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Theorem undifixp 7505
Description: Union of two projections of a cartesian product. (Contributed by FL, 7-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
undifixp  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( F  u.  G )  e.  X_ x  e.  A  C )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, G
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem undifixp
StepHypRef Expression
1 unexg 6584 . . 3  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )  -> 
( F  u.  G
)  e.  _V )
213adant3 1016 . 2  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( F  u.  G )  e.  _V )
3 ixpfn 7475 . . . 4  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  F  Fn  B
)
4 ixpfn 7475 . . . . 5  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  G  Fn  ( A  \  B ) )
5 3simpa 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( G  Fn  ( A  \  B )  /\  F  Fn  B )
)
65ancomd 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( F  Fn  B  /\  G  Fn  ( A  \  B ) ) )
7 disjdif 3899 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
8 fnun 5686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  B  /\  G  Fn  ( A  \  B ) )  /\  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/) )  -> 
( F  u.  G
)  Fn  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
96, 7, 8sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( F  u.  G
)  Fn  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
10 undif 3907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  =  A )
1110biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  A  ->  ( B  u.  ( A  \  B ) )  =  A )
1211eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  A  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
13123ad2ant3 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B
) ) )
1413fneq2d 5671 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( ( F  u.  G )  Fn  A  <->  ( F  u.  G )  Fn  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ) )
159, 14mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( F  u.  G
)  Fn  A )
16153exp 1195 . . . . 5  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  ( F  Fn  B  ->  ( B  C_  A  ->  ( F  u.  G )  Fn  A ) ) )
174, 16syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( F  Fn  B  ->  ( B 
C_  A  ->  ( F  u.  G )  Fn  A ) ) )
183, 17syl5com 30 . . 3  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( B  C_  A  ->  ( F  u.  G )  Fn  A
) ) )
19183imp 1190 . 2  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( F  u.  G )  Fn  A )
20 fndm 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  dom  G  =  ( A  \  B ) )
21 elndif 3628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  ( A  \  B ) )
22 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  \  B )  =  dom  G  -> 
( x  e.  ( A  \  B )  <-> 
x  e.  dom  G
) )
2322notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  \  B )  =  dom  G  -> 
( -.  x  e.  ( A  \  B
)  <->  -.  x  e.  dom  G ) )
2423eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
G  =  ( A 
\  B )  -> 
( -.  x  e.  ( A  \  B
)  <->  -.  x  e.  dom  G ) )
25 ndmfv 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  dom  G  ->  ( G `  x
)  =  (/) )
2624, 25syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
G  =  ( A 
\  B )  -> 
( -.  x  e.  ( A  \  B
)  ->  ( G `  x )  =  (/) ) )
2720, 21, 26syl2im 38 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  (
x  e.  B  -> 
( G `  x
)  =  (/) ) )
2827ralrimiv 2876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  A. x  e.  B  ( G `  x )  =  (/) )
29 elixp2 7473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C 
<->  ( F  e.  _V  /\  F  Fn  B  /\  A. x  e.  B  ( F `  x )  e.  C ) )
3029simp3bi 1013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  A. x  e.  B  ( F `  x )  e.  C )
31 uneq2 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  x )  =  (/)  ->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x ) )  =  ( ( F `  x )  u.  (/) ) )
32 un0 3810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  u.  (/) )  =  ( F `  x )
33 eqtr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( ( F `  x )  u.  (/) )  /\  (
( F `  x
)  u.  (/) )  =  ( F `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  =  ( F `  x ) )
34 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  C  <->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
3534biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
3635eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  =  ( F `  x )  ->  (
( F `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
3733, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( ( F `  x )  u.  (/) )  /\  (
( F `  x
)  u.  (/) )  =  ( F `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
3831, 32, 37sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  x )  =  (/)  ->  ( ( F `  x )  e.  C  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) )
3938com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  x )  e.  C  ->  (
( G `  x
)  =  (/)  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) )
4039ral2imi 2852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  B  ( F `  x )  e.  C  ->  ( A. x  e.  B  ( G `  x )  =  (/)  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
4130, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( A. x  e.  B  ( G `  x )  =  (/)  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
4228, 41syl5com 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
434, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
4443impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C )
45 fndm 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  B  ->  dom  F  =  B )
46 eldifn 3627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  -.  x  e.  B )
47 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =  dom  F  -> 
( x  e.  B  <->  x  e.  dom  F ) )
4847notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  dom  F  -> 
( -.  x  e.  B  <->  -.  x  e.  dom  F ) )
49 ndmfv 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  dom  F  ->  ( F `  x
)  =  (/) )
5048, 49syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  dom  F  -> 
( -.  x  e.  B  ->  ( F `  x )  =  (/) ) )
5150eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
F  =  B  -> 
( -.  x  e.  B  ->  ( F `  x )  =  (/) ) )
5245, 46, 51syl2im 38 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  B  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  -> 
( F `  x
)  =  (/) ) )
5352ralrimiv 2876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  B  ->  A. x  e.  ( A  \  B
) ( F `  x )  =  (/) )
54 elixp2 7473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  <->  ( G  e. 
