Table of ContentsTable of Contents Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem uncomp 15433
Description: The union of two compact sets is compact.
Hypothesis
Ref Expression
uncomp.1 |- X = U.J
Assertion
Ref Expression
uncomp |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ ((subSp` <.S, J>.) e. Comp /\ (subSp` <.T, J>.) e. Comp)) -> J e. Comp)
Proof of Theorem uncomp
StepHypRef Expression
1 iscomp 10330 . 2 |- (J e. Comp <-> (J e. Top /\ A.c e. ~P J(U.J = U.c -> E.d e. (~Pc i^i Fin)U.J = U.d)))
2 simpll 448 . 2 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ ((subSp` <.S, J>.) e. Comp /\ (subSp` <.T, J>.) e. Comp)) -> J e. Top)
3 elin 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (n e. (~Pc i^i Fin) <-> (n e. ~Pc /\ n e. Fin))
43simplbi 349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (n e. (~Pc i^i Fin) -> n e. ~Pc)
5 elpwi 3039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (n e. ~Pc -> n C_ c)
64, 5syl 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n e. (~Pc i^i Fin) -> n C_ c)
7 elin 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (s e. (~Pc i^i Fin) <-> (s e. ~Pc /\ s e. Fin))
87simplbi 349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (s e. (~Pc i^i Fin) -> s e. ~Pc)
9 elpwi 3039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (s e. ~Pc -> s C_ c)
108, 9syl 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (s e. (~Pc i^i Fin) -> s C_ c)
116, 10anim12i 360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) -> (n C_ c /\ s C_ c))
1211ad2antrl 442 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) /\ ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) /\ (S C_ U.n /\ T C_ U.s))) -> (n C_ c /\ s C_ c))
13 unss 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((n C_ c /\ s C_ c) <-> (n u. s) C_ c)
1412, 13sylib 215 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) /\ ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) /\ (S C_ U.n /\ T C_ U.s))) -> (n u. s) C_ c)
15 unfi 5644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((n e. Fin /\ s e. Fin) -> (n u. s) e. Fin)
163simprbi 353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (n e. (~Pc i^i Fin) -> n e. Fin)
177simprbi 353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (s e. (~Pc i^i Fin) -> s e. Fin)
1815, 16, 17syl2an 503 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) -> (n u. s) e. Fin)
1918ad2antrl 442 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) /\ ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) /\ (S C_ U.n /\ T C_ U.s))) -> (n u. s) e. Fin)
2014, 19jca 310 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) /\ ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) /\ (S C_ U.n /\ T C_ U.s))) -> ((n u. s) C_ c /\ (n u. s) e. Fin))
21 elin 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((n u. s) e. (~Pc i^i Fin) <-> ((n u. s) e. ~Pc /\ (n u. s) e. Fin))
22 visset 2295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- c e. _V
2322elpw2 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((n u. s) e. ~Pc <-> (n u. s) C_ c)
2423anbi1i 539 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((n u. s) e. ~Pc /\ (n u. s) e. Fin) <-> ((n u. s) C_ c /\ (n u. s) e. Fin))
2521, 24bitr2i 191 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((n u. s) C_ c /\ (n u. s) e. Fin) <-> (n u. s) e. (~Pc i^i Fin))
