Theorem unfilem3 5643

Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite.

Assertion

Ref	Expression
unfilem3	|- ((A e. om /\ B e. om) -> B ~~ ((A +o B) \ A))

Proof of Theorem unfilem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . . . . . . . . 11 |- (A = if(A e. om, A, (/)) -> (A +o x) = (if(A e. om, A, (/)) +o x))
2	1	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . 10 |- (A = if(A e. om, A, (/)) -> (y = (A +o x) <-> y = (if(A e. om, A, (/)) +o x)))
3	2	anbi2d 678	. . . . . . . . 9 |- (A = if(A e. om, A, (/)) -> ((x e. B /\ y = (A +o x)) <-> (x e. B /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))))
4	3	opabbidv 3401	. . . . . . . 8 |- (A = if(A e. om, A, (/)) -> {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))} = {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))})
5		f1oeq1 4630	. . . . . . . 8 |- ({<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))} = {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))} -> ({<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}:B-1-1-onto->((A +o B) \ A) <-> {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:B-1-1-onto->((A +o B) \ A)))
6	4, 5	syl 12	. . . . . . 7 |- (A = if(A e. om, A, (/)) -> ({<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}:B-1-1-onto->((A +o B) \ A) <-> {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:B-1-1-onto->((A +o B) \ A)))
7		opreq1 4889	. . . . . . . . . 10 |- (A = if(A e. om, A, (/)) -> (A +o B) = (if(A e. om, A, (/)) +o B))
8	7	difeq1d 2725	. . . . . . . . 9 |- (A = if(A e. om, A, (/)) -> ((A +o B) \ A) = ((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ A))
9		difeq2 2719	. . . . . . . . 9 |- (A = if(A e. om, A, (/)) -> ((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ A) = ((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/))))
10	8, 9	eqtrd 1925	. . . . . . . 8 |- (A = if(A e. om, A, (/)) -> ((A +o B) \ A) = ((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/))))
11		f1oeq3 4632	. . . . . . . 8 |- (((A +o B) \ A) = ((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/))) -> ({<.x, y>. | (x e. B /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:B-1-1-onto->((A +o B) \ A) <-> {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:B-1-1-onto->((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/)))))
12	10, 11	syl 12	. . . . . . 7 |- (A = if(A e. om, A, (/)) -> ({<.x, y>. | (x e. B /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:B-1-1-onto->((A +o B) \ A) <-> {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:B-1-1-onto->((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/)))))
13	6, 12	bitrd 587	. . . . . 6 |- (A = if(A e. om, A, (/)) -> ({<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}:B-1-1-onto->((A +o B) \ A) <-> {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:B-1-1-onto->((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/)))))
14		eleq2 1958	. . . . . . . . . 10 |- (B = if(B e. om, B, (/)) -> (x e. B <-> x e. if(B e. om, B, (/))))
15	14	anbi1d 679	. . . . . . . . 9 |- (B = if(B e. om, B, (/)) -> ((x e. B /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x)) <-> (x e. if(B e. om, B, (/)) /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))))
16	15	opabbidv 3401	. . . . . . . 8 |- (B = if(B e. om, B, (/)) -> {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))} = {<.x, y>. | (x e. if(B e. om, B, (/)) /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))})
17		f1oeq1 4630	. . . . . . . 8 |- ({<.x, y>. | (x e. B /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))} = {<.x, y>. | (x e. if(B e. om, B, (/)) /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))} -> ({<.x, y>. | (x e. B /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:B-1-1-onto->((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/))) <-> {<.x, y>. | (x e. if(B e. om, B, (/)) /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:B-1-1-onto->((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/)))))
18	16, 17	syl 12	. . . . . . 7 |- (B = if(B e. om, B, (/)) -> ({<.x, y>. | (x e. B /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:B-1-1-onto->((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/))) <-> {<.x, y>. | (x e. if(B e. om, B, (/)) /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:B-1-1-onto->((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/)))))
19		f1oeq2 4631	. . . . . . 7 |- (B = if(B e. om, B, (/)) -> ({<.x, y>. | (x e. if(B e. om, B, (/)) /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:B-1-1-onto->((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/))) <-> {<.x, y>. | (x e. if(B e. om, B, (/)) /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:if(B e. om, B, (/))-1-1-onto->((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/)))))
