Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unelcarsg Structured version   Unicode version

Theorem unelcarsg 29146
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under union. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
carsgval.2  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
difelcarsg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (toCaraSiga `  M
) )
inelcarsg.1  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P O  /\  b  e.  ~P O )  -> 
( M `  (
a  u.  b ) )  <_  ( ( M `  a ) +e ( M `
 b ) ) )
inelcarsg.2  |-  ( ph  ->  B  e.  (toCaraSiga `  M
) )
Assertion
Ref Expression
unelcarsg  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  (toCaraSiga `  M
) )
Distinct variable groups:    M, a    O, a    ph, a    A, a, b    B, a, b    M, b    O, b    ph, b
Allowed substitution hints:    V( a, b)

Proof of Theorem unelcarsg
StepHypRef Expression
1 carsgval.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
2 carsgval.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
3 difelcarsg.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  (toCaraSiga `  M
) )
41, 2, 3elcarsgss 29143 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  O )
5 dfss4 3708 . . . 4  |-  ( A 
C_  O  <->  ( O  \  ( O  \  A
) )  =  A )
64, 5sylib 200 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O  \  ( O  \  A ) )  =  A )
7 inelcarsg.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  (toCaraSiga `  M
) )
81, 2, 7elcarsgss 29143 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  O )
9 dfss4 3708 . . . 4  |-  ( B 
C_  O  <->  ( O  \  ( O  \  B
) )  =  B )
108, 9sylib 200 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O  \  ( O  \  B ) )  =  B )
116, 10uneq12d 3622 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O  \ 
( O  \  A
) )  u.  ( O  \  ( O  \  B ) ) )  =  ( A  u.  B ) )
12 difindi 3728 . . 3  |-  ( O 
\  ( ( O 
\  A )  i^i  ( O  \  B
) ) )  =  ( ( O  \ 
( O  \  A
) )  u.  ( O  \  ( O  \  B ) ) )
131, 2, 3difelcarsg 29144 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O  \  A
)  e.  (toCaraSiga `  M
) )
14 inelcarsg.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P O  /\  b  e.  ~P O )  -> 
( M `  (
a  u.  b ) )  <_  ( ( M `  a ) +e ( M `
 b ) ) )
151, 2, 7difelcarsg 29144 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O  \  B
)  e.  (toCaraSiga `  M
) )
161, 2, 13, 14, 15inelcarsg 29145 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O  \  A )  i^i  ( O  \  B ) )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
171, 2, 16difelcarsg 29144 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O  \  (
( O  \  A
)  i^i  ( O  \  B ) ) )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
1812, 17syl5eqelr 2516 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O  \ 
( O  \  A
) )  u.  ( O  \  ( O  \  B ) ) )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
1911, 18eqeltrrd 2512 1  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  (toCaraSiga `  M
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   ~Pcpw 3980   class class class wbr 4421   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   0cc0 9541   +oocpnf 9674    <_ cle 9678   +ecxad 11409   [,]cicc 11640  toCaraSigaccarsg 29135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-xadd 11412  df-icc 11644  df-carsg 29136
This theorem is referenced by:  fiunelcarsg  29150
  Copyright terms: Public domain W3C validator