2620, 25sylib 215 . . . . . . . . . . . 12 |- ((((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) /\ ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) /\ (S C_ U.n /\ T C_ U.s))) -> (n u. s) e. (~Pc i^i Fin))
27 simpllr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) /\ ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) /\ (S C_ U.n /\ T C_ U.s))) -> X = (S u. T))
28 ssun3 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (S C_ U.n -> S C_ (U.n u. U.s))
29 ssun4 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (T C_ U.s -> T C_ (U.n u. U.s))
3028, 29anim12i 360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((S C_ U.n /\ T C_ U.s) -> (S C_ (U.n u. U.s) /\ T C_ (U.n u. U.s)))
3130ad2antll 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) /\ ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) /\ (S C_ U.n /\ T C_ U.s))) -> (S C_ (U.n u. U.s) /\ T C_ (U.n u. U.s)))
32 unss 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((S C_ (U.n u. U.s) /\ T C_ (U.n u. U.s)) <-> (S u. T) C_ (U.n u. U.s))
3331, 32sylib 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) /\ ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) /\ (S C_ U.n /\ T C_ U.s))) -> (S u. T) C_ (U.n u. U.s))
3427, 33eqsstrd 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) /\ ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) /\ (S C_ U.n /\ T C_ U.s))) -> X C_ (U.n u. U.s))
35 uncomp.1 . . . . . . . . . . . . . 14 |- X = U.J
36 uniun 3196 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U.(n u. s) = (U.n u. U.s)
3736eqcomi 1888 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (U.n u. U.s) = U.(n u. s)
3834, 35, 373sstr3g 2657 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) /\ ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) /\ (S C_ U.n /\ T C_ U.s))) -> U.J C_ U.(n u. s))
39 elpwi 3039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (c e. ~PJ -> c C_ J)
4039adantr 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((c e. ~PJ /\ U.J = U.c) -> c C_ J)
4140ad2antlr 441 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) /\ ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) /\ (S C_ U.n /\ T C_ U.s))) -> c C_ J)
4214, 41sstrd 2627 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) /\ ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) /\ (S C_ U.n /\ T C_ U.s))) -> (n u. s) C_ J)
43 uniss 3199 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((n u. s) C_ J -> U.(n u. s) C_ U.J)
4442, 43syl 12 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) /\ ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) /\ (S C_ U.n /\ T C_ U.s))) -> U.(n u. s) C_ U.J)
4538, 44eqssd 2633 . . . . . . . . . . . 12 |- ((((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) /\ ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) /\ (S C_ U.n /\ T C_ U.s))) -> U.J = U.(n u. s))
46 unieq 3185 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (d = (n u. s) -> U.d = U.(n u. s))
4746eqeq2d 1895 . . . . . . . . . . . . 13 |- (d = (n u. s) -> (U.J = U.d <-> U.J = U.(n u. s)))
4847rcla4ev 2381 . . . . . . . . . . . 12 |- (((n u. s) e. (~Pc i^i Fin) /\ U.J = U.(n u. s)) -> E.d e. (~Pc i^i Fin)U.J = U.d)
4926, 45, 48syl11anc 524 . . . . . . . . . . 11 |- ((((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) /\ ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) /\ (S C_ U.n /\ T C_ U.s))) -> E.d e. (~Pc i^i Fin)U.J = U.d)
