Theorem uncmp 19011

Description: The union of two compact sets is compact. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Jan-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
uncmp.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
uncmp	|- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> J e. Comp )

Proof of Theorem uncmp

Dummy variables c d m n r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 753	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> J e. Top )
2		simpll 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> J e. Top )
3		ssun1 3524	. . . . . . . . . 10 |- S C_ ( S u. T )
4		sseq2 3383	. . . . . . . . . 10 |- ( X = ( S u. T ) -> ( S C_ X <-> S C_ ( S u. T ) ) )
5	3, 4	mpbiri 233	. . . . . . . . 9 |- ( X = ( S u. T ) -> S C_ X )
6	5	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> S C_ X )
7		uncmp.1	. . . . . . . . 9 |- X = U. J
8	7	cmpsub 19008	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
9	2, 6, 8	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
10		simprr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> X = U. c )
11	6, 10	sseqtrd 3397	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> S C_ U. c )
12		unieq 4104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = c -> U. m = U. c )
13	12	sseq2d 3389	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = c -> ( S C_ U. m <-> S C_ U. c ) )
14		pweq 3868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = c -> ~P m = ~P c )
15	14	ineq1d 3556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = c -> ( ~P m i^i Fin ) = ( ~P c i^i Fin ) )
16	15	rexeqdv 2929	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = c -> ( E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n <-> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) )
17	13, 16	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( m = c -> ( ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) <-> ( S C_ U. c -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
18	17	rspcv 3074	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ~P J -> ( A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) -> ( S C_ U. c -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
19	18	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) -> ( S C_ U. c -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
20	11, 19	mpid 41	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) )
21	9, 20	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) )
22		ssun2 3525	. . . . . . . . . 10 |- T C_ ( S u. T )
23		sseq2 3383	. . . . . . . . . 10 |- ( X = ( S u. T ) -> ( T C_ X <-> T C_ ( S u. T ) ) )
24	22, 23	mpbiri 233	. . . . . . . . 9 |- ( X = ( S u. T ) -> T C_ X )
25	24	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> T C_ X )
26	7	cmpsub 19008	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ T C_ X ) -> ( ( J ↾t T ) e. Comp <-> A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
27	2, 25, 26	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( J ↾t T ) e. Comp <-> A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
28	25, 10	sseqtrd 3397	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> T C_ U. c )
29		unieq 4104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = c -> U. r = U. c )
30	29	sseq2d 3389	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = c -> ( T C_ U. r <-> T C_ U. c ) )
31		pweq 3868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = c -> ~P r = ~P c )
32	31	ineq1d 3556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = c -> ( ~P r i^i Fin ) = ( ~P c i^i Fin ) )
33	32	rexeqdv 2929	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = c -> ( E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s <-> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) )
34	30, 33	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( r = c -> ( ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) <-> ( T C_ U. c -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
35	34	rspcv 3074	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ~P J -> ( A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) -> ( T C_ U. c -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
36	35	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) -> ( T C_ U. c -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
37	28, 36	mpid 41	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) )
38	27, 37	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( J ↾t T ) e. Comp -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) )
39		reeanv 2893	. . . . . . 7 |- ( E. n e. ( ~P c i^i Fin ) E. s e. ( ~P c i^i Fin ) ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) <-> ( E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n /\ E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) )
40		elin 3544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( n e. ~P c /\ n e. Fin ) )
41	40	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ~P c i^i Fin ) -> n e. ~P c )
42	41	elpwid 3875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ~P c i^i Fin ) -> n C_ c )
43		elin 3544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( s e. ~P c /\ s e. Fin ) )
44	43	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. ( ~P c i^i Fin ) -> s e. ~P c )
45	44	elpwid 3875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( ~P c i^i Fin ) -> s C_ c )
46	42, 45	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) -> ( n C_ c /\ s C_ c ) )
