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Theorem undmrnresiss 36281
Description: Two ways of saying the identity relation restricted to the union of the domain and range of a relation is a subset of a relation. Generalization of reflexg 36282. (Contributed by RP, 26-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
undmrnresiss  |-  ( (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  C_  B  <->  A. x A. y ( x A y  ->  ( x B x  /\  y B y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem undmrnresiss
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resundi 5124 . . 3  |-  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  =  ( (  _I  |`  dom  A
)  u.  (  _I  |`  ran  A ) )
21sseq1i 3442 . 2  |-  ( (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  C_  B  <->  ( (  _I  |`  dom  A )  u.  (  _I  |`  ran  A
) )  C_  B
)
3 unss 3599 . 2  |-  ( ( (  _I  |`  dom  A
)  C_  B  /\  (  _I  |`  ran  A
)  C_  B )  <->  ( (  _I  |`  dom  A
)  u.  (  _I  |`  ran  A ) ) 
C_  B )
4 relres 5138 . . . . . 6  |-  Rel  (  _I  |`  dom  A )
5 ssrel 4928 . . . . . 6  |-  ( Rel  (  _I  |`  dom  A
)  ->  ( (  _I  |`  dom  A ) 
C_  B  <->  A. x A. z ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  dom  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  B ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  dom  A ) 
C_  B  <->  A. x A. z ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  dom  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  B ) )
7 df-br 4396 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  _I  z  <->  <. x ,  z >.  e.  _I  )
8 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
98ideq 4992 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  _I  z  <->  x  =  z )
107, 9bitr3i 259 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  _I  <->  x  =  z
)
11 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
1211eldm 5037 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y  x A y )
1310, 12anbi12i 711 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  _I  /\  x  e. 
dom  A )  <->  ( x  =  z  /\  E. y  x A y ) )
148opelres 5116 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  (  _I  |`  dom  A
)  <->  ( <. x ,  z >.  e.  _I  /\  x  e.  dom  A ) )
15 19.42v 1842 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( x  =  z  /\  x A y )  <->  ( x  =  z  /\  E. y  x A y ) )
1613, 14, 153bitr4i 285 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  (  _I  |`  dom  A
)  <->  E. y ( x  =  z  /\  x A y ) )
17 df-br 4396 . . . . . . . 8  |-  ( x B z  <->  <. x ,  z >.  e.  B
)
1817bicomi 207 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  B  <->  x B z )
1916, 18imbi12i 333 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  dom  A
)  ->  <. x ,  z >.  e.  B
)  <->  ( E. y
( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B
z ) )
20192albii 1700 . . . . 5  |-  ( A. x A. z ( <.
x ,  z >.  e.  (  _I  |`  dom  A
)  ->  <. x ,  z >.  e.  B
)  <->  A. x A. z
( E. y ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z ) )
21 19.23v 1826 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  ( E. y ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z ) )
2221bicomi 207 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  A. y
( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z ) )
23222albii 1700 . . . . . 6  |-  ( A. x A. z ( E. y ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  A. x A. z A. y ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B
z ) )
24 alcom 1940 . . . . . . . 8  |-  ( A. z A. y ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  A. y A. z ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z ) )
25 ancomst 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B
z )  <->  ( (
x A y  /\  x  =  z )  ->  x B z ) )
