Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfilem2 Structured version   Unicode version

Theorem unfilem2 7821
 Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
unfilem1.1
unfilem1.2
unfilem1.3
Assertion
Ref Expression
unfilem2
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem unfilem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6308 . . . . . 6
2 unfilem1.3 . . . . . 6
31, 2fnmpti 5694 . . . . 5
4 unfilem1.1 . . . . . 6
5 unfilem1.2 . . . . . 6
64, 5, 2unfilem1 7820 . . . . 5
7 df-fo 5577 . . . . 5
83, 6, 7mpbir2an 923 . . . 4
9 fof 5780 . . . 4
108, 9ax-mp 5 . . 3
11 oveq2 6288 . . . . . . . 8
12 ovex 6308 . . . . . . . 8
1311, 2, 12fvmpt 5934 . . . . . . 7
14 oveq2 6288 . . . . . . . 8
15 ovex 6308 . . . . . . . 8
1614, 2, 15fvmpt 5934 . . . . . . 7
1713, 16eqeqan12d 2427 . . . . . 6
18 elnn 6695 . . . . . . . 8
195, 18mpan2 671 . . . . . . 7
20 elnn 6695 . . . . . . . 8
215, 20mpan2 671 . . . . . . 7
22 nnacan 7316 . . . . . . . 8
234, 22mp3an1 1315 . . . . . . 7
2419, 21, 23syl2an 477 . . . . . 6
2517, 24bitrd 255 . . . . 5
2625biimpd 209 . . . 4
2726rgen2a 2833 . . 3
28 dff13 6149 . . 3
2910, 27, 28mpbir2an 923 . 2
30 df-f1o 5578 . 2
3129, 8, 30mpbir2an 923 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 186   wa 369   wceq 1407   wcel 1844  wral 2756   cdif 3413   cmpt 4455   crn 4826   wfn 5566  wf 5567  wf1 5568  wfo 5569  wf1o 5570  cfv 5571  (class class class)co 6280  com 6685   coa 7166 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-oadd 7173 This theorem is referenced by:  unfilem3  7822
 Copyright terms: Public domain W3C validator