_V  /\  G  Fn  ( A  \  B )  /\  A. x  e.  ( A  \  B
) ( G `  x )  e.  C
) )
5554simp3bi 1013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  ( A  \  B
) ( G `  x )  e.  C
)
56 uneq1 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  =  (/)  ->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x ) )  =  ( (/)  u.  ( G `  x )
) )
57 uncom 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/)  u.  ( G `  x
) )  =  ( ( G `  x
)  u.  (/) )
58 eqtr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( (/)  u.  ( G `  x
) )  /\  ( (/) 
u.  ( G `  x ) )  =  ( ( G `  x )  u.  (/) ) )  ->  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  =  ( ( G `  x
)  u.  (/) ) )
59 un0 3810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  x )  u.  (/) )  =  ( G `  x )
60 eqtr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( ( G `  x )  u.  (/) )  /\  (
( G `  x
)  u.  (/) )  =  ( G `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  =  ( G `  x ) )
61 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  ->  (
( G `  x
)  e.  C  <->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
6261biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  ->  (
( G `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
6362eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  =  ( G `  x )  ->  (
( G `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
6460, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( ( G `  x )  u.  (/) )  /\  (
( G `  x
)  u.  (/) )  =  ( G `  x
) )  ->  (
( G `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
6558, 59, 64sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( (/)  u.  ( G `  x
) )  /\  ( (/) 
u.  ( G `  x ) )  =  ( ( G `  x )  u.  (/) ) )  ->  ( ( G `
 x )  e.  C  ->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
6656, 57, 65sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  =  (/)  ->  ( ( G `  x )  e.  C  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) )
6766com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  x )  e.  C  ->  (
( F `  x
)  =  (/)  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) )
6867ral2imi 2852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( A  \  B ) ( G `
 x )  e.  C  ->  ( A. x  e.  ( A  \  B ) ( F `
 x )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
6955, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( A. x  e.  ( A  \  B ) ( F `
 x )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
7053, 69syl5com 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  B  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  ->  A. x  e.  ( A  \  B
) ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
713, 70syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
7271imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )  ->  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C )
73 ralunb 3685 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( B  u.  ( A  \  B
) ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x ) )  e.  C  <->  ( A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C  /\  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
7444, 72, 73sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )  ->  A. x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C )
7574ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  ( B  u.  ( A 
\  B ) ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
76 raleq 3058 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( A. x  e.  A  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C  <->  A. x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
7776imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
)  <->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  ( B  u.  ( A 
\  B ) ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) ) )
7875, 77syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) ) )
7978eqcoms 2479 . . . . . 6  |-  ( ( B  u.  ( A 
\  B ) )  =  A  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) ) )
8010, 79sylbi 195 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) ) )
8180com3l 81 . . . 4  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( B  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) ) )
82813imp 1190 . . 3  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
)
83 df-fn 5590 . . . . . . 7  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  <->  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B
) ) )
84 df-fn 5590 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  B  <->  ( Fun  F  /\  dom  F  =  B ) )
85 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  ->  Fun  F )
86 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  ->  Fun  G )
8785, 86anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) ) )  ->  ( Fun  F  /\  Fun  G
) )
88873adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  ( Fun  F  /\  Fun  G
) )
89 ineq12 3695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  F  =  B  /\  dom  G  =  ( A  \  B
) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  ( B  i^i  ( A  \  B ) ) )
9089, 7syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  F  =  B  /\  dom  G  =  ( A  \  B
) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )
9190ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) ) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )
92913adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )
93 fvun 5936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( F  u.  G ) `  x
)  =  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x ) ) )
9488, 92, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  (
( F  u.  G
) `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) ) )
9594eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  (
( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
9695ralbidv 2903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
97963exp 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  -> 
( ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  (
( F  u.  G
) `  x )  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) ) ) )
9884, 97sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  B  ->  (
( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A 
\  B ) )  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x )  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) ) ) )
9998com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  -> 
( F  Fn  B  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x )  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) ) ) )
10083, 99sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  ( F  Fn  B  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) ) ) )
1014, 100syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( F  Fn  B  ->  ( B 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) ) ) )
1023, 101syl5com 30 . . . 4  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x )  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) ) ) )
1031023imp 1190 . . 3  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
10482, 103mpbird 232 . 2  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x )  e.  C
)
105 elixp2 7473 . 2  |-  ( ( F  u.  G )  e.  X_ x  e.  A  C 
<->  ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  ( F  u.  G
)  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( ( F  u.  G
) `  x )  e.  C ) )
1062, 19, 104, 105syl3anbrc 1180 1  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( F  u.  G )  e.  X_ x  e.  A  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   dom cdm 4999   Fun wfun 5581    Fn wfn 5582   ` cfv 5587   X_cixp 7469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-fv 5595  df-ixp 7470
This theorem is referenced by:  ptuncnv  20059  ptunhmeo  20060
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