26 impexp 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x A y  /\  x  =  z )  ->  x B
z )  <->  ( x A y  ->  (
x  =  z  ->  x B z ) ) )
2725, 26bitri 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B
z )  <->  ( x A y  ->  (
x  =  z  ->  x B z ) ) )
2827albii 1699 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  A. z
( x A y  ->  ( x  =  z  ->  x B
z ) ) )
29 19.21v 1794 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( x A y  ->  ( x  =  z  ->  x B z ) )  <->  ( x A y  ->  A. z
( x  =  z  ->  x B z ) ) )
30 equcom 1870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  <->  z  =  x )
3130imbi1i 332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  z  ->  x B z )  <->  ( z  =  x  ->  x B z ) )
3231albii 1699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z ( x  =  z  ->  x B
z )  <->  A. z
( z  =  x  ->  x B z ) )
33 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
x B z  <->  x B x ) )
3433equsalvw 1855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z ( z  =  x  ->  x B
z )  <->  x B x )
3532, 34bitri 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z ( x  =  z  ->  x B
z )  <->  x B x )
3635imbi2i 319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x A y  ->  A. z ( x  =  z  ->  x B
z ) )  <->  ( x A y  ->  x B x ) )
3728, 29, 363bitri 279 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  ( x A y  ->  x B x ) )
3837albii 1699 . . . . . . . 8  |-  ( A. y A. z ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  A. y
( x A y  ->  x B x ) )
3924, 38bitri 257 . . . . . . 7  |-  ( A. z A. y ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  A. y
( x A y  ->  x B x ) )
4039albii 1699 . . . . . 6  |-  ( A. x A. z A. y
( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  A. x A. y ( x A y  ->  x B x ) )
4123, 40bitri 257 . . . . 5  |-  ( A. x A. z ( E. y ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  A. x A. y ( x A y  ->  x B x ) )
426, 20, 413bitri 279 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  dom  A ) 
C_  B  <->  A. x A. y ( x A y  ->  x B x ) )
43 relres 5138 . . . . . 6  |-  Rel  (  _I  |`  ran  A )
44 ssrel 4928 . . . . . 6  |-  ( Rel  (  _I  |`  ran  A
)  ->  ( (  _I  |`  ran  A ) 
C_  B  <->  A. y A. z ( <. y ,  z >.  e.  (  _I  |`  ran  A )  ->  <. y ,  z
>.  e.  B ) ) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ran  A ) 
C_  B  <->  A. y A. z ( <. y ,  z >.  e.  (  _I  |`  ran  A )  ->  <. y ,  z
>.  e.  B ) )
46 df-br 4396 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  _I  z  <->  <. y ,  z >.  e.  _I  )
478ideq 4992 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  _I  z  <->  y  =  z )
4846, 47bitr3i 259 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  _I  <->  y  =  z )
49 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
5049elrn 5081 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ran  A  <->  E. x  x A y )
5148, 50anbi12i 711 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. y ,  z >.  e.  _I  /\  y  e. 
ran  A )  <->  ( y  =  z  /\  E. x  x A y ) )
528opelres 5116 . . . . . . . 8  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  (  _I  |`  ran  A
)  <->  ( <. y ,  z >.  e.  _I  /\  y  e.  ran  A ) )
53 19.42v 1842 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( y  =  z  /\  x A y )  <->  ( y  =  z  /\  E. x  x A y ) )
5451, 52, 533bitr4i 285 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  (  _I  |`  ran  A
)  <->  E. x ( y  =  z  /\  x A y ) )
55 df-br 4396 . . . . . . . 8  |-  ( y B z  <->  <. y ,  z >.  e.  B
)
5655bicomi 207 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  B  <->  y B z )
5754, 56imbi12i 333 . . . . . 6  |-  ( (
<. y ,  z >.  e.  (  _I  |`  ran  A
)  ->  <. y ,  z >.  e.  B
)  <->  ( E. x
( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B
z ) )
58572albii 1700 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( <.
