MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uncdadom Structured version   Unicode version

Theorem uncdadom 8582
Description: Cardinal addition dominates union. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
uncdadom  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  ~<_  ( A  +c  B ) )

Proof of Theorem uncdadom
StepHypRef Expression
1 0ex 4525 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
2 xpsneng 7639 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( A  X.  { (/) } ) 
~~  A )
31, 2mpan2 669 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  X.  { (/) } ) 
~~  A )
4 ensym 7601 . . . 4  |-  ( ( A  X.  { (/) } )  ~~  A  ->  A  ~~  ( A  X.  { (/) } ) )
5 endom 7579 . . . 4  |-  ( A 
~~  ( A  X.  { (/) } )  ->  A  ~<_  ( A  X.  { (/) } ) )
63, 4, 53syl 20 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~<_  ( A  X.  { (/) } ) )
7 1on 7173 . . . . 5  |-  1o  e.  On
8 xpsneng 7639 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  W  /\  1o  e.  On )  -> 
( B  X.  { 1o } )  ~~  B
)
97, 8mpan2 669 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  ( B  X.  { 1o }
)  ~~  B )
10 ensym 7601 . . . 4  |-  ( ( B  X.  { 1o } )  ~~  B  ->  B  ~~  ( B  X.  { 1o }
) )
11 endom 7579 . . . 4  |-  ( B 
~~  ( B  X.  { 1o } )  ->  B  ~<_  ( B  X.  { 1o } ) )
129, 10, 113syl 20 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  B  ~<_  ( B  X.  { 1o } ) )
13 xp01disj 7182 . . . 4  |-  ( ( A  X.  { (/) } )  i^i  ( B  X.  { 1o }
) )  =  (/)
14 undom 7642 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~<_  ( A  X.  { (/) } )  /\  B  ~<_  ( B  X.  { 1o }
) )  /\  (
( A  X.  { (/)
} )  i^i  ( B  X.  { 1o }
) )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( B  X.  { 1o }
) ) )
1513, 14mpan2 669 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  ( A  X.  { (/) } )  /\  B  ~<_  ( B  X.  { 1o } ) )  ->  ( A  u.  B )  ~<_  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( B  X.  { 1o }
) ) )
166, 12, 15syl2an 475 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  ~<_  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( B  X.  { 1o } ) ) )
17 cdaval 8581 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  +c  B
)  =  ( ( A  X.  { (/) } )  u.  ( B  X.  { 1o }
) ) )
1816, 17breqtrrd 4420 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  ~<_  ( A  +c  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    u. cun 3411    i^i cin 3412   (/)c0 3737   {csn 3971   class class class wbr 4394    X. cxp 4820   Oncon0 5409  (class class class)co 6277   1oc1o 7159    ~~ cen 7550    ~<_ cdom 7551    +c ccda 8578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-ord 5412  df-on 5413  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1o 7166  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-cda 8579
This theorem is referenced by:  cdadom3  8599  unnum  8611  ficardun2  8614  pwsdompw  8615  unctb  8616  infunabs  8618  infcda  8619  infdif  8620
  Copyright terms: Public domain W3C validator