Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unelcarsg Structured version   Unicode version

Theorem unelcarsg 28479
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under union. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
carsgval.2  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
difelcarsg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (toCaraSiga `  M
) )
inelcarsg.1  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P O  /\  b  e.  ~P O )  -> 
( M `  (
a  u.  b ) )  <_  ( ( M `  a ) +e ( M `
 b ) ) )
inelcarsg.2  |-  ( ph  ->  B  e.  (toCaraSiga `  M
) )
Assertion
Ref Expression
unelcarsg  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  (toCaraSiga `  M
) )
Distinct variable groups:    M, a    O, a    ph, a    A, a, b    B, a, b    M, b    O, b    ph, b
Allowed substitution hints:    V( a, b)

Proof of Theorem unelcarsg
StepHypRef Expression
1 carsgval.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
2 carsgval.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
3 difelcarsg.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  (toCaraSiga `  M
) )
41, 2, 3elcarsgss 28476 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  O )
5 dfss4 3674 . . . 4  |-  ( A 
C_  O  <->  ( O  \  ( O  \  A
) )  =  A )
64, 5sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O  \  ( O  \  A ) )  =  A )
7 inelcarsg.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  (toCaraSiga `  M
) )
81, 2, 7elcarsgss 28476 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  O )
9 dfss4 3674 . . . 4  |-  ( B 
C_  O  <->  ( O  \  ( O  \  B
) )  =  B )
108, 9sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O  \  ( O  \  B ) )  =  B )
116, 10uneq12d 3590 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O  \ 
( O  \  A
) )  u.  ( O  \  ( O  \  B ) ) )  =  ( A  u.  B ) )
12 difindi 3694 . . 3  |-  ( O 
\  ( ( O 
\  A )  i^i  ( O  \  B
) ) )  =  ( ( O  \ 
( O  \  A
) )  u.  ( O  \  ( O  \  B ) ) )
131, 2, 3difelcarsg 28477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O  \  A
)  e.  (toCaraSiga `  M
) )
14 inelcarsg.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P O  /\  b  e.  ~P O )  -> 
( M `  (
a  u.  b ) )  <_  ( ( M `  a ) +e ( M `
 b ) ) )
151, 2, 7difelcarsg 28477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O  \  B
)  e.  (toCaraSiga `  M
) )
161, 2, 13, 14, 15inelcarsg 28478 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O  \  A )  i^i  ( O  \  B ) )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
171, 2, 16difelcarsg 28477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O  \  (
( O  \  A
)  i^i  ( O  \  B ) ) )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
1812, 17syl5eqelr 2489 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O  \ 
( O  \  A
) )  u.  ( O  \  ( O  \  B ) ) )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
1911, 18eqeltrrd 2485 1  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  (toCaraSiga `  M
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836    \ cdif 3403    u. cun 3404    i^i cin 3405    C_ wss 3406   ~Pcpw 3944   class class class wbr 4384   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   0cc0 9425   +oocpnf 9558    <_ cle 9562   +ecxad 11259   [,]cicc 11475  toCaraSigaccarsg 28468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-xadd 11262  df-icc 11479  df-carsg 28469
This theorem is referenced by:  fiunelcarsg  28483
  Copyright terms: Public domain W3C validator