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Theorem undmrnresiss 36222
Description: Two ways of saying the identity relation restricted to the union of the domain and range of a relation is a subset of a relation. Generalization of reflexg 36223. (Contributed by RP, 26-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
undmrnresiss  |-  ( (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  C_  B  <->  A. x A. y ( x A y  ->  ( x B x  /\  y B y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem undmrnresiss
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resundi 5121 . . 3  |-  (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  =  ( (  _I  |`  dom  A
)  u.  (  _I  |`  ran  A ) )
21sseq1i 3458 . 2  |-  ( (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  C_  B  <->  ( (  _I  |`  dom  A )  u.  (  _I  |`  ran  A
) )  C_  B
)
3 unss 3610 . 2  |-  ( ( (  _I  |`  dom  A
)  C_  B  /\  (  _I  |`  ran  A
)  C_  B )  <->  ( (  _I  |`  dom  A
)  u.  (  _I  |`  ran  A ) ) 
C_  B )
4 relres 5135 . . . . . 6  |-  Rel  (  _I  |`  dom  A )
5 ssrel 4926 . . . . . 6  |-  ( Rel  (  _I  |`  dom  A
)  ->  ( (  _I  |`  dom  A ) 
C_  B  <->  A. x A. z ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  dom  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  B ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  dom  A ) 
C_  B  <->  A. x A. z ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  dom  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  B ) )
7 df-br 4406 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  _I  z  <->  <. x ,  z >.  e.  _I  )
8 vex 3050 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
98ideq 4990 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  _I  z  <->  x  =  z )
107, 9bitr3i 255 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  _I  <->  x  =  z
)
11 vex 3050 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
1211eldm 5035 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y  x A y )
1310, 12anbi12i 704 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  _I  /\  x  e. 
dom  A )  <->  ( x  =  z  /\  E. y  x A y ) )
148opelres 5113 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  (  _I  |`  dom  A
)  <->  ( <. x ,  z >.  e.  _I  /\  x  e.  dom  A ) )
15 19.42v 1836 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( x  =  z  /\  x A y )  <->  ( x  =  z  /\  E. y  x A y ) )
1613, 14, 153bitr4i 281 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  (  _I  |`  dom  A
)  <->  E. y ( x  =  z  /\  x A y ) )
17 df-br 4406 . . . . . . . 8  |-  ( x B z  <->  <. x ,  z >.  e.  B
)
1817bicomi 206 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  B  <->  x B z )
1916, 18imbi12i 328 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  dom  A
)  ->  <. x ,  z >.  e.  B
)  <->  ( E. y
( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B
z ) )
20192albii 1694 . . . . 5  |-  ( A. x A. z ( <.
x ,  z >.  e.  (  _I  |`  dom  A
)  ->  <. x ,  z >.  e.  B
)  <->  A. x A. z
( E. y ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z ) )
21 19.23v 1820 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  ( E. y ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z ) )
2221bicomi 206 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  A. y
( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z ) )
23222albii 1694 . . . . . 6  |-  ( A. x A. z ( E. y ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  A. x A. z A. y ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B
z ) )
24 alcom 1925 . . . . . . . 8  |-  ( A. z A. y ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  A. y A. z ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z ) )
25 ancomst 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B
z )  <->  ( (
x A y  /\  x  =  z )  ->  x B z ) )
