MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unidif0 Structured version   Unicode version

Theorem unidif0 4453
Description: The removal of the empty set from a class does not affect its union. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
unidif0  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. A

Proof of Theorem unidif0
StepHypRef Expression
1 uniun 4098 . . . 4  |-  U. (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  =  ( U. ( A  \  { (/) } )  u. 
U. { (/) } )
2 undif1 3742 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( A  u.  { (/) } )
3 uncom 3488 . . . . . 6  |-  ( A  u.  { (/) } )  =  ( { (/) }  u.  A )
42, 3eqtr2i 2454 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  u.  A
)  =  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )
54unieqi 4088 . . . 4  |-  U. ( { (/) }  u.  A
)  =  U. (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )
6 0ex 4410 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
76unisn 4094 . . . . . 6  |-  U. { (/)
}  =  (/)
87uneq2i 3495 . . . . 5  |-  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  U. { (/)
} )  =  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  (/) )
9 un0 3650 . . . . 5  |-  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  (/) )  = 
U. ( A  \  { (/) } )
108, 9eqtr2i 2454 . . . 4  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  ( U. ( A  \  { (/) } )  u.  U. { (/) } )
111, 5, 103eqtr4ri 2464 . . 3  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. ( {
(/) }  u.  A
)
12 uniun 4098 . . 3  |-  U. ( { (/) }  u.  A
)  =  ( U. { (/) }  u.  U. A )
137uneq1i 3494 . . 3  |-  ( U. { (/) }  u.  U. A )  =  (
(/)  u.  U. A )
1411, 12, 133eqtri 2457 . 2  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  ( (/)  u.  U. A )
15 uncom 3488 . 2  |-  ( (/)  u. 
U. A )  =  ( U. A  u.  (/) )
16 un0 3650 . 2  |-  ( U. A  u.  (/) )  = 
U. A
1714, 15, 163eqtri 2457 1  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1362    \ cdif 3313    u. cun 3314   (/)c0 3625   {csn 3865   U.cuni 4079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-nul 4409
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-sn 3866  df-pr 3868  df-uni 4080
This theorem is referenced by:  infeq5i  7830  zornn0g  8662  basdif0  18400  tgdif0  18439  stoweidlem57  29698
  Copyright terms: Public domain W3C validator