  u.  U. A )
137uneq1i 3636 . . 3  |-  ( U. { (/) }  u.  U. A )  =  (
(/)  u.  U. A )
1411, 12, 133eqtri 2474 . 2  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  ( (/)  u.  U. A )
15 uncom 3630 . 2  |-  ( (/)  u. 
U. A )  =  ( U. A  u.  (/) )
16 un0 3792 . 2  |-  ( U. A  u.  (/) )  = 
U. A
1714, 15, 163eqtri 2474 1  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1381    \ cdif 3455    u. cun 3456   (/)c0 3767   {csn 4010   U.cuni 4230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-nul 4562
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-sn 4011  df-pr 4013  df-uni 4231
This theorem is referenced by:  infeq5i  8051  zornn0g  8883  basdif0  19321  tgdif0  19360  stoweidlem57  31724
  Copyright terms: Public domain W3C validator