Theorem uncmp 20404

Description: The union of two compact sets is compact. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Jan-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
uncmp.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
uncmp	|- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> J e. Comp )

Proof of Theorem uncmp

Dummy variables c d m n r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 758	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> J e. Top )
2		simpll 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> J e. Top )
3		ssun1 3629	. . . . . . . . . 10 |- S C_ ( S u. T )
4		sseq2 3486	. . . . . . . . . 10 |- ( X = ( S u. T ) -> ( S C_ X <-> S C_ ( S u. T ) ) )
5	3, 4	mpbiri 236	. . . . . . . . 9 |- ( X = ( S u. T ) -> S C_ X )
6	5	ad2antlr 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> S C_ X )
7		uncmp.1	. . . . . . . . 9 |- X = U. J
8	7	cmpsub 20401	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
9	2, 6, 8	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
10		simprr 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> X = U. c )
11	6, 10	sseqtrd 3500	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> S C_ U. c )
12		unieq 4224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = c -> U. m = U. c )
13	12	sseq2d 3492	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = c -> ( S C_ U. m <-> S C_ U. c ) )
14		pweq 3982	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = c -> ~P m = ~P c )
15	14	ineq1d 3663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = c -> ( ~P m i^i Fin ) = ( ~P c i^i Fin ) )
16	15	rexeqdv 3032	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = c -> ( E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n <-> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) )
17	13, 16	imbi12d 321	. . . . . . . . . 10 |- ( m = c -> ( ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) <-> ( S C_ U. c -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
18	17	rspcv 3178	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ~P J -> ( A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) -> ( S C_ U. c -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
19	18	ad2antrl 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) -> ( S C_ U. c -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
20	11, 19	mpid 42	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) )
21	9, 20	sylbid 218	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) )
22		ssun2 3630	. . . . . . . . . 10 |- T C_ ( S u. T )
23		sseq2 3486	. . . . . . . . . 10 |- ( X = ( S u. T ) -> ( T C_ X <-> T C_ ( S u. T ) ) )
24	22, 23	mpbiri 236	. . . . . . . . 9 |- ( X = ( S u. T ) -> T C_ X )
25	24	ad2antlr 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> T C_ X )
26	7	cmpsub 20401	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ T C_ X ) -> ( ( J ↾t T ) e. Comp <-> A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
27	2, 25, 26	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( J ↾t T ) e. Comp <-> A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
28	25, 10	sseqtrd 3500	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> T C_ U. c )
29		unieq 4224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = c -> U. r = U. c )
30	29	sseq2d 3492	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = c -> ( T C_ U. r <-> T C_ U. c ) )
31		pweq 3982	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = c -> ~P r = ~P c )
32	31	ineq1d 3663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = c -> ( ~P r i^i Fin ) = ( ~P c i^i Fin ) )
33	32	rexeqdv 3032	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = c -> ( E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s <-> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) )
34	30, 33	imbi12d 321	. . . . . . . . . 10 |- ( r = c -> ( ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) <-> ( T C_ U. c -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
35	34	rspcv 3178	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ~P J -> ( A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) -> ( T C_ U. c -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
36	35	ad2antrl 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) -> ( T C_ U. c -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
37	28, 36	mpid 42	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) )
38	27, 37	sylbid 218	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( J ↾t T ) e. Comp -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) )
39		reeanv 2996	. . . . . . 7 |- ( E. n e. ( ~P c i^i Fin ) E. s e. ( ~P c i^i Fin ) ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) <-> ( E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n /\ E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) )
40		elin 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( n e. ~P c /\ n e. Fin ) )
41	40	simplbi 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ~P c i^i Fin ) -> n e. ~P c )
42	41	elpwid 3989	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ~P c i^i Fin ) -> n C_ c )
43		elin 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( s e. ~P c /\ s e. Fin ) )
44	43	simplbi 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. ( ~P c i^i Fin ) -> s e. ~P c )
45	44	elpwid 3989	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( ~P c i^i Fin ) -> s C_ c )
46	42, 45	anim12i 568	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) -> ( n C_ c /\ s C_ c ) )
