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Theorem unichnidl 28999
Description: The union of a nonempty chain of ideals is an ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)
Assertion
Ref Expression
unichnidl  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  U. C  e.  ( Idl `  R ) )
Distinct variable groups:    R, i    C, i, j
Allowed substitution hint:    R( j)

Proof of Theorem unichnidl
Dummy variables  k  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss3 3457 . . . . 5  |-  ( C 
C_  ( Idl `  R
)  <->  A. i  e.  C  i  e.  ( Idl `  R ) )
2 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st `  R )  =  ( 1st `  R )
3 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ran  ( 1st `  R )  =  ran  ( 1st `  R
)
42, 3idlss 28984 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  i  e.  ( Idl `  R
) )  ->  i  C_ 
ran  ( 1st `  R
) )
54ex 434 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( i  e.  ( Idl `  R
)  ->  i  C_  ran  ( 1st `  R
) ) )
65ralimdv 2834 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( A. i  e.  C  i  e.  ( Idl `  R )  ->  A. i  e.  C  i  C_  ran  ( 1st `  R ) ) )
76imp 429 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A. i  e.  C  i  e.  ( Idl `  R
) )  ->  A. i  e.  C  i  C_  ran  ( 1st `  R
) )
81, 7sylan2b 475 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  ->  A. i  e.  C  i  C_  ran  ( 1st `  R
) )
9 unissb 4234 . . . 4  |-  ( U. C  C_  ran  ( 1st `  R )  <->  A. i  e.  C  i  C_  ran  ( 1st `  R
) )
108, 9sylibr 212 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  ->  U. C  C_ 
ran  ( 1st `  R
) )
11103ad2antr2 1154 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  U. C  C_  ran  ( 1st `  R ) )
12 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  (GId `  ( 1st `  R ) )  =  (GId `  ( 1st `  R ) )
132, 12idl0cl 28986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  i  e.  ( Idl `  R
) )  ->  (GId `  ( 1st `  R
) )  e.  i )
1413ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( i  e.  ( Idl `  R
)  ->  (GId `  ( 1st `  R ) )  e.  i ) )
1514ralimdv 2834 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( A. i  e.  C  i  e.  ( Idl `  R )  ->  A. i  e.  C  (GId `  ( 1st `  R
) )  e.  i ) )
1615imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A. i  e.  C  i  e.  ( Idl `  R
) )  ->  A. i  e.  C  (GId `  ( 1st `  R ) )  e.  i )
171, 16sylan2b 475 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  ->  A. i  e.  C  (GId `  ( 1st `  R ) )  e.  i )
18 r19.2z 3880 . . . . . 6  |-  ( ( C  =/=  (/)  /\  A. i  e.  C  (GId `  ( 1st `  R
) )  e.  i )  ->  E. i  e.  C  (GId `  ( 1st `  R ) )  e.  i )
1917, 18sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( C  =/=  (/)  /\  ( R  e.  RingOps  /\  C  C_  ( Idl `  R
) ) )  ->  E. i  e.  C  (GId `  ( 1st `  R
) )  e.  i )
2019an12s 799 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R ) ) )  ->  E. i  e.  C  (GId `  ( 1st `  R ) )  e.  i )
21 eluni2 4206 . . . 4  |-  ( (GId
`  ( 1st `  R
) )  e.  U. C 
<->  E. i  e.  C  (GId `  ( 1st `  R
) )  e.  i )
2220, 21sylibr 212 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R ) ) )  ->  (GId `  ( 1st `  R
) )  e.  U. C )
23223adantr3 1149 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  (GId `  ( 1st `  R ) )  e.  U. C )
24 eluni2 4206 . . . 4  |-  ( x  e.  U. C  <->  E. k  e.  C  x  e.  k )
25 sseq1 3488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  k  ->  (
i  C_  j  <->  k  C_  j ) )
26 sseq2 3489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  k  ->  (
j  C_  i  <->  j  C_  k ) )
2725, 26orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  k  ->  (
( i  C_  j  \/  j  C_  i )  <-> 
( k  C_  j  \/  j  C_  k ) ) )
2827ralbidv 2846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  k  ->  ( A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i )  <->  A. j  e.  C  ( k  C_  j  \/  j  C_  k ) ) )
2928rspcv 3175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  C  ->  ( A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i )  ->  A. j  e.  C  ( k  C_  j  \/  j  C_  k ) ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  C  /\  x  e.  k )  ->  ( A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i )  ->  A. j  e.  C  ( k  C_  j  \/  j  C_  k ) ) )
