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Theorem uncmp 19011
Description: The union of two compact sets is compact. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Jan-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
uncmp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
uncmp  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( ( Jt  S )  e.  Comp  /\  ( Jt  T )  e.  Comp ) )  ->  J  e.  Comp )

Proof of Theorem uncmp
Dummy variables  c 
d  m  n  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( ( Jt  S )  e.  Comp  /\  ( Jt  T )  e.  Comp ) )  ->  J  e.  Top )
2 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  J  e.  Top )
3 ssun1 3524 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  ( S  u.  T
)
4 sseq2 3383 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  ( S  u.  T )  ->  ( S  C_  X  <->  S  C_  ( S  u.  T )
) )
53, 4mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  ( S  u.  T )  ->  S  C_  X )
65ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  S  C_  X
)
7 uncmp.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. J
87cmpsub 19008 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. m  e.  ~P  J ( S  C_  U. m  ->  E. n  e.  ( ~P m  i^i 
Fin ) S  C_  U. n ) ) )
92, 6, 8syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. m  e.  ~P  J ( S 
C_  U. m  ->  E. n  e.  ( ~P m  i^i 
Fin ) S  C_  U. n ) ) )
10 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  X  =  U. c )
116, 10sseqtrd 3397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  S  C_  U. c
)
12 unieq 4104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  c  ->  U. m  =  U. c )
1312sseq2d 3389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  c  ->  ( S  C_  U. m  <->  S  C_  U. c
) )
14 pweq 3868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  c  ->  ~P m  =  ~P c
)
1514ineq1d 3556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  c  ->  ( ~P m  i^i  Fin )  =  ( ~P c  i^i  Fin ) )
1615rexeqdv 2929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  c  ->  ( E. n  e.  ( ~P m  i^i  Fin ) S  C_  U. n  <->  E. n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. n ) )
1713, 16imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  c  ->  (
( S  C_  U. m  ->  E. n  e.  ( ~P m  i^i  Fin ) S  C_  U. n
)  <->  ( S  C_  U. c  ->  E. n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. n ) ) )
1817rspcv 3074 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ~P J  -> 
( A. m  e. 
~P  J ( S 
C_  U. m  ->  E. n  e.  ( ~P m  i^i 
Fin ) S  C_  U. n )  ->  ( S  C_  U. c  ->  E. n  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. n ) ) )
1918ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( A. m  e.  ~P  J ( S 
C_  U. m  ->  E. n  e.  ( ~P m  i^i 
Fin ) S  C_  U. n )  ->  ( S  C_  U. c  ->  E. n  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. n ) ) )
2011, 19mpid 41 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( A. m  e.  ~P  J ( S 
C_  U. m  ->  E. n  e.  ( ~P m  i^i 
Fin ) S  C_  U. n )  ->  E. n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. n ) )
219, 20sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( ( Jt  S )  e.  Comp  ->  E. n  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. n ) )
22 ssun2 3525 . . . . . . . . . 10  |-  T  C_  ( S  u.  T
)
23 sseq2 3383 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  ( S  u.  T )  ->  ( T  C_  X  <->  T  C_  ( S  u.  T )
) )
2422, 23mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  ( S  u.  T )  ->  T  C_  X )
2524ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  T  C_  X
)
267cmpsub 19008 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  T  C_  X )  -> 
( ( Jt  T )  e.  Comp  <->  A. r  e.  ~P  J ( T  C_  U. r  ->  E. s  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) T  C_  U. s ) ) )
272, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( ( Jt  T )  e.  Comp  <->  A. r  e.  ~P  J ( T 
C_  U. r  ->  E. s  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) T  C_  U. s ) ) )
2825, 10sseqtrd 3397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  T  C_  U. c
)
29 unieq 4104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  c  ->  U. r  =  U. c )
3029sseq2d 3389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  c  ->  ( T  C_  U. r  <->  T  C_  U. c
) )
31 pweq 3868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  c  ->  ~P r  =  ~P c
)
3231ineq1d 3556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  c  ->  ( ~P r  i^i  Fin )  =  ( ~P c  i^i  Fin ) )
3332rexeqdv 2929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  c  ->  ( E. s  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) T  C_  U. s  <->  E. s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) T  C_  U. s ) )
3430, 33imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  c  ->  (
( T  C_  U. r  ->  E. s  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) T  C_  U. s
)  <->  ( T  C_  U. c  ->  E. s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) T  C_  U. s ) ) )
3534rspcv 3074 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ~P J  -> 
( A. r  e. 
~P  J ( T 
C_  U. r  ->  E. s  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) T  C_  U. s )  ->  ( T  C_  U. c  ->  E. s  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) T  C_  U. s ) ) )
3635ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( A. r  e.  ~P  J ( T 
C_  U. r  ->  E. s  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) T  C_  U. s )  ->  ( T  C_  U. c  ->  E. s  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) T  C_  U. s ) ) )
3728, 36mpid 41 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( A. r  e.  ~P  J ( T 
C_  U. r  ->  E. s  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) T  C_  U. s )  ->  E. s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) T  C_  U. s ) )
3827, 37sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( ( Jt  T )  e.  Comp  ->  E. s  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) T  C_  U. s ) )
39 reeanv 2893 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) E. s  e.  ( ~P c  i^i  Fin )
( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
)  <->  ( E. n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. n  /\  E. s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) T  C_  U. s ) )
40 elin 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  <->  ( n  e.  ~P c  /\  n  e.  Fin ) )
4140simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  ->  n  e.  ~P c )
4241elpwid 3875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  ->  n  C_  c )
43 elin 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  <->  ( s  e.  ~P c  /\  s  e.  Fin ) )
4443simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  ->  s  e.  ~P c )
4544elpwid 3875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  ->  s  C_  c )
4642, 45anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i  Fin )
)  ->  ( n  C_  c  /\  s  C_  c ) )
4746ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
( n  C_  c  /\  s  C_  c ) )
48 unss 3535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  C_  c  /\  s  C_  c )  <->  ( n  u.  s )  C_  c
)
4947, 48sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
( n  u.  s
)  C_  c )
5040simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  ->  n  e.  Fin )
5143simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  ->  s  e.  Fin )
52 unfi 7584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Fin  /\  s  e.  Fin )  ->  ( n  u.  s
)  e.  Fin )
5350, 51, 52syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i  Fin )
)  ->  ( n  u.  s )  e.  Fin )
5453ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
( n  u.  s
)  e.  Fin )
5549, 54jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
( ( n  u.  s )  C_  c  /\  ( n  u.  s
)  e.  Fin )
)
56 elin 3544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  u.  s )  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  <->  ( (
n  u.  s )  e.  ~P c  /\  ( n  u.  s
)  e.  Fin )
)
57 vex 2980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  c  e. 
