Theorem unfi 7333

Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
unfi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )

Proof of Theorem unfi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 7298	. 2 |- ( B e. Fin -> ( B \ A ) e. Fin )
2		reeanv 2835	. . . 4 |- ( E. x e. om E. y e. om ( A ~~ x /\ ( B \ A ) ~~ y ) <-> ( E. x e. om A ~~ x /\ E. y e. om ( B \ A ) ~~ y ) )
3		isfi 7090	. . . . 5 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
4		isfi 7090	. . . . 5 |- ( ( B \ A ) e. Fin <-> E. y e. om ( B \ A ) ~~ y )
5	3, 4	anbi12i 679	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B \ A ) e. Fin ) <-> ( E. x e. om A ~~ x /\ E. y e. om ( B \ A ) ~~ y ) )
6	2, 5	bitr4i 244	. . 3 |- ( E. x e. om E. y e. om ( A ~~ x /\ ( B \ A ) ~~ y ) <-> ( A e. Fin /\ ( B \ A ) e. Fin ) )
7		nnacl 6813	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x +o y ) e. om )
8		unfilem3 7332	. . . . . . 7 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> y ~~ ( ( x +o y ) \ x ) )
9		entr 7118	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B \ A ) ~~ y /\ y ~~ ( ( x +o y ) \ x ) ) -> ( B \ A ) ~~ ( ( x +o y ) \ x ) )
10	9	expcom 425	. . . . . . 7 |- ( y ~~ ( ( x +o y ) \ x ) -> ( ( B \ A ) ~~ y -> ( B \ A ) ~~ ( ( x +o y ) \ x ) ) )
11	8, 10	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( ( B \ A ) ~~ y -> ( B \ A ) ~~ ( ( x +o y ) \ x ) ) )
12		disjdif 3660	. . . . . . . 8 |- ( A i^i ( B \ A ) ) = (/)
13		disjdif 3660	. . . . . . . 8 |- ( x i^i ( ( x +o y ) \ x ) ) = (/)
14		unen 7148	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~~ x /\ ( B \ A ) ~~ ( ( x +o y ) \ x ) ) /\ ( ( A i^i ( B \ A ) ) = (/) /\ ( x i^i ( ( x +o y ) \ x ) ) = (/) ) ) -> ( A u. ( B \ A ) ) ~~ ( x u. ( ( x +o y ) \ x ) ) )
15	12, 13, 14	mpanr12 667	. . . . . . 7 |- ( ( A ~~ x /\ ( B \ A ) ~~ ( ( x +o y ) \ x ) ) -> ( A u. ( B \ A ) ) ~~ ( x u. ( ( x +o y ) \ x ) ) )
16		undif2 3664	. . . . . . . . 9 |- ( A u. ( B \ A ) ) = ( A u. B )
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( A u. ( B \ A ) ) = ( A u. B ) )
18		nnaword1 6831	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> x C_ ( x +o y ) )
19		undif 3668	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ ( x +o y ) <-> ( x u. ( ( x +o y ) \ x ) ) = ( x +o y ) )
20	18, 19	sylib 189	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x u. ( ( x +o y ) \ x ) ) = ( x +o y ) )
21	17, 20	breq12d 4185	. . . . . . 7 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( ( A u. ( B \ A ) ) ~~ ( x u. ( ( x +o y ) \ x ) ) <-> ( A u. B ) ~~ ( x +o y ) ) )
22	15, 21	syl5ib 211	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( ( A ~~ x /\ ( B \ A ) ~~ ( ( x +o y ) \ x ) ) -> ( A u. B ) ~~ ( x +o y ) ) )
23	11, 22	sylan2d 469	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( ( A ~~ x /\ ( B \ A ) ~~ y ) -> ( A u. B ) ~~ ( x +o y ) ) )
24		breq2 4176	. . . . . . 7 |- ( z = ( x +o y ) -> ( ( A u. B ) ~~ z <-> ( A u. B ) ~~ ( x +o y ) ) )
25	24	rspcev 3012	. . . . . 6 |- ( ( ( x +o y ) e. om /\ ( A u. B ) ~~ ( x +o y ) ) -> E. z e. om ( A u. B ) ~~ z )
26		isfi 7090	. . . . . 6 |- ( ( A u. B ) e. Fin <-> E. z e. om ( A u. B ) ~~ z )
27	25, 26	sylibr 204	. . . . 5 |- ( ( ( x +o y ) e. om /\ ( A u. B ) ~~ ( x +o y ) ) -> ( A u. B ) e. Fin )
28	7, 23, 27	ee12an 1369	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( ( A ~~ x /\ ( B \ A ) ~~ y ) -> ( A u. B ) e. Fin ) )
29	28	rexlimivv 2795	. . 3 |- ( E. x e. om E. y e. om ( A ~~ x /\ ( B \ A ) ~~ y ) -> ( A u. B ) e. Fin )
30	6, 29	sylbir 205	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( B \ A ) e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )
31	1, 30	sylan2 461	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   E.wrex 2667   \ cdif 3277   u. cun 3278   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   omcom 4804  (class class class)co 6040   +o coa 6680   ~~ cen 7065   Fincfn 7068

This theorem is referenced by:  unfi2  7335  difinf  7336  xpfi  7337  prfi  7340  tpfi  7341  fnfi  7343  iunfi  7353  pwfilem  7359  fiin  7385  wemapso2  7477  cantnfp1lem1  7590  ficardun2  8039  ackbij1lem6  8061  ackbij1lem16  8071  fin23lem28  8176  fin23lem30  8178  isfin1-3  8222  axcclem  8293  hashun  11611  hashunlei  11639  hashmap  11653  hashbclem  11656  hashf1lem1  11659  hashf1lem2  11660  hashf1  11661  incexclem  12571  isumltss  12583  ramub1lem1  13349  fpwipodrs  14545  acsfiindd  14558  gsumzaddlem  15481  gsumunsn  15499  dprdfadd  15533  psrbagaddcl  16390  mplsubg  16455  mpllss  16456  fctop  17023  uncmp  17420  1stckgenlem  17538  ptbasin  17562  cfinfil  17878  fin1aufil  17917  alexsubALTlem3  18033  tmdgsum  18078  tsmsfbas  18110  tsmsgsum  18121  tsmsres  18126  tsmsxplem1  18135  prdsmet  18353  prdsbl  18474  icccmplem2  18807  ovolfiniun  19350  volfiniun  19394  fta1glem2  20042  fta1lem  20177  aannenlem2  20199  aalioulem2  20203  dchrfi  20992  usgrafilem2  21379  vdgrfiun  21626  konigsberg  21662  ballotlemgun  24735  itg2addnclem2  26156  locfincmp  26274  comppfsc  26277  prdsbnd  26392  funsnfsup  26633  elrfi  26638  mzpcompact2lem  26698  eldioph2  26710  lsmfgcl  27040  dsmmacl  27075  symgfisg  27277  fiuneneq  27381  pclfinN  30382

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072