5049exp32 408 . . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> ((n e. (~Pc i^i Fin) /\ s e. (~Pc i^i Fin)) -> ((S C_ U.n /\ T C_ U.s) -> E.d e. (~Pc i^i Fin)U.J = U.d)))
5150r19.23advv 2218 . . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> (E.n e. (~Pc i^i Fin)E.s e. (~Pc i^i Fin)(S C_ U.n /\ T C_ U.s) -> E.d e. (~Pc i^i Fin)U.J = U.d))
52 reeanv 2249 . . . . . . . . 9 |- (E.n e. (~Pc i^i Fin)E.s e. (~Pc i^i Fin)(S C_ U.n /\ T C_ U.s) <-> (E.n e. (~Pc i^i Fin)S C_ U.n /\ E.s e. (~Pc i^i Fin)T C_ U.s))
5351, 52syl5ibr 224 . . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> ((E.n e. (~Pc i^i Fin)S C_ U.n /\ E.s e. (~Pc i^i Fin)T C_ U.s) -> E.d e. (~Pc i^i Fin)U.J = U.d))
54 simpll 448 . . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> J e. Top)
55 ssun1 2767 . . . . . . . . . . . 12 |- S C_ (S u. T)
56 sseq2 2639 . . . . . . . . . . . 12 |- (X = (S u. T) -> (S C_ X <-> S C_ (S u. T)))
5755, 56mpbiri 211 . . . . . . . . . . 11 |- (X = (S u. T) -> S C_ X)
5857ad2antlr 441 . . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> S C_ X)
5935compsub 15431 . . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> ((subSp` <.S, J>.) e. Comp <-> A.m e. ~P J(S C_ U.m -> E.n e. (~Pm i^i Fin)S C_ U.n)))
6054, 58, 59syl11anc 524 . . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> ((subSp` <.S, J>.) e. Comp <-> A.m e. ~P J(S C_ U.m -> E.n e. (~Pm i^i Fin)S C_ U.n)))
61 simprr 451 . . . . . . . . . . . 12 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> U.J = U.c)
6261, 35syl5eq 1940 . . . . . . . . . . 11 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> X = U.c)
6358, 62sseqtrd 2653 . . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> S C_ U.c)
64 unieq 3185 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (m = c -> U.m = U.c)
6564sseq2d 2645 . . . . . . . . . . . . 13 |- (m = c -> (S C_ U.m <-> S C_ U.c))
66 pweq 3036 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m = c -> ~Pm = ~Pc)
6766ineq1d 2795 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (m = c -> (~Pm i^i Fin) = (~Pc i^i Fin))
6867rexeqdv 2270 . . . . . . . . . . . . 13 |- (m = c -> (E.n e. (~Pm i^i Fin)S C_ U.n <-> E.n e. (~Pc i^i Fin)S C_ U.n))
6965, 68imbi12d 688 . . . . . . . . . . . 12 |- (m = c -> ((S C_ U.m -> E.n e. (~Pm i^i Fin)S C_ U.n) <-> (S C_ U.c -> E.n e. (~Pc i^i Fin)S C_ U.n)))
7069rcla4v 2376 . . . . . . . . . . 11 |- (c e. ~PJ -> (A.m e. ~P J(S C_ U.m -> E.n e. (~Pm i^i Fin)S C_ U.n) -> (S C_ U.c -> E.n e. (~Pc i^i Fin)S C_ U.n)))
7170ad2antrl 442 . . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> (A.m e. ~P J(S C_ U.m -> E.n e. (~Pm i^i Fin)S C_ U.n) -> (S C_ U.c -> E.n e. (~Pc i^i Fin)S C_ U.n)))
7263, 71mpid 58 . . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> (A.m e. ~P J(S C_ U.m -> E.n e. (~Pm i^i Fin)S C_ U.n) -> E.n e. (~Pc i^i Fin)S C_ U.n))
7360, 72sylbid 220 . . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> ((subSp` <.S, J>.) e. Comp -> E.n e. (~Pc i^i Fin)S C_ U.n))
74 ssun2 2768 . . . . . . . . . . . 12 |- T C_ (S u. T)
75 sseq2 2639 . . . . . . . . . . . 12 |- (X = (S u. T) -> (T C_ X <-> T C_ (S u. T)))
7674, 75mpbiri 211 . . . . . . . . . . 11 |- (X = (S u. T) -> T C_ X)
7776ad2antlr 441 . . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> T C_ X)