47	46	ad2antrl 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n C_ c /\ s C_ c ) )
48		unss 3640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n C_ c /\ s C_ c ) <-> ( n u. s ) C_ c )
49	47, 48	sylib 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n u. s ) C_ c )
50	40	simprbi 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ~P c i^i Fin ) -> n e. Fin )
51	43	simprbi 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. ( ~P c i^i Fin ) -> s e. Fin )
52		unfi 7840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. Fin /\ s e. Fin ) -> ( n u. s ) e. Fin )
53	50, 51, 52	syl2an 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) -> ( n u. s ) e. Fin )
54	53	ad2antrl 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n u. s ) e. Fin )
55	49, 54	jca 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( ( n u. s ) C_ c /\ ( n u. s ) e. Fin ) )
56		elin 3649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n u. s ) e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( ( n u. s ) e. ~P c /\ ( n u. s ) e. Fin ) )
57		vex 3084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- c e. _V
58	57	elpw2 4584	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n u. s ) e. ~P c <-> ( n u. s ) C_ c )
59	58	anbi1i 699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n u. s ) e. ~P c /\ ( n u. s ) e. Fin ) <-> ( ( n u. s ) C_ c /\ ( n u. s ) e. Fin ) )
60	56, 59	bitr2i 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n u. s ) C_ c /\ ( n u. s ) e. Fin ) <-> ( n u. s ) e. ( ~P c i^i Fin ) )
61	55, 60	sylib 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n u. s ) e. ( ~P c i^i Fin ) )
62		simpllr 767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> X = ( S u. T ) )
63		ssun3 3631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S C_ U. n -> S C_ ( U. n u. U. s ) )
64		ssun4 3632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T C_ U. s -> T C_ ( U. n u. U. s ) )
65	63, 64	anim12i 568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) -> ( S C_ ( U. n u. U. s ) /\ T C_ ( U. n u. U. s ) ) )
66	65	ad2antll 733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( S C_ ( U. n u. U. s ) /\ T C_ ( U. n u. U. s ) ) )
67		unss 3640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ ( U. n u. U. s ) /\ T C_ ( U. n u. U. s ) ) <-> ( S u. T ) C_ ( U. n u. U. s ) )
68	66, 67	sylib 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( S u. T ) C_ ( U. n u. U. s ) )
69	62, 68	eqsstrd 3498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> X C_ ( U. n u. U. s ) )
70		uniun 4235	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( n u. s ) = ( U. n u. U. s )
71	69, 70	syl6sseqr 3511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> X C_ U. ( n u. s ) )
72		elpwi 3988	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c e. ~P J -> c C_ J )
73	72	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. ~P J /\ X = U. c ) -> c C_ J )
74	73	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> c C_ J )
75	49, 74	sstrd 3474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n u. s ) C_ J )
76		uniss 4237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n u. s ) C_ J -> U. ( n u. s ) C_ U. J )
77	76, 7	syl6sseqr 3511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n u. s ) C_ J -> U. ( n u. s ) C_ X )
78	75, 77	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> U. ( n u. s ) C_ X )
79	71, 78	eqssd 3481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> X = U. ( n u. s ) )
80		unieq 4224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( n u. s ) -> U. d = U. ( n u. s ) )
81	80	eqeq2d 2436	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( n u. s ) -> ( X = U. d <-> X = U. ( n u. s ) ) )
82	81	rspcev 3182	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n u. s ) e. ( ~P c i^i Fin ) /\ X = U. ( n u. s ) ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
83	61, 79, 82	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
84	83	exp32 608	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) -> ( ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
85	84	rexlimdvv 2923	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( E. n e. ( ~P c i^i Fin ) E. s e. ( ~P c i^i Fin ) ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
86	39, 85	syl5bir 221	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n /\ E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
87	21, 38, 86	syl2and 485	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
88	87	impancom 441	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> ( ( c e. ~P J /\ X = U. c ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
89	88	expd 437	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> ( c e. ~P J -> ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
90	89	ralrimiv 2837	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
91	7	iscmp 20389	. 2 |- ( J e. Comp <-> ( J e. Top /\ A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
92	1, 90, 91	sylanbrc 668	1 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> J e. Comp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   u. cun 3434   i^i cin 3435   C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216  (class class class)co 6301   Fincfn 7573   ↾_t crest 15306   Topctop 19903   Compccmp 20387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-fin 7577  df-fi 7927  df-rest 15308  df-topgen 15329  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-cmp 20388

This theorem is referenced by:  fiuncmp  20405