Theorem uncmp 20030

Description: The union of two compact sets is compact. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Jan-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
uncmp.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
uncmp	|- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> J e. Comp )

Proof of Theorem uncmp

Dummy variables c d m n r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 753	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> J e. Top )
2		simpll 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> J e. Top )
3		ssun1 3663	. . . . . . . . . 10 |- S C_ ( S u. T )
4		sseq2 3521	. . . . . . . . . 10 |- ( X = ( S u. T ) -> ( S C_ X <-> S C_ ( S u. T ) ) )
5	3, 4	mpbiri 233	. . . . . . . . 9 |- ( X = ( S u. T ) -> S C_ X )
6	5	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> S C_ X )
7		uncmp.1	. . . . . . . . 9 |- X = U. J
8	7	cmpsub 20027	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
9	2, 6, 8	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
10		simprr 757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> X = U. c )
11	6, 10	sseqtrd 3535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> S C_ U. c )
12		unieq 4259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = c -> U. m = U. c )
13	12	sseq2d 3527	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = c -> ( S C_ U. m <-> S C_ U. c ) )
14		pweq 4018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = c -> ~P m = ~P c )
15	14	ineq1d 3695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = c -> ( ~P m i^i Fin ) = ( ~P c i^i Fin ) )
16	15	rexeqdv 3061	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = c -> ( E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n <-> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) )
17	13, 16	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( m = c -> ( ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) <-> ( S C_ U. c -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
18	17	rspcv 3206	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ~P J -> ( A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) -> ( S C_ U. c -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
19	18	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) -> ( S C_ U. c -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) ) )
20	11, 19	mpid 41	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( A. m e. ~P J ( S C_ U. m -> E. n e. ( ~P m i^i Fin ) S C_ U. n ) -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) )
21	9, 20	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp -> E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n ) )
22		ssun2 3664	. . . . . . . . . 10 |- T C_ ( S u. T )
23		sseq2 3521	. . . . . . . . . 10 |- ( X = ( S u. T ) -> ( T C_ X <-> T C_ ( S u. T ) ) )
24	22, 23	mpbiri 233	. . . . . . . . 9 |- ( X = ( S u. T ) -> T C_ X )
25	24	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> T C_ X )
26	7	cmpsub 20027	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ T C_ X ) -> ( ( J ↾t T ) e. Comp <-> A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
27	2, 25, 26	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( J ↾t T ) e. Comp <-> A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
28	25, 10	sseqtrd 3535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> T C_ U. c )
29		unieq 4259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = c -> U. r = U. c )
30	29	sseq2d 3527	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = c -> ( T C_ U. r <-> T C_ U. c ) )
31		pweq 4018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = c -> ~P r = ~P c )
32	31	ineq1d 3695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = c -> ( ~P r i^i Fin ) = ( ~P c i^i Fin ) )
33	32	rexeqdv 3061	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = c -> ( E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s <-> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) )
34	30, 33	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( r = c -> ( ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) <-> ( T C_ U. c -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
35	34	rspcv 3206	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ~P J -> ( A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) -> ( T C_ U. c -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
36	35	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) -> ( T C_ U. c -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) ) )
37	28, 36	mpid 41	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( A. r e. ~P J ( T C_ U. r -> E. s e. ( ~P r i^i Fin ) T C_ U. s ) -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) )
38	27, 37	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( J ↾t T ) e. Comp -> E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) )
39		reeanv 3025	. . . . . . 7 |- ( E. n e. ( ~P c i^i Fin ) E. s e. ( ~P c i^i Fin ) ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) <-> ( E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n /\ E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) )
40		elin 3683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( n e. ~P c /\ n e. Fin ) )
41	40	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ~P c i^i Fin ) -> n e. ~P c )
42	41	elpwid 4025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ~P c i^i Fin ) -> n C_ c )
43		elin 3683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( s e. ~P c /\ s e. Fin ) )
44	43	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. ( ~P c i^i Fin ) -> s e. ~P c )
45	44	elpwid 4025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( ~P c i^i Fin ) -> s C_ c )
46	42, 45	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) -> ( n C_ c /\ s C_ c ) )