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k
) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i )  ->  A. j  e.  C  ( k  C_  j  \/  j  C_  k ) ) )
3231imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  (
i  C_  j  \/  j  C_  i ) )  ->  A. j  e.  C  ( k  C_  j  \/  j  C_  k ) )
33 eluni2 4206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  U. C  <->  E. i  e.  C  y  e.  i )
34 sseq2 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  i  ->  (
k  C_  j  <->  k  C_  i ) )
35 sseq1 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  i  ->  (
j  C_  k  <->  i  C_  k ) )
3634, 35orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  i  ->  (
( k  C_  j  \/  j  C_  k )  <-> 
( k  C_  i  \/  i  C_  k ) ) )
3736rspcv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  C  ->  ( A. j  e.  C  ( k  C_  j  \/  j  C_  k )  ->  ( k  C_  i  \/  i  C_  k ) ) )
3837ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  ->  ( A. j  e.  C  (
k  C_  j  \/  j  C_  k )  -> 
( k  C_  i  \/  i  C_  k ) ) )
3938imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  /\  A. j  e.  C  ( k  C_  j  \/  j  C_  k ) )  -> 
( k  C_  i  \/  i  C_  k ) )
40 ssel2 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  C_  i  /\  x  e.  k )  ->  x  e.  i )
4140ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  k  /\  k  C_  i )  ->  x  e.  i )
4241adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  e.  C  /\  x  e.  k
)  /\  k  C_  i )  ->  x  e.  i )
43 ssel2 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  i  e.  C )  ->  i  e.  ( Idl `  R
) )
442idladdcl 28987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  i  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( x  e.  i  /\  y  e.  i
) )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e.  i )
4544ancom2s 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  i  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( y  e.  i  /\  x  e.  i ) )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e.  i )
4645expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  i  e.  ( Idl `  R ) )  /\  y  e.  i )  ->  ( x  e.  i  ->  ( x ( 1st `  R ) y )  e.  i ) )
4746an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  y  e.  i )  /\  i  e.  ( Idl `  R ) )  ->  ( x  e.  i  ->  ( x
( 1st `  R
) y )  e.  i ) )
4843, 47sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  y  e.  i )  /\  ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  i  e.  C )
)  ->  ( x  e.  i  ->  ( x ( 1st `  R
) y )  e.  i ) )
4948an42s 823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  ->  ( x  e.  i  ->  ( x ( 1st `  R
) y )  e.  i ) )
5049anasss 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  C_  ( Idl `  R
)  /\  ( i  e.  C  /\  y  e.  i ) ) )  ->  ( x  e.  i  ->  ( x
( 1st `  R
) y )  e.  i ) )
5150imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
) )  /\  x  e.  i )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e.  i )
52 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  ->  i  e.  C )
5352ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
) )  /\  x  e.  i )  ->  i  e.  C )
54 elunii 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x ( 1st `  R ) y )  e.  i  /\  i  e.  C )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C )
5551, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
) )  /\  x  e.  i )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C )
5642, 55sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
) )  /\  (
( k  e.  C  /\  x  e.  k
)  /\  k  C_  i ) )  -> 
( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
5756expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
) )  /\  (
k  e.  C  /\  x  e.  k )
)  ->  ( k  C_  i  ->  ( x
( 1st `  R
) y )  e. 
U. C ) )
5857an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k
) )  /\  ( C  C_  ( Idl `  R
)  /\  ( i  e.  C  /\  y  e.  i ) ) )  ->  ( k  C_  i  ->  ( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C ) )
5958anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  ->  ( k  C_  i  ->  ( x
( 1st `  R
) y )  e. 