47	46	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n C_ c /\ s C_ c ) )
48		unss 3535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n C_ c /\ s C_ c ) <-> ( n u. s ) C_ c )
49	47, 48	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n u. s ) C_ c )
50	40	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ~P c i^i Fin ) -> n e. Fin )
51	43	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. ( ~P c i^i Fin ) -> s e. Fin )
52		unfi 7584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. Fin /\ s e. Fin ) -> ( n u. s ) e. Fin )
53	50, 51, 52	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) -> ( n u. s ) e. Fin )
54	53	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n u. s ) e. Fin )
55	49, 54	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( ( n u. s ) C_ c /\ ( n u. s ) e. Fin ) )
56		elin 3544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n u. s ) e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( ( n u. s ) e. ~P c /\ ( n u. s ) e. Fin ) )
57		vex 2980	. . . . . . . . . . . . . 14 |- c e. _V
58	57	elpw2 4461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n u. s ) e. ~P c <-> ( n u. s ) C_ c )
59	58	anbi1i 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n u. s ) e. ~P c /\ ( n u. s ) e. Fin ) <-> ( ( n u. s ) C_ c /\ ( n u. s ) e. Fin ) )
60	56, 59	bitr2i 250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n u. s ) C_ c /\ ( n u. s ) e. Fin ) <-> ( n u. s ) e. ( ~P c i^i Fin ) )
61	55, 60	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n u. s ) e. ( ~P c i^i Fin ) )
62		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> X = ( S u. T ) )
63		ssun3 3526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S C_ U. n -> S C_ ( U. n u. U. s ) )
64		ssun4 3527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T C_ U. s -> T C_ ( U. n u. U. s ) )
65	63, 64	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) -> ( S C_ ( U. n u. U. s ) /\ T C_ ( U. n u. U. s ) ) )
66	65	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( S C_ ( U. n u. U. s ) /\ T C_ ( U. n u. U. s ) ) )
67		unss 3535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ ( U. n u. U. s ) /\ T C_ ( U. n u. U. s ) ) <-> ( S u. T ) C_ ( U. n u. U. s ) )
68	66, 67	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( S u. T ) C_ ( U. n u. U. s ) )
69	62, 68	eqsstrd 3395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> X C_ ( U. n u. U. s ) )
70		uniun 4115	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( n u. s ) = ( U. n u. U. s )
71	69, 70	syl6sseqr 3408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> X C_ U. ( n u. s ) )
72		elpwi 3874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c e. ~P J -> c C_ J )
73	72	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. ~P J /\ X = U. c ) -> c C_ J )
74	73	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> c C_ J )
75	49, 74	sstrd 3371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n u. s ) C_ J )
76		uniss 4117	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n u. s ) C_ J -> U. ( n u. s ) C_ U. J )
77	76, 7	syl6sseqr 3408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n u. s ) C_ J -> U. ( n u. s ) C_ X )
78	75, 77	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> U. ( n u. s ) C_ X )
79	71, 78	eqssd 3378	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> X = U. ( n u. s ) )
80		unieq 4104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( n u. s ) -> U. d = U. ( n u. s ) )
81	80	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( n u. s ) -> ( X = U. d <-> X = U. ( n u. s ) ) )
82	81	rspcev 3078	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n u. s ) e. ( ~P c i^i Fin ) /\ X = U. ( n u. s ) ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
83	61, 79, 82	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
84	83	exp32 605	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) -> ( ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
85	84	rexlimdvv 2852	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( E. n e. ( ~P c i^i Fin ) E. s e. ( ~P c i^i Fin ) ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
86	39, 85	syl5bir 218	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n /\ E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
87	21, 38, 86	syl2and 483	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
88	87	impancom 440	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> ( ( c e. ~P J /\ X = U. c ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
89	88	expd 436	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> ( c e. ~P J -> ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
90	89	ralrimiv 2803	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
91	7	iscmp 18996	. 2 |- ( J e. Comp <-> ( J e. Top /\ A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
92	1, 90, 91	sylanbrc 664	1 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> J e. Comp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   u. cun 3331   i^i cin 3332   C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   U.cuni 4096  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   ↾_t crest 14364   Topctop 18503   Compccmp 18994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-fin 7319  df-fi 7666  df-rest 14366  df-topgen 14387  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-cmp 18995

This theorem is referenced by:  fiuncmp  19012