7835compsub 15431 . . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ T C_ X) -> ((subSp` <.T, J>.) e. Comp <-> A.r e. ~P J(T C_ U.r -> E.s e. (~Pr i^i Fin)T C_ U.s)))
7954, 77, 78syl11anc 524 . . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> ((subSp` <.T, J>.) e. Comp <-> A.r e. ~P J(T C_ U.r -> E.s e. (~Pr i^i Fin)T C_ U.s)))
8077, 62sseqtrd 2653 . . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> T C_ U.c)
81 unieq 3185 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (r = c -> U.r = U.c)
8281sseq2d 2645 . . . . . . . . . . . . 13 |- (r = c -> (T C_ U.r <-> T C_ U.c))
83 pweq 3036 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (r = c -> ~Pr = ~Pc)
8483ineq1d 2795 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (r = c -> (~Pr i^i Fin) = (~Pc i^i Fin))
8584rexeqdv 2270 . . . . . . . . . . . . 13 |- (r = c -> (E.s e. (~Pr i^i Fin)T C_ U.s <-> E.s e. (~Pc i^i Fin)T C_ U.s))
8682, 85imbi12d 688 . . . . . . . . . . . 12 |- (r = c -> ((T C_ U.r -> E.s e. (~Pr i^i Fin)T C_ U.s) <-> (T C_ U.c -> E.s e. (~Pc i^i Fin)T C_ U.s)))
8786rcla4v 2376 . . . . . . . . . . 11 |- (c e. ~PJ -> (A.r e. ~P J(T C_ U.r -> E.s e. (~Pr i^i Fin)T C_ U.s) -> (T C_ U.c -> E.s e. (~Pc i^i Fin)T C_ U.s)))
8887ad2antrl 442 . . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> (A.r e. ~P J(T C_ U.r -> E.s e. (~Pr i^i Fin)T C_ U.s) -> (T C_ U.c -> E.s e. (~Pc i^i Fin)T C_ U.s)))
8980, 88mpid 58 . . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> (A.r e. ~P J(T C_ U.r -> E.s e. (~Pr i^i Fin)T C_ U.s) -> E.s e. (~Pc i^i Fin)T C_ U.s))
9079, 89sylbid 220 . . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> ((subSp` <.T, J>.) e. Comp -> E.s e. (~Pc i^i Fin)T C_ U.s))
9153, 73, 90syl2and 508 . . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ (c e. ~PJ /\ U.J = U.c)) -> (((subSp` <.S, J>.) e. Comp /\ (subSp` <.T, J>.) e. Comp) -> E.d e. (~Pc i^i Fin)U.J = U.d))
9291ex 402 . . . . . 6 |- ((J e. Top /\ X = (S u. T)) -> ((c e. ~PJ /\ U.J = U.c) -> (((subSp` <.S, J>.) e. Comp /\ (subSp` <.T, J>.) e. Comp) -> E.d e. (~Pc i^i Fin)U.J = U.d)))
9392com23 36 . . . . 5 |- ((J e. Top /\ X = (S u. T)) -> (((subSp` <.S, J>.) e. Comp /\ (subSp` <.T, J>.) e. Comp) -> ((c e. ~PJ /\ U.J = U.c) -> E.d e. (~Pc i^i Fin)U.J = U.d)))
9493imp 377 . . . 4 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ ((subSp` <.S, J>.) e. Comp /\ (subSp` <.T, J>.) e. Comp)) -> ((c e. ~PJ /\ U.J = U.c) -> E.d e. (~Pc i^i Fin)U.J = U.d))
9594exp3a 405 . . 3 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ ((subSp` <.S, J>.) e. Comp /\ (subSp` <.T, J>.) e. Comp)) -> (c e. ~PJ -> (U.J = U.c -> E.d e. (~Pc i^i Fin)U.J = U.d)))
9695r19.21aiv 2175 . 2 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ ((subSp` <.S, J>.) e. Comp /\ (subSp` <.T, J>.) e. Comp)) -> A.c e. ~P J(U.J = U.c -> E.d e. (~Pc i^i Fin)U.J = U.d))
971, 2, 96sylanbrc 527 1 |- (((J e. Top /\ X = (S u. T)) /\ ((subSp` <.S, J>.) e. Comp /\ (subSp` <.T, J>.) e. Comp)) -> J e. Comp)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  <.cop 3046  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Fincfn 5426  Topctop 8857  subSpcsubsp 10242  Compccomp 10328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-fin 5430  df-top 8861  df-topsp 8862  df-subsp 10243  df-comp 10329
Copyright terms: Public domain