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Theorem undifixp 7311
Description: Union of two projections of a cartesian product. (Contributed by FL, 7-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
undifixp  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( F  u.  G )  e.  X_ x  e.  A  C )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, G
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem undifixp
StepHypRef Expression
1 unexg 6393 . . 3  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )  -> 
( F  u.  G
)  e.  _V )
213adant3 1008 . 2  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( F  u.  G )  e.  _V )
3 ixpfn 7281 . . . 4  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  F  Fn  B
)
4 ixpfn 7281 . . . . 5  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  G  Fn  ( A  \  B ) )
5 3simpa 985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( G  Fn  ( A  \  B )  /\  F  Fn  B )
)
65ancomd 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( F  Fn  B  /\  G  Fn  ( A  \  B ) ) )
7 disjdif 3763 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
8 fnun 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  B  /\  G  Fn  ( A  \  B ) )  /\  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/) )  -> 
( F  u.  G
)  Fn  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
96, 7, 8sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( F  u.  G
)  Fn  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
10 undif 3771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  =  A )
1110biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  A  ->  ( B  u.  ( A  \  B ) )  =  A )
1211eqcomd 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  A  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
13123ad2ant3 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B
) ) )
1413fneq2d 5514 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( ( F  u.  G )  Fn  A  <->  ( F  u.  G )  Fn  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ) )
159, 14mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( F  u.  G
)  Fn  A )
16153exp 1186 . . . . 5  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  ( F  Fn  B  ->  ( B  C_  A  ->  ( F  u.  G )  Fn  A ) ) )
174, 16syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( F  Fn  B  ->  ( B 
C_  A  ->  ( F  u.  G )  Fn  A ) ) )
183, 17syl5com 30 . . 3  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( B  C_  A  ->  ( F  u.  G )  Fn  A
) ) )
19183imp 1181 . 2  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( F  u.  G )  Fn  A )
20 fndm 5522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  dom  G  =  ( A  \  B ) )
21 elndif 3492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  ( A  \  B ) )
22 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  \  B )  =  dom  G  -> 
( x  e.  ( A  \  B )  <-> 
x  e.  dom  G
) )
2322notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  \  B )  =  dom  G  -> 
( -.  x  e.  ( A  \  B
)  <->  -.  x  e.  dom  G ) )
2423eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
G  =  ( A 
\  B )  -> 
( -.  x  e.  ( A  \  B
)  <->  -.  x  e.  dom  G ) )
25 ndmfv 5726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  dom  G  ->  ( G `  x
)  =  (/) )
2624, 25syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
G  =  ( A 
\  B )  -> 
( -.  x  e.  ( A  \  B
)  ->  ( G `  x )  =  (/) ) )
2720, 21, 26syl2im 38 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  (
x  e.  B  -> 
( G `  x
)  =  (/) ) )
2827ralrimiv 2810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  A. x  e.  B  ( G `  x )  =  (/) )
29 elixp2 7279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C 
<->  ( F  e.  _V  /\  F  Fn  B  /\  A. x  e.  B  ( F `  x )  e.  C ) )
3029simp3bi 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  A. x  e.  B  ( F `  x )  e.  C )
31 uneq2 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  x )  =  (/)  ->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x ) )  =  ( ( F `  x )  u.  (/) ) )
32 un0 3674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  u.  (/) )  =  ( F `  x )
33 eqtr 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( ( F `  x )  u.  (/) )  /\  (
( F `  x
)  u.  (/) )  =  ( F `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  =  ( F `  x ) )
34 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  C  <->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
3534biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
3635eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  =  ( F `  x )  ->  (
( F `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
3733, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( ( F `  x )  u.  (/) )  /\  (
( F `  x
)  u.  (/) )  =  ( F `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
3831, 32, 37sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  x )  =  (/)  ->  ( ( F `  x )  e.  C  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) )
3938com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  x )  e.  C  ->  (
( G `  x
)  =  (/)  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) )
4039ral2imi 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  B  ( F `  x )  e.  C  ->  ( A. x  e.  B  ( G `  x )  =  (/)  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
4130, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( A. x  e.  B  ( G `  x )  =  (/)  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
4228, 41syl5com 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
434, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
4443impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C )
45 fndm 5522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  B  ->  dom  F  =  B )
46 eldifn 3491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  -.  x  e.  B )
47 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =  dom  F  -> 
( x  e.  B  <->  x  e.  dom  F ) )
4847notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  dom  F  -> 
( -.  x  e.  B  <->  -.  x  e.  dom  F ) )
49 ndmfv 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  dom  F  ->  ( F `  x
)  =  (/) )
5048, 49syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  dom  F  -> 
( -.  x  e.  B  ->  ( F `  x )  =  (/) ) )
5150eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
F  =  B  -> 
( -.  x  e.  B  ->  ( F `  x )  =  (/) ) )
5245, 46, 51syl2im 38 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  B  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  -> 
( F `  x
)  =  (/) ) )
5352ralrimiv 2810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  B  ->  A. x  e.  ( A  \  B
) ( F `  x )  =  (/) )
54 elixp2 7279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  <->  ( G  e. 
