MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unbnn Structured version   Unicode version

Theorem unbnn 7777
Description: Any unbounded subset of natural numbers is equinumerous to the set of all natural numbers. Part of the proof of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. See unbnn3 8076 for a stronger version without the first assumption. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
unbnn  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  ~~  om )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem unbnn
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssdomg 7562 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  C_  om  ->  A  ~<_  om ) )
21imp 429 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om )  ->  A  ~<_  om )
323adant3 1016 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  ~<_  om )
4 simp1 996 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  om  e.  _V )
5 ssexg 4593 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  om  /\  om  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
65ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om )  ->  A  e.  _V )
763adant3 1016 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  e.  _V )
8 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om )  =  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om )
98unblem4 7776 . . . 4  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om ) : om -1-1-> A
)
1093adant1 1014 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om ) : om -1-1-> A
)
11 f1dom2g 7534 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om ) : om -1-1-> A
)  ->  om  ~<_  A )
124, 7, 10, 11syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  om  ~<_  A )
13 sbth 7638 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  om  ~<_  A )  ->  A  ~~  om )
143, 12, 13syl2anc 661 1  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  ~~  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   |^|cint 4282   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   suc csuc 4880    |` cres 5001   -1-1->wf1 5585   omcom 6685   reccrdg 7076    ~~ cen 7514    ~<_ cdom 7515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-en 7518  df-dom 7519
This theorem is referenced by:  unbnn2  7778  isfinite2  7779  unbnn3  8076
  Copyright terms: Public domain W3C validator