Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unelsiga Structured version   Unicode version

Theorem unelsiga 26589
Description: A sigma algebra is closed under set union. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
unelsiga  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  u.  B
)  e.  S )

Proof of Theorem unelsiga
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniprg 4117 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B )
)
213adant1 1006 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B )
)
3 isrnsigau 26582 . . . . . 6  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) )
43simprd 463 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
54simp3d 1002 . . . 4  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) )
653ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) )
7 prct 26024 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { A ,  B }  ~<_  om )
873adant1 1006 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { A ,  B }  ~<_  om )
9 prelpwi 4551 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { A ,  B }  e.  ~P S
)
10 breq1 4307 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { A ,  B }  ->  ( x  ~<_  om  <->  { A ,  B }  ~<_  om ) )
11 unieq 4111 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { A ,  B }  ->  U. x  =  U. { A ,  B } )
1211eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { A ,  B }  ->  ( U. x  e.  S  <->  U. { A ,  B }  e.  S
) )
1310, 12imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( x  =  { A ,  B }  ->  ( ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S )  <->  ( { A ,  B }  ~<_  om  ->  U. { A ,  B }  e.  S
) ) )
1413rspcv 3081 . . . . 5  |-  ( { A ,  B }  e.  ~P S  ->  ( A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
)  ->  ( { A ,  B }  ~<_  om  ->  U. { A ,  B }  e.  S
) ) )
159, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A. x  e. 
~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S )  ->  ( { A ,  B }  ~<_  om  ->  U. { A ,  B }  e.  S
) ) )
16153adant1 1006 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A. x  e. 
~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S )  ->  ( { A ,  B }  ~<_  om  ->  U. { A ,  B }  e.  S
) ) )
176, 8, 16mp2d 45 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  U. { A ,  B }  e.  S
)
182, 17eqeltrrd 2518 1  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  u.  B
)  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727    \ cdif 3337    u. cun 3338    C_ wss 3340   ~Pcpw 3872   {cpr 3891   U.cuni 4103   class class class wbr 4304   ran crn 4853   omcom 6488    ~<_ cdom 7320  sigAlgebracsiga 26562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-siga 26563
This theorem is referenced by:  measun  26637  aean  26672  sibfof  26738
  Copyright terms: Public domain W3C validator