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Theorem undifixp 7564
Description: Union of two projections of a cartesian product. (Contributed by FL, 7-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
undifixp  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( F  u.  G )  e.  X_ x  e.  A  C )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, G
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem undifixp
StepHypRef Expression
1 unexg 6604 . . 3  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )  -> 
( F  u.  G
)  e.  _V )
213adant3 1026 . 2  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( F  u.  G )  e.  _V )
3 ixpfn 7534 . . . 4  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  F  Fn  B
)
4 ixpfn 7534 . . . . 5  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  G  Fn  ( A  \  B ) )
5 3simpa 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( G  Fn  ( A  \  B )  /\  F  Fn  B )
)
65ancomd 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( F  Fn  B  /\  G  Fn  ( A  \  B ) ) )
7 disjdif 3868 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
8 fnun 5698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  B  /\  G  Fn  ( A  \  B ) )  /\  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/) )  -> 
( F  u.  G
)  Fn  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
96, 7, 8sylancl 667 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( F  u.  G
)  Fn  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
10 undif 3877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  =  A )
1110biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  A  ->  ( B  u.  ( A  \  B ) )  =  A )
1211eqcomd 2431 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  A  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
13123ad2ant3 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B
) ) )
1413fneq2d 5683 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( ( F  u.  G )  Fn  A  <->  ( F  u.  G )  Fn  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ) )
159, 14mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ( G  Fn  ( A 
\  B )  /\  F  Fn  B  /\  B  C_  A )  -> 
( F  u.  G
)  Fn  A )
16153exp 1205 . . . . 5  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  ( F  Fn  B  ->  ( B  C_  A  ->  ( F  u.  G )  Fn  A ) ) )
174, 16syl 17 . . . 4  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( F  Fn  B  ->  ( B 
C_  A  ->  ( F  u.  G )  Fn  A ) ) )
183, 17syl5com 32 . . 3  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( B  C_  A  ->  ( F  u.  G )  Fn  A
) ) )
19183imp 1200 . 2  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( F  u.  G )  Fn  A )
20 fndm 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  dom  G  =  ( A  \  B ) )
21 elndif 3590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  ( A  \  B ) )
22 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  \  B )  =  dom  G  -> 
( x  e.  ( A  \  B )  <-> 
x  e.  dom  G
) )
2322notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  \  B )  =  dom  G  -> 
( -.  x  e.  ( A  \  B
)  <->  -.  x  e.  dom  G ) )
2423eqcoms 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
G  =  ( A 
\  B )  -> 
( -.  x  e.  ( A  \  B
)  <->  -.  x  e.  dom  G ) )
25 ndmfv 5903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  dom  G  ->  ( G `  x
)  =  (/) )
2624, 25syl6bi 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
G  =  ( A 
\  B )  -> 
( -.  x  e.  ( A  \  B
)  ->  ( G `  x )  =  (/) ) )
2720, 21, 26syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  (
x  e.  B  -> 
( G `  x
)  =  (/) ) )
2827ralrimiv 2838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  A. x  e.  B  ( G `  x )  =  (/) )
29 elixp2 7532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C 
<->  ( F  e.  _V  /\  F  Fn  B  /\  A. x  e.  B  ( F `  x )  e.  C ) )
3029simp3bi 1023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  A. x  e.  B  ( F `  x )  e.  C )
31 uneq2 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  x )  =  (/)  ->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x ) )  =  ( ( F `  x )  u.  (/) ) )
32 un0 3788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  u.  (/) )  =  ( F `  x )
33 eqtr 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( ( F `  x )  u.  (/) )  /\  (
( F `  x
)  u.  (/) )  =  ( F `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  =  ( F `  x ) )
34 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  C  <->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
3534biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
3635eqcoms 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  =  ( F `  x )  ->  (
( F `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
3733, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( ( F `  x )  u.  (/) )  /\  (
( F `  x
)  u.  (/) )  =  ( F `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
3831, 32, 37sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  x )  =  (/)  ->  ( ( F `  x )  e.  C  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) )
3938com12 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  x )  e.  C  ->  (
( G `  x
)  =  (/)  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) )
4039ral2imi 2814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  B  ( F `  x )  e.  C  ->  ( A. x  e.  B  ( G `  x )  =  (/)  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
4130, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( A. x  e.  B  ( G `  x )  =  (/)  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
4228, 41syl5com 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
434, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
4443impcom 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )  ->  A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C )
45 fndm 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  B  ->  dom  F  =  B )
46 eldifn 3589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  -.  x  e.  B )
47 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =  dom  F  -> 
( x  e.  B  <->  x  e.  dom  F ) )
4847notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  dom  F  -> 
( -.  x  e.  B  <->  -.  x  e.  dom  F ) )
49 ndmfv 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  dom  F  ->  ( F `  x
)  =  (/) )
5048, 49syl6bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  dom  F  -> 
( -.  x  e.  B  ->  ( F `  x )  =  (/) ) )
5150eqcoms 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
F  =  B  -> 
( -.  x  e.  B  ->  ( F `  x )  =  (/) ) )
5245, 46, 51syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  B  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  -> 
( F `  x
)  =  (/) ) )
5352ralrimiv 2838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  B  ->  A. x  e.  ( A  \  B
) ( F `  x )  =  (/) )
54 elixp2 7532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  <->  ( G  e. 
