MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uncmp Unicode version

Theorem uncmp 17420
Description: The union of two compact sets is compact. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Jan-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
uncmp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
uncmp  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( ( Jt  S )  e.  Comp  /\  ( Jt  T )  e.  Comp ) )  ->  J  e.  Comp )

Proof of Theorem uncmp
Dummy variables  c 
d  m  n  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( ( Jt  S )  e.  Comp  /\  ( Jt  T )  e.  Comp ) )  ->  J  e.  Top )
2 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  J  e.  Top )
3 ssun1 3470 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  ( S  u.  T
)
4 sseq2 3330 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  ( S  u.  T )  ->  ( S  C_  X  <->  S  C_  ( S  u.  T )
) )
53, 4mpbiri 225 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  ( S  u.  T )  ->  S  C_  X )
65ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  S  C_  X
)
7 uncmp.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. J
87cmpsub 17417 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. m  e.  ~P  J ( S  C_  U. m  ->  E. n  e.  ( ~P m  i^i 
Fin ) S  C_  U. n ) ) )
92, 6, 8syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. m  e.  ~P  J ( S 
C_  U. m  ->  E. n  e.  ( ~P m  i^i 
Fin ) S  C_  U. n ) ) )
10 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  X  =  U. c )
116, 10sseqtrd 3344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  S  C_  U. c
)
12 unieq 3984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  c  ->  U. m  =  U. c )
1312sseq2d 3336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  c  ->  ( S  C_  U. m  <->  S  C_  U. c
) )
14 pweq 3762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  c  ->  ~P m  =  ~P c
)
1514ineq1d 3501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  c  ->  ( ~P m  i^i  Fin )  =  ( ~P c  i^i  Fin ) )
1615rexeqdv 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  c  ->  ( E. n  e.  ( ~P m  i^i  Fin ) S  C_  U. n  <->  E. n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. n ) )
1713, 16imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  c  ->  (
( S  C_  U. m  ->  E. n  e.  ( ~P m  i^i  Fin ) S  C_  U. n
)  <->  ( S  C_  U. c  ->  E. n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. n ) ) )
1817rspcv 3008 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ~P J  -> 
( A. m  e. 
~P  J ( S 
C_  U. m  ->  E. n  e.  ( ~P m  i^i 
Fin ) S  C_  U. n )  ->  ( S  C_  U. c  ->  E. n  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. n ) ) )
1918ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( A. m  e.  ~P  J ( S 
C_  U. m  ->  E. n  e.  ( ~P m  i^i 
Fin ) S  C_  U. n )  ->  ( S  C_  U. c  ->  E. n  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. n ) ) )
2011, 19mpid 39 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( A. m  e.  ~P  J ( S 
C_  U. m  ->  E. n  e.  ( ~P m  i^i 
Fin ) S  C_  U. n )  ->  E. n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. n ) )
219, 20sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( ( Jt  S )  e.  Comp  ->  E. n  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. n ) )
22 ssun2 3471 . . . . . . . . . 10  |-  T  C_  ( S  u.  T
)
23 sseq2 3330 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  ( S  u.  T )  ->  ( T  C_  X  <->  T  C_  ( S  u.  T )
) )
2422, 23mpbiri 225 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  ( S  u.  T )  ->  T  C_  X )
2524ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  T  C_  X
)
267cmpsub 17417 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  T  C_  X )  -> 
( ( Jt  T )  e.  Comp  <->  A. r  e.  ~P  J ( T  C_  U. r  ->  E. s  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) T  C_  U. s ) ) )
272, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( ( Jt  T )  e.  Comp  <->  A. r  e.  ~P  J ( T 
C_  U. r  ->  E. s  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) T  C_  U. s ) ) )
2825, 10sseqtrd 3344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  T  C_  U. c
)
29 unieq 3984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  c  ->  U. r  =  U. c )
3029sseq2d 3336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  c  ->  ( T  C_  U. r  <->  T  C_  U. c
) )
31 pweq 3762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  c  ->  ~P r  =  ~P c
)
3231ineq1d 3501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  c  ->  ( ~P r  i^i  Fin )  =  ( ~P c  i^i  Fin ) )
3332rexeqdv 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  c  ->  ( E. s  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) T  C_  U. s  <->  E. s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) T  C_  U. s ) )
3430, 33imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  c  ->  (
( T  C_  U. r  ->  E. s  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) T  C_  U. s
)  <->  ( T  C_  U. c  ->  E. s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) T  C_  U. s ) ) )
3534rspcv 3008 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ~P J  -> 
( A. r  e. 