_V  /\  G  Fn  ( A  \  B )  /\  A. x  e.  ( A  \  B
) ( G `  x )  e.  C
) )
5554simp3bi 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  ( A  \  B
) ( G `  x )  e.  C
)
56 uneq1 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  =  (/)  ->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x ) )  =  ( (/)  u.  ( G `  x )
) )
57 uncom 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/)  u.  ( G `  x
) )  =  ( ( G `  x
)  u.  (/) )
58 eqtr 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( (/)  u.  ( G `  x
) )  /\  ( (/) 
u.  ( G `  x ) )  =  ( ( G `  x )  u.  (/) ) )  ->  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  =  ( ( G `  x
)  u.  (/) ) )
59 un0 3674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  x )  u.  (/) )  =  ( G `  x )
60 eqtr 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( ( G `  x )  u.  (/) )  /\  (
( G `  x
)  u.  (/) )  =  ( G `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  =  ( G `  x ) )
61 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  ->  (
( G `  x
)  e.  C  <->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
6261biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  ->  (
( G `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
6362eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  =  ( G `  x )  ->  (
( G `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
6460, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( ( G `  x )  u.  (/) )  /\  (
( G `  x
)  u.  (/) )  =  ( G `  x
) )  ->  (
( G `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
6558, 59, 64sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( (/)  u.  ( G `  x
) )  /\  ( (/) 
u.  ( G `  x ) )  =  ( ( G `  x )  u.  (/) ) )  ->  ( ( G `
 x )  e.  C  ->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
6656, 57, 65sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  =  (/)  ->  ( ( G `  x )  e.  C  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) )
6766com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  x )  e.  C  ->  (
( F `  x
)  =  (/)  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) )
6867ral2imi 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( A  \  B ) ( G `
 x )  e.  C  ->  ( A. x  e.  ( A  \  B ) ( F `
 x )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
6955, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( A. x  e.  ( A  \  B ) ( F `
 x )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
7053, 69syl5com 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  B  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  ->  A. x  e.  ( A  \  B
) ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
713, 70syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
7271imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )  ->  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C )
73 ralunb 3549 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( B  u.  ( A  \  B
) ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x ) )  e.  C  <->  ( A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C  /\  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
7444, 72, 73sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )  ->  A. x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C )
7574ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  ( B  u.  ( A 
\  B ) ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
76 raleq 2929 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( A. x  e.  A  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C  <->  A. x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
7776imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
)  <->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  ( B  u.  ( A 
\  B ) ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) ) )
7875, 77syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) ) )
7978eqcoms 2446 . . . . . 6  |-  ( ( B  u.  ( A 
\  B ) )  =  A  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) ) )
8010, 79sylbi 195 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) ) )
8180com3l 81 . . . 4  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( B  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) ) )
82813imp 1181 . . 3  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
)
83 df-fn 5433 . . . . . . 7  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  <->  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B
) ) )
84 df-fn 5433 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  B  <->  ( Fun  F  /\  dom  F  =  B ) )
85 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  ->  Fun  F )
86 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  ->  Fun  G )
8785, 86anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) ) )  ->  ( Fun  F  /\  Fun  G
) )
88873adant3 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  ( Fun  F  /\  Fun  G
) )
89 ineq12 3559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  F  =  B  /\  dom  G  =  ( A  \  B
) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  ( B  i^i  ( A  \  B ) ) )
9089, 7syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  F  =  B  /\  dom  G  =  ( A  \  B
) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )
9190ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) ) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )
92913adant3 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )
93 fvun 5773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( F  u.  G ) `  x
)  =  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x ) ) )
9488, 92, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  (
( F  u.  G
) `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) ) )
9594eleq1d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  (
( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
9695ralbidv 2747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
97963exp 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  -> 
( ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  (
( F  u.  G
) `  x )  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) ) ) )
9884, 97sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  B  ->  (
( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A 
\  B ) )  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x )  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) ) ) )
9998com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  -> 
( F  Fn  B  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x )  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) ) ) )
10083, 99sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  ( F  Fn  B  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) ) ) )
1014, 100syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( F  Fn  B  ->  ( B 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) ) ) )
1023, 101syl5com 30 . . . 4  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x )  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) ) ) )
1031023imp 1181 . . 3  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
10482, 103mpbird 232 . 2  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x )  e.  C
)
105 elixp2 7279 . 2  |-  ( ( F  u.  G )  e.  X_ x  e.  A  C 
<->  ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  ( F  u.  G
)  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( ( F  u.  G
) `  x )  e.  C ) )
1062, 19, 104, 105syl3anbrc 1172 1  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( F  u.  G )  e.  X_ x  e.  A  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   _Vcvv 2984    \ cdif 3337    u. cun 3338    i^i cin 3339    C_ wss 3340   (/)c0 3649   dom cdm 4852   Fun wfun 5424    Fn wfn 5425   ` cfv 5430   X_cixp 7275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-fv 5438  df-ixp 7276
This theorem is referenced by:  ptuncnv  19392  ptunhmeo  19393
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