Theorem unbnn3 5746

Description: Any unbounded subset of natural numbers is equinumerous to the set of all natural numbers. This version of unbnn 5637 eliminates its hypothesis by assuming the Axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
unbnn3	|- ((A C_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem unbnn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 5733	. . . 4 |- om e. _V
2	1	ssex 3455	. . 3 |- (A C_ om -> A e. _V)
3		sseq1 2637	. . . . . . 7 |- (z = A -> (z C_ om <-> A C_ om))
4		rexeq 2267	. . . . . . . 8 |- (z = A -> (E.y e. z x e. y <-> E.y e. A x e. y))
5	4	ralbidv 2123	. . . . . . 7 |- (z = A -> (A.x e. om E.y e. z x e. y <-> A.x e. om E.y e. A x e. y))
6	3, 5	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (z = A -> ((z C_ om /\ A.x e. om E.y e. z x e. y) <-> (A C_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y)))
7		breq1 3341	. . . . . 6 |- (z = A -> (z ~~ om <-> A ~~ om))
8	6, 7	imbi12d 688	. . . . 5 |- (z = A -> (((z C_ om /\ A.x e. om E.y e. z x e. y) -> z ~~ om) <-> ((A C_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om)))
9		visset 2295	. . . . . 6 |- z e. _V
10	9	unbnn 5637	. . . . 5 |- ((z C_ om /\ A.x e. om E.y e. z x e. y) -> z ~~ om)
11	8, 10	vtoclg 2346	. . . 4 |- (A e. _V -> ((A C_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om))
12	11	exp3a 405	. . 3 |- (A e. _V -> (A C_ om -> (A.x e. om E.y e. A x e. y -> A ~~ om)))
13	2, 12	mpcom 60	. 2 |- (A C_ om -> (A.x e. om E.y e. A x e. y -> A ~~ om))
14	13	imp 377	1 |- ((A C_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  omcom 3949   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  unbenlem 8773

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-en 5427  df-dom 5428

Copyright terms: Public domain