_V
5857elpw2 4461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  u.  s )  e.  ~P c  <->  ( n  u.  s )  C_  c
)
5958anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  u.  s
)  e.  ~P c  /\  ( n  u.  s
)  e.  Fin )  <->  ( ( n  u.  s
)  C_  c  /\  ( n  u.  s
)  e.  Fin )
)
6056, 59bitr2i 250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  u.  s
)  C_  c  /\  ( n  u.  s
)  e.  Fin )  <->  ( n  u.  s )  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) )
6155, 60sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
( n  u.  s
)  e.  ( ~P c  i^i  Fin )
)
62 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  ->  X  =  ( S  u.  T ) )
63 ssun3 3526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  U. n  ->  S  C_  ( U. n  u. 
U. s ) )
64 ssun4 3527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T 
C_  U. s  ->  T  C_  ( U. n  u. 
U. s ) )
6563, 64anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
)  ->  ( S  C_  ( U. n  u. 
U. s )  /\  T  C_  ( U. n  u.  U. s ) ) )
6665ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
( S  C_  ( U. n  u.  U. s
)  /\  T  C_  ( U. n  u.  U. s
) ) )
67 unss 3535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  ( U. n  u.  U. s
)  /\  T  C_  ( U. n  u.  U. s
) )  <->  ( S  u.  T )  C_  ( U. n  u.  U. s
) )
6866, 67sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
( S  u.  T
)  C_  ( U. n  u.  U. s
) )
6962, 68eqsstrd 3395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  ->  X  C_  ( U. n  u.  U. s ) )
70 uniun 4115 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (
n  u.  s )  =  ( U. n  u.  U. s )
7169, 70syl6sseqr 3408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  ->  X  C_  U. ( n  u.  s ) )
72 elpwi 3874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  ~P J  -> 
c  C_  J )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c )  ->  c  C_  J )
7473ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
c  C_  J )
7549, 74sstrd 3371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  -> 
( n  u.  s
)  C_  J )
76 uniss 4117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  u.  s ) 
C_  J  ->  U. (
n  u.  s ) 
C_  U. J )
7776, 7syl6sseqr 3408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  u.  s ) 
C_  J  ->  U. (
n  u.  s ) 
C_  X )
7875, 77syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  ->  U. ( n  u.  s
)  C_  X )
7971, 78eqssd 3378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  ->  X  =  U. (
n  u.  s ) )
80 unieq 4104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( n  u.  s )  ->  U. d  =  U. ( n  u.  s ) )
8180eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( n  u.  s )  ->  ( X  =  U. d  <->  X  =  U. ( n  u.  s ) ) )
8281rspcev 3078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  u.  s
)  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  X  =  U. ( n  u.  s
) )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d )
8361, 79, 82syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  X  =  ( S  u.  T
) )  /\  (
c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c ) )  /\  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  /\  ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s
) ) )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
)
8483exp32 605 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( ( n  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( S  C_  U. n  /\  T  C_  U. s )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d ) ) )
8584rexlimdvv 2852 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( E. n  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) E. s  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) ( S 
C_  U. n  /\  T  C_ 
U. s )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
) )
8639, 85syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( ( E. n  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. n  /\  E. s  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) T  C_  U. s )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) )
8721, 38, 86syl2and 483 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( c  e. 
~P J  /\  X  =  U. c ) )  ->  ( ( ( Jt  S )  e.  Comp  /\  ( Jt  T )  e.  Comp )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) )
8887impancom 440 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( ( Jt  S )  e.  Comp  /\  ( Jt  T )  e.  Comp ) )  ->  (
( c  e.  ~P J  /\  X  =  U. c )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) X  = 
U. d ) )
8988expd 436 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( ( Jt  S )  e.  Comp  /\  ( Jt  T )  e.  Comp ) )  ->  (
c  e.  ~P J  ->  ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d ) ) )
9089ralrimiv 2803 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( ( Jt  S )  e.  Comp  /\  ( Jt  T )  e.  Comp ) )  ->  A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
) )
917iscmp 18996 . 2  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. c  e.  ~P  J ( X  =  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) X  =  U. d
) ) )
921, 90, 91sylanbrc 664 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  X  =  ( S  u.  T ) )  /\  ( ( Jt  S )  e.  Comp  /\  ( Jt  T )  e.  Comp ) )  ->  J  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721    u. cun 3331    i^i cin 3332    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   U.cuni 4096  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   ↾t crest 14364   Topctop 18503   Compccmp 18994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-fin 7319  df-fi 7666  df-rest 14366  df-topgen 14387  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-cmp 18995
This theorem is referenced by:  fiuncmp  19012
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