47	46	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n C_ c /\ s C_ c ) )
48		unss 3674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n C_ c /\ s C_ c ) <-> ( n u. s ) C_ c )
49	47, 48	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n u. s ) C_ c )
50	40	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ~P c i^i Fin ) -> n e. Fin )
51	43	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. ( ~P c i^i Fin ) -> s e. Fin )
52		unfi 7805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. Fin /\ s e. Fin ) -> ( n u. s ) e. Fin )
53	50, 51, 52	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) -> ( n u. s ) e. Fin )
54	53	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n u. s ) e. Fin )
55	49, 54	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( ( n u. s ) C_ c /\ ( n u. s ) e. Fin ) )
56		elin 3683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n u. s ) e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( ( n u. s ) e. ~P c /\ ( n u. s ) e. Fin ) )
57		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- c e. _V
58	57	elpw2 4620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n u. s ) e. ~P c <-> ( n u. s ) C_ c )
59	58	anbi1i 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n u. s ) e. ~P c /\ ( n u. s ) e. Fin ) <-> ( ( n u. s ) C_ c /\ ( n u. s ) e. Fin ) )
60	56, 59	bitr2i 250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n u. s ) C_ c /\ ( n u. s ) e. Fin ) <-> ( n u. s ) e. ( ~P c i^i Fin ) )
61	55, 60	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n u. s ) e. ( ~P c i^i Fin ) )
62		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> X = ( S u. T ) )
63		ssun3 3665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S C_ U. n -> S C_ ( U. n u. U. s ) )
64		ssun4 3666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T C_ U. s -> T C_ ( U. n u. U. s ) )
65	63, 64	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) -> ( S C_ ( U. n u. U. s ) /\ T C_ ( U. n u. U. s ) ) )
66	65	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( S C_ ( U. n u. U. s ) /\ T C_ ( U. n u. U. s ) ) )
67		unss 3674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ ( U. n u. U. s ) /\ T C_ ( U. n u. U. s ) ) <-> ( S u. T ) C_ ( U. n u. U. s ) )
68	66, 67	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( S u. T ) C_ ( U. n u. U. s ) )
69	62, 68	eqsstrd 3533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> X C_ ( U. n u. U. s ) )
70		uniun 4270	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( n u. s ) = ( U. n u. U. s )
71	69, 70	syl6sseqr 3546	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> X C_ U. ( n u. s ) )
72		elpwi 4024	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c e. ~P J -> c C_ J )
73	72	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. ~P J /\ X = U. c ) -> c C_ J )
74	73	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> c C_ J )
75	49, 74	sstrd 3509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> ( n u. s ) C_ J )
76		uniss 4272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n u. s ) C_ J -> U. ( n u. s ) C_ U. J )
77	76, 7	syl6sseqr 3546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n u. s ) C_ J -> U. ( n u. s ) C_ X )
78	75, 77	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> U. ( n u. s ) C_ X )
79	71, 78	eqssd 3516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> X = U. ( n u. s ) )
80		unieq 4259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( n u. s ) -> U. d = U. ( n u. s ) )
81	80	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( n u. s ) -> ( X = U. d <-> X = U. ( n u. s ) ) )
82	81	rspcev 3210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n u. s ) e. ( ~P c i^i Fin ) /\ X = U. ( n u. s ) ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
83	61, 79, 82	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) /\ ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) /\ ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) ) ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
84	83	exp32 605	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( n e. ( ~P c i^i Fin ) /\ s e. ( ~P c i^i Fin ) ) -> ( ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
85	84	rexlimdvv 2955	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( E. n e. ( ~P c i^i Fin ) E. s e. ( ~P c i^i Fin ) ( S C_ U. n /\ T C_ U. s ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
86	39, 85	syl5bir 218	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( E. n e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. n /\ E. s e. ( ~P c i^i Fin ) T C_ U. s ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
87	21, 38, 86	syl2and 483	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( c e. ~P J /\ X = U. c ) ) -> ( ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
88	87	impancom 440	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> ( ( c e. ~P J /\ X = U. c ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
89	88	expd 436	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> ( c e. ~P J -> ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
90	89	ralrimiv 2869	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) )
91	7	iscmp 20015	. 2 |- ( J e. Comp <-> ( J e. Top /\ A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) )
92	1, 90, 91	sylanbrc 664	1 |- ( ( ( J e. Top /\ X = ( S u. T ) ) /\ ( ( J ↾t S ) e. Comp /\ ( J ↾t T ) e. Comp ) ) -> J e. Comp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   ↾_t crest 14838   Topctop 19521   Compccmp 20013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-fin 7539  df-fi 7889  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cmp 20014

This theorem is referenced by:  fiuncmp  20031