Theorem uncdadom 6069

Description: Cardinal addition dominates union.

Hypotheses

Ref	Expression
cdaval.1	|- A e. _V
cdaval.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uncdadom	|- (A u. B) ~<_ (A +c B)

Proof of Theorem uncdadom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdaval.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		0ex 3446	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
3	1, 2	xpsnen 5494	. . . . . 6 |- (A X. {(/)}) ~~ A
4	1, 3	ensymi 5472	. . . . 5 |- A ~~ (A X. {(/)})
5		endom 5444	. . . . 5 |- (A ~~ (A X. {(/)}) -> A ~<_ (A X. {(/)}))
6	4, 5	ax-mp 7	. . . 4 |- A ~<_ (A X. {(/)})
7		cdaval.2	. . . . . 6 |- B e. _V
8		1on 5182	. . . . . . . 8 |- 1o e. On
9	8	elisseti 2301	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
10	7, 9	xpsnen 5494	. . . . . 6 |- (B X. {1o}) ~~ B
11	7, 10	ensymi 5472	. . . . 5 |- B ~~ (B X. {1o})
12		endom 5444	. . . . 5 |- (B ~~ (B X. {1o}) -> B ~<_ (B X. {1o}))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . 4 |- B ~<_ (B X. {1o})
14	6, 13	pm3.2i 307	. . 3 |- (A ~<_ (A X. {(/)}) /\ B ~<_ (B X. {1o}))
15		xp01disj 5188	. . 3 |- ((A X. {(/)}) i^i (B X. {1o})) = (/)
16		p0ex 3495	. . . . 5 |- {(/)} e. _V
17	1, 16	xpex 4096	. . . 4 |- (A X. {(/)}) e. _V
18		snex 3492	. . . . 5 |- {1o} e. _V
19	7, 18	xpex 4096	. . . 4 |- (B X. {1o}) e. _V
20	17, 7, 19	undom 5497	. . 3 |- (((A ~<_ (A X. {(/)}) /\ B ~<_ (B X. {1o})) /\ ((A X. {(/)}) i^i (B X. {1o})) = (/)) -> (A u. B) ~<_ ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})))
21	14, 15, 20	mp2an 761	. 2 |- (A u. B) ~<_ ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o}))
22	1, 7	cdavali 6068	. 2 |- (A +c B) = ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o}))
23	21, 22	breqtrri 3362	1 |- (A u. B) ~<_ (A +c B)

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   u. cun 2591   i^i cin 2592  (/)c0 2875  {csn 3044   class class class wbr 3338  Oncon0 3657   X. cxp 3984  (class class class)co 4884  1oc1o 5172   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424   +c ccda 6065

This theorem is referenced by:  cdadom3 6085  infunabs 8834  infdif 8837

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1o 5177  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-cda 6066

Copyright terms: Public domain