~P  J ( T 
C_  U. r  ->  E. s  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) T  C_  U. s )  ->  ( T  C_  U. c  ->  E. s  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) T  C_  U. s ) ) )
3635ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( A. r  e.  ~P  J ( T 
C_  U. r  ->  E. s  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) T  C_  U. s )  ->  ( T  C_  U. c  ->  E. s  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) T  C_  U. s ) ) )
3728, 36mpid 39 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( A. r  e.  ~P  J ( T 
C_  U. r  ->  E. s  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) T  C_  U. s )  ->  E. s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) T  C_  U. s ) )
3827, 37sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( ( Jt  T )  e.  Comp  ->  E. s  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) T  C_  U. s ) )
39 reeanv 2835 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) E. s  e.  ( ~P c  i^i  Fin )
( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
)  <->  ( E. n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. n  /\  E. s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) T  C_  U. s ) )
40 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  <->  ( n  e.  ~P c  /\  n  e.  Fin ) )
4140simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  ->  n  e.  ~P c )
4241elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  ->  n  C_  c )
43 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  <->  ( s  e.  ~P c  /\  s  e.  Fin ) )
4443simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  ->  s  e.  ~P c )
4544elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  ->  s  C_  c )
4642, 45anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i  Fin )
)  ->  ( n  C_  c  /\  s  C_  c ) )
4746ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
( n  C_  c  /\  s  C_  c ) )
48 unss 3481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  C_  c  /\  s  C_  c )  <->  ( n  u.  s )  C_  c
)
4947, 48sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
( n  u.  s
)  C_  c )
5040simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  ->  n  e.  Fin )
5143simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  ->  s  e.  Fin )
52 unfi 7333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Fin  /\  s  e.  Fin )  ->  ( n  u.  s
)  e.  Fin )
5350, 51, 52syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i  Fin )
)  ->  ( n  u.  s )  e.  Fin )
5453ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
( n  u.  s
)  e.  Fin )
5549, 54jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
( ( n  u.  s )  C_  c  /\  ( n  u.  s
)  e.  Fin )
)
56 elin 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  u.  s )  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  <->  ( (
n  u.  s )  e.  ~P c  /\  ( n  u.  s
)  e.  Fin )
)
57 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  c  e. 
_V
5857elpw2 4324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  u.  s )  e.  ~P c  <->  ( n  u.  s )  C_  c
)
5958anbi1i 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  u.  s
)  e.  ~P c  /\  ( n  u.  s
)  e.  Fin )  <->  ( ( n  u.  s
)  C_  c  /\  ( n  u.  s
)  e.  Fin )
)
6056, 59bitr2i 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  u.  s
)  C_  c  /\  ( n  u.  s
)  e.  Fin )  <->  ( n  u.  s )  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) )
6155, 60sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
( n  u.  s
)  e.  ( ~P c  i^i  Fin )
)
62 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  ->  X  =  ( S  u.  T ) )
63 ssun3 3472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  U. n  ->  S  C_  ( U. n  u. 
U. s ) )
64 ssun4 3473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T 
C_  U. s  ->  T  C_  ( U. n  u. 
U. s ) )
6563, 64anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
)  ->  ( S  C_  ( U. n  u. 
U. s )  /\  T  C_  ( U. n  u.  U. s ) ) )
6665ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
( S  C_  ( U. n  u.  U. s
)  /\  T  C_  ( U. n  u.  U. s
) ) )
67 unss 3481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  ( U. n  u.  U. s
)  /\  T  C_  ( U. n  u.  U. s
) )  <->  ( S  u.  T )  C_  ( U. n  u.  U. s
) )
6866, 67sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
( S  u.  T
)  C_  ( U. n  u.  U. s
) )
6962, 68eqsstrd 3342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  ->  X  C_  ( U. n  u.  U. s ) )
70 uniun 3994 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (
n  u.  s )  =  ( U. n  u.  U. s )
7169, 70syl6sseqr 3355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  ->  X  C_  U. ( n  u.  s ) )
72 elpwi 3767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  ~P J  -> 
c  C_  J )
7372adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c )  ->  c  C_  J )
7473ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
c  C_  J )
7549, 74sstrd 3318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
( n  u.  s
)  C_  J )
76 uniss 3996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  u.  s ) 
C_  J  ->  U. (
n  u.  s ) 
C_  U. J )
7776, 7syl6sseqr 3355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  u.  s ) 
C_  J  ->  U. (
n  u.  s ) 
C_  X )
7875, 77syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  ->  U. ( n  u.  s
)  C_  X )
7971, 78eqssd 3325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  ->  X  =  U. (
n  u.  s ) )
80 unieq 3984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( n  u.  s )  ->  U. d  =  U. ( n  u.  s ) )
8180eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( n  u.  s )  ->  ( X  =  U. d  <->  X  =  U. ( n  u.  s ) ) )
8281rspcev 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  u.  s
)  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  X  =  U. ( n  u.  s
) )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d )
8361, 79, 82syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)
8483exp32 589 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d ) ) )
8584rexlimdvv 2796 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( E. n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) E. s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( S 
C_  U. n  /\  T  C_ 
U. s )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
) )
8639, 85syl5bir 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( ( E. n  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. n  /\  E. s  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) T  C_  U. s )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) )
8721, 38, 86syl2and 470 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( ( ( Jt  S )  e.  Comp  /\  ( Jt  T )  e.  Comp )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) )
8887impancom 428 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( ( Jt  S )  e.  Comp  /\  ( Jt  T )  e.  Comp ) )  ->  (
( c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d ) )
8988exp3a 426 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( ( Jt  S )  e.  Comp  /\  ( Jt  T )  e.  Comp ) )  ->  (
c  e.  ~P J  ->  ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) ) )
9089ralrimiv 2748 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( ( Jt  S )  e.  Comp  /\  ( Jt  T )  e.  Comp ) )  ->  A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
) )
917iscmp 17405 . 2  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
) ) )
921, 90, 91sylanbrc 646 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( ( Jt  S )  e.  Comp  /\  ( Jt  T )  e.  Comp ) )  ->  J  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   ↾t crest 13603   Topctop 16913   Compccmp 17403
This theorem is referenced by:  fiuncmp  17421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404
  Copyright terms: Public domain W3C validator