Theorem unfi 5644

Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144.

Assertion

Ref	Expression
unfi	|- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> (A u. B) e. Fin)

Proof of Theorem unfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeanv 2249	. . . 4 |- (E.x e. om E.y e. om (A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) <-> (E.x e. om A ~~ x /\ E.y e. om (B \ A) ~~ y))
2		isfi 5441	. . . . 5 |- (A e. Fin <-> E.x e. om A ~~ x)
3		isfi 5441	. . . . 5 |- ((B \ A) e. Fin <-> E.y e. om (B \ A) ~~ y)
4	2, 3	anbi12i 540	. . . 4 |- ((A e. Fin /\ (B \ A) e. Fin) <-> (E.x e. om A ~~ x /\ E.y e. om (B \ A) ~~ y))
5	1, 4	bitr4i 193	. . 3 |- (E.x e. om E.y e. om (A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) <-> (A e. Fin /\ (B \ A) e. Fin))
6		nnacl 5281	. . . . 5 |- ((x e. om /\ y e. om) -> (x +o y) e. om)
7		undif2 2950	. . . . . . . . 9 |- (A u. (B \ A)) = (A u. B)
8	7	a1i 8	. . . . . . . 8 |- ((x e. om /\ y e. om) -> (A u. (B \ A)) = (A u. B))
9		nnaword1 5301	. . . . . . . . 9 |- ((x e. om /\ y e. om) -> x C_ (x +o y))
10		undif 2954	. . . . . . . . 9 |- (x C_ (x +o y) <-> (x u. ((x +o y) \ x)) = (x +o y))
11	9, 10	sylib 215	. . . . . . . 8 |- ((x e. om /\ y e. om) -> (x u. ((x +o y) \ x)) = (x +o y))
12	8, 11	breq12d 3351	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A u. (B \ A)) ~~ (x u. ((x +o y) \ x)) <-> (A u. B) ~~ (x +o y)))
13		difdisj 2945	. . . . . . . 8 |- (A i^i (B \ A)) = (/)
14		difdisj 2945	. . . . . . . 8 |- (x i^i ((x +o y) \ x)) = (/)
15		unen 5493	. . . . . . . 8 |- (((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)) /\ ((A i^i (B \ A)) = (/) /\ (x i^i ((x +o y) \ x)) = (/))) -> (A u. (B \ A)) ~~ (x u. ((x +o y) \ x)))
16	13, 14, 15	mpanr12 778	. . . . . . 7 |- ((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)) -> (A u. (B \ A)) ~~ (x u. ((x +o y) \ x)))
17	12, 16	syl5bi 225	. . . . . 6 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)) -> (A u. B) ~~ (x +o y)))
18		unfilem3 5643	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ y e. om) -> y ~~ ((x +o y) \ x))
19		entr 5473	. . . . . . . 8 |- (((B \ A) ~~ y /\ y ~~ ((x +o y) \ x)) -> (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x))
20	19	expcom 403	. . . . . . 7 |- (y ~~ ((x +o y) \ x) -> ((B \ A) ~~ y -> (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)))
21	18, 20	syl 12	. . . . . 6 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((B \ A) ~~ y -> (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)))
22	17, 21	sylan2d 507	. . . . 5 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) -> (A u. B) ~~ (x +o y)))
23		breq2 3342	. . . . . . . 8 |- (z = (x +o y) -> ((A u. B) ~~ z <-> (A u. B) ~~ (x +o y)))
24	23	rcla4ev 2381	. . . . . . 7 |- (((x +o y) e. om /\ (A u. B) ~~ (x +o y)) -> E.z e. om (A u. B) ~~ z)
25		isfi 5441	. . . . . . 7 |- ((A u. B) e. Fin <-> E.z e. om (A u. B) ~~ z)
26	24, 25	sylibr 217	. . . . . 6 |- (((x +o y) e. om /\ (A u. B) ~~ (x +o y)) -> (A u. B) e. Fin)
27	26	ex 402	. . . . 5 |- ((x +o y) e. om -> ((A u. B) ~~ (x +o y) -> (A u. B) e. Fin))
28	6, 22, 27	sylsyld 32	. . . 4 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) -> (A u. B) e. Fin))
29	28	r19.23aivv 2217	. . 3 |- (E.x e. om E.y e. om (A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) -> (A u. B) e. Fin)
30	5, 29	sylbir 218	. 2 |- ((A e. Fin /\ (B \ A) e. Fin) -> (A u. B) e. Fin)
31		difss 2735	. . 3 |- (B \ A) C_ B
32		ssfi 5630	. . 3 |- ((B e. Fin /\ (B \ A) C_ B) -> (B \ A) e. Fin)
33	31, 32	mpan2 760	. 2 |- (B e. Fin -> (B \ A) e. Fin)
34	30, 33	sylan2 500	1 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> (A u. B) e. Fin)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   \ cdif 2590   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  omcom 3949  (class class class)co 4884   +o coa 5174   ~~ cen 5423  Fincfn 5426

This theorem is referenced by:  unfi2 5645  prfi 5647  unifi 5648  abfii4 5654  pwfilem 5660  nnaun 6089  subbas 8914  fctop 8920  islfin 10168  indexfi 10174  fixp 10180  infi 10280  infi1 14343  ficli 14353  rcfpfillem4 14931  tarsuc2 15245  elfiun 15369  uncomp 15433  alexsublem3 15439  locfincomp 15514  comppfsc 15517  ufinffr 15578  ufilen 15579  indexfiOLD 15755  fzfi 15786

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179  df-er 5318  df-en 5427  df-fin 5430

Copyright terms: Public domain