26 impexp 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x A y  /\  x  =  z )  ->  x B
z )  <->  ( x A y  ->  (
x  =  z  ->  x B z ) ) )
2725, 26bitri 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B
z )  <->  ( x A y  ->  (
x  =  z  ->  x B z ) ) )
2827albii 1693 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  A. z
( x A y  ->  ( x  =  z  ->  x B
z ) ) )
29 19.21v 1788 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( x A y  ->  ( x  =  z  ->  x B z ) )  <->  ( x A y  ->  A. z
( x  =  z  ->  x B z ) ) )
30 equcom 1864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  <->  z  =  x )
3130imbi1i 327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  z  ->  x B z )  <->  ( z  =  x  ->  x B z ) )
3231albii 1693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z ( x  =  z  ->  x B
z )  <->  A. z
( z  =  x  ->  x B z ) )
33 breq2 4409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
x B z  <->  x B x ) )
3433equsalvw 1849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z ( z  =  x  ->  x B
z )  <->  x B x )
3532, 34bitri 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z ( x  =  z  ->  x B
z )  <->  x B x )
3635imbi2i 314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x A y  ->  A. z ( x  =  z  ->  x B
z ) )  <->  ( x A y  ->  x B x ) )
3728, 29, 363bitri 275 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  ( x A y  ->  x B x ) )
3837albii 1693 . . . . . . . 8  |-  ( A. y A. z ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  A. y
( x A y  ->  x B x ) )
3924, 38bitri 253 . . . . . . 7  |-  ( A. z A. y ( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  A. y
( x A y  ->  x B x ) )
4039albii 1693 . . . . . 6  |-  ( A. x A. z A. y
( ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  A. x A. y ( x A y  ->  x B x ) )
4123, 40bitri 253 . . . . 5  |-  ( A. x A. z ( E. y ( x  =  z  /\  x A y )  ->  x B z )  <->  A. x A. y ( x A y  ->  x B x ) )
426, 20, 413bitri 275 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  dom  A ) 
C_  B  <->  A. x A. y ( x A y  ->  x B x ) )
43 relres 5135 . . . . . 6  |-  Rel  (  _I  |`  ran  A )
44 ssrel 4926 . . . . . 6  |-  ( Rel  (  _I  |`  ran  A
)  ->  ( (  _I  |`  ran  A ) 
C_  B  <->  A. y A. z ( <. y ,  z >.  e.  (  _I  |`  ran  A )  ->  <. y ,  z
>.  e.  B ) ) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ran  A ) 
C_  B  <->  A. y A. z ( <. y ,  z >.  e.  (  _I  |`  ran  A )  ->  <. y ,  z
>.  e.  B ) )
46 df-br 4406 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  _I  z  <->  <. y ,  z >.  e.  _I  )
478ideq 4990 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  _I  z  <->  y  =  z )
4846, 47bitr3i 255 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  _I  <->  y  =  z )
49 vex 3050 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
5049elrn 5078 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ran  A  <->  E. x  x A y )
5148, 50anbi12i 704 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. y ,  z >.  e.  _I  /\  y  e. 
ran  A )  <->  ( y  =  z  /\  E. x  x A y ) )
528opelres 5113 . . . . . . . 8  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  (  _I  |`  ran  A
)  <->  ( <. y ,  z >.  e.  _I  /\  y  e.  ran  A ) )
53 19.42v 1836 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( y  =  z  /\  x A y )  <->  ( y  =  z  /\  E. x  x A y ) )
5451, 52, 533bitr4i 281 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  (  _I  |`  ran  A
)  <->  E. x ( y  =  z  /\  x A y ) )
55 df-br 4406 . . . . . . . 8  |-  ( y B z  <->  <. y ,  z >.  e.  B
)
5655bicomi 206 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  B  <->  y B z )
5754, 56imbi12i 328 . . . . . 6  |-  ( (
<. y ,  z >.  e.  (  _I  |`  ran  A
)  ->  <. y ,  z >.  e.  B
)  <->  ( E. x
( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B
z ) )
58572albii 1694 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( <.