U. C ) )
6059imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  /\  k  C_  i )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C )
61 ssel2 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  C_  k  /\  y  e.  i )  ->  y  e.  k )
6261ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  i  /\  i  C_  k )  -> 
y  e.  k )
6362adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  C  /\  y  e.  i
)  /\  i  C_  k )  ->  y  e.  k )
64 ssel2 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  k  e.  C )  ->  k  e.  ( Idl `  R
) )
652idladdcl 28987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  k  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  k
) )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e.  k )
6665expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  k  e.  ( Idl `  R ) )  /\  x  e.  k )  ->  ( y  e.  k  ->  ( x ( 1st `  R ) y )  e.  k ) )
6766an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  x  e.  k )  /\  k  e.  ( Idl `  R ) )  ->  ( y  e.  k  ->  ( x
( 1st `  R
) y )  e.  k ) )
6864, 67sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  x  e.  k )  /\  ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  k  e.  C )
)  ->  ( y  e.  k  ->  ( x ( 1st `  R
) y )  e.  k ) )
6968an42s 823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
k  e.  C  /\  x  e.  k )
)  ->  ( y  e.  k  ->  ( x ( 1st `  R
) y )  e.  k ) )
7069an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k
) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  ->  (
y  e.  k  -> 
( x ( 1st `  R ) y )  e.  k ) )
7170imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  y  e.  k )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e.  k )
72 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
k  e.  C  /\  x  e.  k )
)  ->  k  e.  C )
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  y  e.  k )  ->  k  e.  C )
74 elunii 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x ( 1st `  R ) y )  e.  k  /\  k  e.  C )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C )
7571, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  y  e.  k )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C )
7663, 75sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
( i  e.  C  /\  y  e.  i
)  /\  i  C_  k ) )  -> 
( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
7776anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  /\  i  C_  k )  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C )
7860, 77jaodan 783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  /\  ( k  C_  i  \/  i  C_  k ) )  -> 
( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
7939, 78syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
i  e.  C  /\  y  e.  i )
)  /\  A. j  e.  C  ( k  C_  j  \/  j  C_  k ) )  -> 
( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
8079an32s 802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  A. j  e.  C  (
k  C_  j  \/  j  C_  k ) )  /\  ( i  e.  C  /\  y  e.  i ) )  -> 
( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
8180rexlimdvaa 2948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  A. j  e.  C  (
k  C_  j  \/  j  C_  k ) )  ->  ( E. i  e.  C  y  e.  i  ->  ( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C ) )
8233, 81syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  A. j  e.  C  (
k  C_  j  \/  j  C_  k ) )  ->  ( y  e. 
U. C  ->  (
x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C ) )
8382ralrimiv 2828 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  A. j  e.  C  (
k  C_  j  \/  j  C_  k ) )  ->  A. y  e.  U. C ( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
8432, 83syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  (
i  C_  j  \/  j  C_  i ) )  ->  A. y  e.  U. C ( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
8584anasss 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k
) )  /\  ( C  C_  ( Idl `  R
)  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  A. y  e.  U. C ( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
86853adantr1 1147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k
) )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  A. y  e.  U. C ( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
8786an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R
)  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  ->  A. y  e.  U. C
( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C )
88 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2nd `  R )  =  ( 2nd `  R )
892, 88, 3idllmulcl 28988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  k  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( x  e.  k  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R ) ) )  ->  (
z ( 2nd `  R
) x )  e.  k )
9089exp43 612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( k  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( x  e.  k  ->  ( z  e.  ran  ( 1st `  R )  ->  (
z ( 2nd `  R
) x )  e.  k ) ) ) )
9190com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( x  e.  k  ->  ( k  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( z  e.  ran  ( 1st `  R
)  ->  ( z
( 2nd `  R
) x )  e.  k ) ) ) )
9291imp41 593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  x  e.  k )  /\  k  e.  ( Idl `  R
) )  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R
) )  ->  (
z ( 2nd `  R
) x )  e.  k )
9364, 92sylanl2 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  x  e.  k )  /\  ( C 
C_  ( Idl `  R
)  /\  k  e.  C ) )  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R ) )  -> 
( z ( 2nd `  R ) x )  e.  k )
94 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  x  e.  k )  /\  ( C 