_V  /\  G  Fn  ( A  \  B )  /\  A. x  e.  ( A  \  B
) ( G `  x )  e.  C
) )
5554simp3bi 1023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  ( A  \  B
) ( G `  x )  e.  C
)
56 uneq1 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  =  (/)  ->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x ) )  =  ( (/)  u.  ( G `  x )
) )
57 uncom 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/)  u.  ( G `  x
) )  =  ( ( G `  x
)  u.  (/) )
58 eqtr 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( (/)  u.  ( G `  x
) )  /\  ( (/) 
u.  ( G `  x ) )  =  ( ( G `  x )  u.  (/) ) )  ->  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  =  ( ( G `  x
)  u.  (/) ) )
59 un0 3788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  x )  u.  (/) )  =  ( G `  x )
60 eqtr 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( ( G `  x )  u.  (/) )  /\  (
( G `  x
)  u.  (/) )  =  ( G `  x
) )  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  =  ( G `  x ) )
61 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  ->  (
( G `  x
)  e.  C  <->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
6261biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  ->  (
( G `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
6362eqcoms 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  =  ( G `  x )  ->  (
( G `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( ( G `  x )  u.  (/) )  /\  (
( G `  x
)  u.  (/) )  =  ( G `  x
) )  ->  (
( G `  x
)  e.  C  -> 
( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
6558, 59, 64sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  =  ( (/)  u.  ( G `  x
) )  /\  ( (/) 
u.  ( G `  x ) )  =  ( ( G `  x )  u.  (/) ) )  ->  ( ( G `
 x )  e.  C  ->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
6656, 57, 65sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  =  (/)  ->  ( ( G `  x )  e.  C  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) )
6766com12 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  x )  e.  C  ->  (
( F `  x
)  =  (/)  ->  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) )
6867ral2imi 2814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( A  \  B ) ( G `
 x )  e.  C  ->  ( A. x  e.  ( A  \  B ) ( F `
 x )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
6955, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( A. x  e.  ( A  \  B ) ( F `
 x )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
7053, 69syl5com 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  B  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  ->  A. x  e.  ( A  \  B
) ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
713, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
7271imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )  ->  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C )
73 ralunb 3648 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( B  u.  ( A  \  B
) ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x ) )  e.  C  <->  ( A. x  e.  B  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C  /\  A. x  e.  ( A  \  B ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
7444, 72, 73sylanbrc 669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C )  ->  A. x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C )
7574ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  ( B  u.  ( A 
\  B ) ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
76 raleq 3026 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( A. x  e.  A  (
( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C  <->  A. x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) )
7776imbi2d 318 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
)  <->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  ( B  u.  ( A 
\  B ) ) ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) ) )
7875, 77syl5ibr 225 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) ) )
7978eqcoms 2435 . . . . . 6  |-  ( ( B  u.  ( A 
\  B ) )  =  A  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) ) )
8010, 79sylbi 199 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) ) )
8180com3l 85 . . . 4  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( B  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) ) )
82813imp 1200 . . 3  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
)
83 df-fn 5602 . . . . . . 7  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  <->  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B
) ) )
84 df-fn 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  B  <->  ( Fun  F  /\  dom  F  =  B ) )
85 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  ->  Fun  F )
86 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  ->  Fun  G )
8785, 86anim12i 569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) ) )  ->  ( Fun  F  /\  Fun  G
) )
88873adant3 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  ( Fun  F  /\  Fun  G
) )
89 ineq12 3660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  F  =  B  /\  dom  G  =  ( A  \  B
) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  ( B  i^i  ( A  \  B ) ) )
9089, 7syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  F  =  B  /\  dom  G  =  ( A  \  B
) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )
9190ad2ant2l 751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) ) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )
92913adant3 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )
93 fvun 5949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( F  u.  G ) `  x
)  =  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x ) ) )
9488, 92, 93syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  (
( F  u.  G
) `  x )  =  ( ( F `
 x )  u.  ( G `  x
) ) )
9594eleq1d 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  (
( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
9695ralbidv 2865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  /\  ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  /\  B  C_  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
97963exp 1205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  B )  -> 
( ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  (
( F  u.  G
) `  x )  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x )
)  e.  C ) ) ) )
9884, 97sylbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  B  ->  (
( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A 
\  B ) )  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x )  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) ) ) )
9998com12 33 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  dom  G  =  ( A  \  B ) )  -> 
( F  Fn  B  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x )  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) ) ) )
10083, 99sylbi 199 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  ( A  \  B )  ->  ( F  Fn  B  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) ) ) )
1014, 100syl 17 . . . . 5  |-  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( F  Fn  B  ->  ( B 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) ) ) )
1023, 101syl5com 32 . . . 4  |-  ( F  e.  X_ x  e.  B  C  ->  ( G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B ) C  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x )  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x
)  u.  ( G `
 x ) )  e.  C ) ) ) )
1031023imp 1200 . . 3  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x
)  e.  C  <->  A. x  e.  A  ( ( F `  x )  u.  ( G `  x
) )  e.  C
) )
10482, 103mpbird 236 . 2  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  A. x  e.  A  ( ( F  u.  G ) `  x )  e.  C
)
105 elixp2 7532 . 2  |-  ( ( F  u.  G )  e.  X_ x  e.  A  C 
<->  ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  ( F  u.  G
)  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( ( F  u.  G
) `  x )  e.  C ) )
1062, 19, 104, 105syl3anbrc 1190 1  |-  ( ( F  e.  X_ x  e.  B  C  /\  G  e.  X_ x  e.  ( A  \  B
) C  /\  B  C_  A )  ->  ( F  u.  G )  e.  X_ x  e.  A  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   dom cdm 4851   Fun wfun 5593    Fn wfn 5594   ` cfv 5599   X_cixp 7528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-fv 5607  df-ixp 7529
This theorem is referenced by:  ptuncnv  20814  ptunhmeo  20815
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