y ,  z >.  e.  (  _I  |`  ran  A
)  ->  <. y ,  z >.  e.  B
)  <->  A. y A. z
( E. x ( y  =  z  /\  x A y )  -> 
y B z ) )
59 19.23v 1820 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( y  =  z  /\  x A y )  -> 
y B z )  <-> 
( E. x ( y  =  z  /\  x A y )  -> 
y B z ) )
6059bicomi 206 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x ( y  =  z  /\  x A y )  -> 
y B z )  <->  A. x ( ( y  =  z  /\  x A y )  -> 
y B z ) )
61602albii 1694 . . . . . 6  |-  ( A. y A. z ( E. x ( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B z )  <->  A. y A. z A. x ( ( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B
z ) )
62 alrot3 1926 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y A. z
( ( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B z )  <->  A. y A. z A. x ( ( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B
z ) )
63 ancomst 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B
z )  <->  ( (
x A y  /\  y  =  z )  ->  y B z ) )
64 impexp 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x A y  /\  y  =  z )  ->  y B
z )  <->  ( x A y  ->  (
y  =  z  -> 
y B z ) ) )
6563, 64bitri 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B
z )  <->  ( x A y  ->  (
y  =  z  -> 
y B z ) ) )
6665albii 1693 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( ( y  =  z  /\  x A y )  -> 
y B z )  <->  A. z ( x A y  ->  ( y  =  z  ->  y B z ) ) )
67 19.21v 1788 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( x A y  ->  ( y  =  z  ->  y B z ) )  <->  ( x A y  ->  A. z
( y  =  z  ->  y B z ) ) )
68 equcom 1864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  <->  z  =  y )
6968imbi1i 327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =  z  -> 
y B z )  <-> 
( z  =  y  ->  y B z ) )
7069albii 1693 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( y  =  z  ->  y B
z )  <->  A. z
( z  =  y  ->  y B z ) )
71 breq2 4409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  (
y B z  <->  y B
y ) )
7271equsalvw 1849 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  y B
z )  <->  y B
y )
7370, 72bitri 253 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z ( y  =  z  ->  y B
z )  <->  y B
y )
7473imbi2i 314 . . . . . . . 8  |-  ( ( x A y  ->  A. z ( y  =  z  ->  y B
z ) )  <->  ( x A y  ->  y B y ) )
7566, 67, 743bitri 275 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( ( y  =  z  /\  x A y )  -> 
y B z )  <-> 
( x A y  ->  y B y ) )
76752albii 1694 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y A. z
( ( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B z )  <->  A. x A. y ( x A y  ->  y B
y ) )
7761, 62, 763bitr2i 277 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( E. x ( y  =  z  /\  x A y )  ->  y B z )  <->  A. x A. y ( x A y  ->  y B
y ) )
7845, 58, 773bitri 275 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  ran  A ) 
C_  B  <->  A. x A. y ( x A y  ->  y B
y ) )
7942, 78anbi12i 704 . . 3  |-  ( ( (  _I  |`  dom  A
)  C_  B  /\  (  _I  |`  ran  A
)  C_  B )  <->  ( A. x A. y
( x A y  ->  x B x )  /\  A. x A. y ( x A y  ->  y B
y ) ) )
80 19.26-2 1735 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( x A y  ->  x B x )  /\  ( x A y  ->  y B y ) )  <->  ( A. x A. y ( x A y  ->  x B x )  /\  A. x A. y ( x A y  -> 
y B y ) ) )
81 pm4.76 878 . . . 4  |-  ( ( ( x A y  ->  x B x )  /\  ( x A y  ->  y B y ) )  <-> 
( x A y  ->  ( x B x  /\  y B y ) ) )
82812albii 1694 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( x A y  ->  x B x )  /\  ( x A y  ->  y B y ) )  <->  A. x A. y ( x A y  ->  ( x B x  /\  y B y ) ) )
8379, 80, 823bitr2i 277 . 2  |-  ( ( (  _I  |`  dom  A
)  C_  B  /\  (  _I  |`  ran  A
)  C_  B )  <->  A. x A. y ( x A y  -> 
( x B x  /\  y B y ) ) )
842, 3, 833bitr2i 277 1  |-  ( (  _I  |`  ( dom  A  u.  ran  A ) )  C_  B  <->  A. x A. y ( x A y  ->  ( x B x  /\  y B y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1444   E.wex 1665    e. wcel 1889    u. cun 3404    C_ wss 3406   <.cop 3976   class class class wbr 4405    _I cid 4747   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   Rel wrel 4842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-br 4406  df-opab 4465  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849
This theorem is referenced by:  reflexg  36223
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