MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unctb Unicode version

Theorem unctb 8041
Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unctb  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  om )

Proof of Theorem unctb
StepHypRef Expression
1 reldom 7074 . . . 4  |-  Rel  ~<_
21brrelexi 4877 . . 3  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
31brrelexi 4877 . . 3  |-  ( B  ~<_  om  ->  B  e.  _V )
4 uncdadom 8007 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  ~<_  ( A  +c  B ) )
52, 3, 4syl2an 464 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  ( A  +c  B ) )
6 cdadom1 8022 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( A  +c  B )  ~<_  ( om 
+c  B ) )
7 cdadom2 8023 . . . 4  |-  ( B  ~<_  om  ->  ( om  +c  B )  ~<_  ( om 
+c  om ) )
8 domtr 7119 . . . 4  |-  ( ( ( A  +c  B
)  ~<_  ( om  +c  B )  /\  ( om  +c  B )  ~<_  ( om  +c  om )
)  ->  ( A  +c  B )  ~<_  ( om 
+c  om ) )
96, 7, 8syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  +c  B )  ~<_  ( om 
+c  om ) )
10 omex 7554 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
1110, 10xpex 4949 . . . . 5  |-  ( om 
X.  om )  e.  _V
12 xp2cda 8016 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  _V  ->  ( om  X.  2o )  =  ( om  +c  om ) )
1310, 12ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( om 
X.  2o )  =  ( om  +c  om )
14 ordom 4813 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
15 2onn 6842 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
16 ordelss 4557 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  2o  e.  om )  ->  2o  C_ 
om )
1714, 15, 16mp2an 654 . . . . . . 7  |-  2o  C_  om
18 xpss2 4944 . . . . . . 7  |-  ( 2o  C_  om  ->  ( om  X.  2o )  C_  ( om  X.  om ) )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( om 
X.  2o )  C_  ( om  X.  om )
2013, 19eqsstr3i 3339 . . . . 5  |-  ( om 
+c  om )  C_  ( om  X.  om )
21 ssdomg 7112 . . . . 5  |-  ( ( om  X.  om )  e.  _V  ->  ( ( om  +c  om )  C_  ( om  X.  om )  ->  ( om  +c  om )  ~<_  ( om  X.  om ) ) )
2211, 20, 21mp2 9 . . . 4  |-  ( om 
+c  om )  ~<_  ( om 
X.  om )
23 xpomen 7853 . . . 4  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
24 domentr 7125 . . . 4  |-  ( ( ( om  +c  om )  ~<_  ( om  X.  om )  /\  ( om  X.  om )  ~~  om )  ->  ( om  +c  om )  ~<_  om )
2522, 23, 24mp2an 654 . . 3  |-  ( om 
+c  om )  ~<_  om
26 domtr 7119 . . 3  |-  ( ( ( A  +c  B
)  ~<_  ( om  +c  om )  /\  ( om 
+c  om )  ~<_  om )  ->  ( A  +c  B
)  ~<_  om )
279, 25, 26sylancl 644 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  +c  B )  ~<_  om )
28 domtr 7119 . 2  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~<_  ( A  +c  B )  /\  ( A  +c  B )  ~<_  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  om )
295, 27, 28syl2anc 643 1  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    u. cun 3278    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   Ord word 4540   omcom 4804    X. cxp 4835  (class class class)co 6040   2oc2o 6677    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066    +c ccda 8003
This theorem is referenced by:  cctop  17025  2ndcdisj2  17473  ovolctb2  19341  uniiccdif  19423  prct  24057
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004
  Copyright terms: Public domain W3C validator