20		opreq2 4890	. . . . . . . . 9 |- (B = if(B e. om, B, (/)) -> (if(A e. om, A, (/)) +o B) = (if(A e. om, A, (/)) +o if(B e. om, B, (/))))
21	20	difeq1d 2725	. . . . . . . 8 |- (B = if(B e. om, B, (/)) -> ((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/))) = ((if(A e. om, A, (/)) +o if(B e. om, B, (/))) \ if(A e. om, A, (/))))
22		f1oeq3 4632	. . . . . . . 8 |- (((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/))) = ((if(A e. om, A, (/)) +o if(B e. om, B, (/))) \ if(A e. om, A, (/))) -> ({<.x, y>. | (x e. if(B e. om, B, (/)) /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:if(B e. om, B, (/))-1-1-onto->((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/))) <-> {<.x, y>. | (x e. if(B e. om, B, (/)) /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:if(B e. om, B, (/))-1-1-onto->((if(A e. om, A, (/)) +o if(B e. om, B, (/))) \ if(A e. om, A, (/)))))
23	21, 22	syl 12	. . . . . . 7 |- (B = if(B e. om, B, (/)) -> ({<.x, y>. | (x e. if(B e. om, B, (/)) /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:if(B e. om, B, (/))-1-1-onto->((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/))) <-> {<.x, y>. | (x e. if(B e. om, B, (/)) /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:if(B e. om, B, (/))-1-1-onto->((if(A e. om, A, (/)) +o if(B e. om, B, (/))) \ if(A e. om, A, (/)))))
24	18, 19, 23	3bitrd 603	. . . . . 6 |- (B = if(B e. om, B, (/)) -> ({<.x, y>. | (x e. B /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:B-1-1-onto->((if(A e. om, A, (/)) +o B) \ if(A e. om, A, (/))) <-> {<.x, y>. | (x e. if(B e. om, B, (/)) /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:if(B e. om, B, (/))-1-1-onto->((if(A e. om, A, (/)) +o if(B e. om, B, (/))) \ if(A e. om, A, (/)))))
25		peano1 3971	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
26	25	elimel 3025	. . . . . . 7 |- if(A e. om, A, (/)) e. om
27	25	elimel 3025	. . . . . . 7 |- if(B e. om, B, (/)) e. om
28		eqid 1884	. . . . . . 7 |- {<.x, y>. | (x e. if(B e. om, B, (/)) /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))} = {<.x, y>. | (x e. if(B e. om, B, (/)) /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}
29	26, 27, 28	unfilem2 5642	. . . . . 6 |- {<.x, y>. | (x e. if(B e. om, B, (/)) /\ y = (if(A e. om, A, (/)) +o x))}:if(B e. om, B, (/))-1-1-onto->((if(A e. om, A, (/)) +o if(B e. om, B, (/))) \ if(A e. om, A, (/)))
30	13, 24, 29	dedth2h 3015	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. om) -> {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}:B-1-1-onto->((A +o B) \ A))
31		f1ofn 4636	. . . . 5 |- ({<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}:B-1-1-onto->((A +o B) \ A) -> {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))} Fn B)
32	30, 31	syl 12	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om) -> {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))} Fn B)
33		fnex 4535	. . . 4 |- (({<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))} Fn B /\ B e. om) -> {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))} e. _V)
34	32, 33	sylancom 531	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. om) -> {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))} e. _V)
35		f1oeq1 4630	. . . 4 |- (f = {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))} -> (f:B-1-1-onto->((A +o B) \ A) <-> {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}:B-1-1-onto->((A +o B) \ A)))
36	35	cla4egv 2365	. . 3 |- ({<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))} e. _V -> ({<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}:B-1-1-onto->((A +o B) \ A) -> E.f f:B-1-1-onto->((A +o B) \ A)))
37	34, 30, 36	sylc 83	. 2 |- ((A e. om /\ B e. om) -> E.f f:B-1-1-onto->((A +o B) \ A))
38		oprex 4907	. . . 4 |- (A +o B) e. _V
39		difexg 3458	. . . 4 |- ((A +o B) e. _V -> ((A +o B) \ A) e. _V)
40	38, 39	ax-mp 7	. . 3 |- ((A +o B) \ A) e. _V
41	40	bren 5436	. 2 |- (B ~~ ((A +o B) \ A) <-> E.f f:B-1-1-onto->((A +o B) \ A))
42	37, 41	sylibr 217	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> B ~~ ((A +o B) \ A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292   \ cdif 2590  (/)c0 2875  ifcif 2982   class class class wbr 3338  {copab 3395  omcom 3949   Fn wfn 3993  -1-1-onto->wf1o 3997  (class class class)co 4884   +o coa 5174   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  unfi 5644

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179  df-en 5427

Copyright terms: Public domain