y ,  z >.  e.  (  _I  |`  ran  A
)  ->  <. y ,  z >.  e.  B
)  <->  A. y A. z
( E. x ( y  =  z  /\  x A y )  -> 
y B z ) )
59 19.23v 1826 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( y  =  z  /\  x A y )  -> 
y B z )  <-> 
( E. x ( y  =  z  /\  x A y )  -> 
y B z ) )
6059bicomi 207 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x ( y  =  z  /\  x A y )  -> 
y B z )  <->  A. x ( ( y  =  z  /\  x A y )  -> 
y B z ) )
61602albii 1700 . . . . . 6  |-  ( A. y A. z ( E. x ( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B z )  <->  A. y A. z A. x ( ( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B
z ) )
62 alrot3 1941 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y A. z
( ( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B z )  <->  A. y A. z A. x ( ( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B
z ) )
63 ancomst 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B
z )  <->  ( (
x A y  /\  y  =  z )  ->  y B z ) )
64 impexp 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x A y  /\  y  =  z )  ->  y B
z )  <->  ( x A y  ->  (
y  =  z  -> 
y B z ) ) )
6563, 64bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B
z )  <->  ( x A y  ->  (
y  =  z  -> 
y B z ) ) )
6665albii 1699 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( ( y  =  z  /\  x A y )  -> 
y B z )  <->  A. z ( x A y  ->  ( y  =  z  ->  y B z ) ) )
67 19.21v 1794 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( x A y  ->  ( y  =  z  ->  y B z ) )  <->  ( x A y  ->  A. z
( y  =  z  ->  y B z ) ) )
68 equcom 1870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  <->  z  =  y )
6968imbi1i 332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =  z  -> 
y B z )  <-> 
( z  =  y  ->  y B z ) )
7069albii 1699 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( y  =  z  ->  y B
z )  <->  A. z
( z  =  y  ->  y B z ) )
71 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  (
y B z  <->  y B
y ) )
7271equsalvw 1855 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  y B
z )  <->  y B
y )
7370, 72bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z ( y  =  z  ->  y B
z )  <->  y B
y )
7473imbi2i 319 . . . . . . . 8  |-  ( ( x A y  ->  A. z ( y  =  z  ->  y B
z ) )  <->  ( x A y  ->  y B y ) )
7566, 67, 743bitri 279 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( ( y  =  z  /\  x A y )  -> 
y B z )  <-> 
( x A y  ->  y B y ) )
76752albii 1700 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y A. z
( ( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B z )  <->  A. x A. y ( x A y  ->  y B
y ) )
7761, 62, 763bitr2i 281 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( E. x ( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B z )  <->  A. x A. y ( x A y  ->  y B
y ) )
7845, 58, 773bitri 279 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  ran  A ) 
C_  B  <->  A. x A. y ( x A y  ->  y B
y ) )
7942, 78anbi12i 711 . . 3  |-  ( ( (  _I  |`  dom  A
)  C_  B  /\  (  _I  |`  ran  A
)  C_  B )  <->  ( A. x A. y
( x A y  ->  x B x )  /\  A. x A. y ( x A y  ->  y B
y ) ) )
80 19.26-2 1741 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( x A y  ->  x B x )  /\  ( x A y  ->  y B y ) )  <->  ( A. x A. y ( x A y  ->  x B x )  /\  A. x A. y ( x A y  -> 
y B y ) ) )
81 pm4.76 883 . . . 4  |-  ( ( ( x A y  ->  x B x )  /\  ( x A y  ->  y B y ) )  <-> 
( x A y  ->  ( x B x  /\  y B y ) ) )
82812albii 1700 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( x A y  ->  x B x )  /\  ( x A y  ->  y B y ) )  <->  A. x A. y ( x A y  ->  ( x B x  /\  y B y ) ) )
8379, 80, 823bitr2i 281 . 2  |-  ( ( (  _I  |`  dom  A
)  C_  B  /\  (  _I  |`  ran  A
)  C_  B )  <->  A. x A. y ( x A y  -> 
( x B x  /\  y B y ) ) )
842, 3, 833bitr2i 281 1  |-  ( (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  C_  B  <->  A. x A. y ( x A y  ->  ( x B x  /\  y B y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450   E.wex 1671    e. wcel 1904    u. cun 3388    C_ wss 3390   <.cop 3965   class class class wbr 4395    _I cid 4749   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   Rel wrel 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851
This theorem is referenced by:  reflexg  36282
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