C_  ( Idl `  R
)  /\  k  e.  C ) )  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R ) )  -> 
k  e.  C )
95 elunii 4207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z ( 2nd `  R ) x )  e.  k  /\  k  e.  C )  ->  (
z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C )
9693, 94, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  x  e.  k )  /\  ( C 
C_  ( Idl `  R
)  /\  k  e.  C ) )  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R ) )  -> 
( z ( 2nd `  R ) x )  e.  U. C )
972, 88, 3idlrmulcl 28989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  k  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( x  e.  k  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R ) ) )  ->  (
x ( 2nd `  R
) z )  e.  k )
9897exp43 612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( k  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( x  e.  k  ->  ( z  e.  ran  ( 1st `  R )  ->  (
x ( 2nd `  R
) z )  e.  k ) ) ) )
9998com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( x  e.  k  ->  ( k  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( z  e.  ran  ( 1st `  R
)  ->  ( x
( 2nd `  R
) z )  e.  k ) ) ) )
10099imp41 593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  x  e.  k )  /\  k  e.  ( Idl `  R
) )  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R
) )  ->  (
x ( 2nd `  R
) z )  e.  k )
10164, 100sylanl2 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  x  e.  k )  /\  ( C 
C_  ( Idl `  R
)  /\  k  e.  C ) )  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R ) )  -> 
( x ( 2nd `  R ) z )  e.  k )
102 elunii 4207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x ( 2nd `  R ) z )  e.  k  /\  k  e.  C )  ->  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C )
103101, 94, 102syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  x  e.  k )  /\  ( C 
C_  ( Idl `  R
)  /\  k  e.  C ) )  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R ) )  -> 
( x ( 2nd `  R ) z )  e.  U. C )
10496, 103jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  x  e.  k )  /\  ( C 
C_  ( Idl `  R
)  /\  k  e.  C ) )  /\  z  e.  ran  ( 1st `  R ) )  -> 
( ( z ( 2nd `  R ) x )  e.  U. C  /\  ( x ( 2nd `  R ) z )  e.  U. C ) )
105104ralrimiva 2830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  x  e.  k )  /\  ( C  C_  ( Idl `  R )  /\  k  e.  C )
)  ->  A. z  e.  ran  ( 1st `  R
) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) )
106105an42s 823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  /\  (
k  e.  C  /\  x  e.  k )
)  ->  A. z  e.  ran  ( 1st `  R
) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) )
107106an32s 802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k
) )  /\  C  C_  ( Idl `  R
) )  ->  A. z  e.  ran  ( 1st `  R
) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) )
1081073ad2antr2 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k
) )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R ) x )  e.  U. C  /\  ( x ( 2nd `  R ) z )  e.  U. C ) )
109108an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R
)  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  ->  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R ) x )  e.  U. C  /\  ( x ( 2nd `  R ) z )  e.  U. C ) )
11087, 109jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R
)  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  /\  ( k  e.  C  /\  x  e.  k ) )  -> 
( A. y  e. 
U. C ( x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C  /\  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) ) )
111110rexlimdvaa 2948 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  ( E. k  e.  C  x  e.  k  ->  ( A. y  e.  U. C ( x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C  /\  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) ) ) )
11224, 111syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  ( x  e. 
U. C  ->  ( A. y  e.  U. C
( x ( 1st `  R ) y )  e.  U. C  /\  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R ) x )  e.  U. C  /\  ( x ( 2nd `  R ) z )  e.  U. C ) ) ) )
113112ralrimiv 2828 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  A. x  e.  U. C ( A. y  e.  U. C ( x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C  /\  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) ) )
1142, 88, 3, 12isidl 28982 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( U. C  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( U. C  C_ 
ran  ( 1st `  R
)  /\  (GId `  ( 1st `  R ) )  e.  U. C  /\  A. x  e.  U. C
( A. y  e. 
U. C ( x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C  /\  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) ) ) ) )
115114adantr 465 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  ( U. C  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( U. C  C_ 
ran  ( 1st `  R
)  /\  (GId `  ( 1st `  R ) )  e.  U. C  /\  A. x  e.  U. C
( A. y  e. 
U. C ( x ( 1st `  R
) y )  e. 
U. C  /\  A. z  e.  ran  ( 1st `  R ) ( ( z ( 2nd `  R
) x )  e. 
U. C  /\  (
x ( 2nd `  R
) z )  e. 
U. C ) ) ) ) )
11611, 23, 113, 115mpbir3and 1171 1  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( C  =/=  (/)  /\  C  C_  ( Idl `  R )  /\  A. i  e.  C  A. j  e.  C  ( i  C_  j  \/  j  C_  i ) ) )  ->  U. C  e.  ( Idl `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800    C_ wss 3439   (/)c0 3748   U.cuni 4202   ran crn 4952   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1stc1st 6688   2ndc2nd 6689  GIdcgi 23846   RingOpscrngo 24034   Idlcidl 28975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537  df-ov 6206  df-idl 28978
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