MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfilem3 Structured version   Unicode version

Theorem unfilem3 7684
Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
unfilem3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  B  ~~  ( ( A  +o  B ) 
\  A ) )

Proof of Theorem unfilem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6202 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  ( A  +o  B )  =  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B
) )
2 id 22 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  A  =  if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) ) )
31, 2difeq12d 3578 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( A  +o  B
)  \  A )  =  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) )
43breq2d 4407 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  ( B  ~~  ( ( A  +o  B )  \  A )  <->  B  ~~  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) ) )
5 id 22 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  B  =  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )
6 oveq2 6203 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  =  ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) )
76difeq1d 3576 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B
)  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )  =  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) )
85, 7breq12d 4408 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  ( B  ~~  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )  <-> 
if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) )  ~~  ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) 
\  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) ) )
9 peano1 6600 . . . 4  |-  (/)  e.  om
109elimel 3955 . . 3  |-  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  e. 
om
11 ovex 6220 . . . 4  |-  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  e.  _V
12 difexg 4543 . . . 4  |-  ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  e.  _V  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) 
\  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )  e. 
_V )
1311, 12ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) 
\  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )  e. 
_V
149elimel 3955 . . . 4  |-  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  e. 
om
15 eqid 2452 . . . 4  |-  ( x  e.  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  |->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  x ) )  =  ( x  e.  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  |->  ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  x ) )
1614, 10, 15unfilem2 7683 . . 3  |-  ( x  e.  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  |->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  x ) ) : if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) -1-1-onto-> ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )
17 f1oen2g 7431 . . 3  |-  ( ( if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) )  e.  om  /\  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )  e.  _V  /\  (
x  e.  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  |->  ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  x ) ) : if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) -1-1-onto-> ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) 
\  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) )  ->  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ~~  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) 
\  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) ) )
1810, 13, 16, 17mp3an 1315 . 2  |-  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ~~  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  \  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) ) )
194, 8, 18dedth2h 3945 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  B  ~~  ( ( A  +o  B ) 
\  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3072    \ cdif 3428   (/)c0 3740   ifcif 3894   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   -1-1-onto->wf1o 5520  (class class class)co 6195   omcom 6581    +o coa 7022    ~~ cen 7412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-oadd 7029  df-en 7416
This theorem is referenced by:  unfi  7685
  Copyright terms: Public domain W3C validator