MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unbnn Structured version   Unicode version

Theorem unbnn 7568
Description: Any unbounded subset of natural numbers is equinumerous to the set of all natural numbers. Part of the proof of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. See unbnn3 7864 for a stronger version without the first assumption. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
unbnn  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  ~~  om )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem unbnn
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssdomg 7355 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  C_  om  ->  A  ~<_  om ) )
21imp 429 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om )  ->  A  ~<_  om )
323adant3 1008 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  ~<_  om )
4 simp1 988 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  om  e.  _V )
5 ssexg 4438 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  om  /\  om  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
65ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om )  ->  A  e.  _V )
763adant3 1008 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  e.  _V )
8 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om )  =  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om )
98unblem4 7567 . . . 4  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om ) : om -1-1-> A
)
1093adant1 1006 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om ) : om -1-1-> A
)
11 f1dom2g 7327 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om ) : om -1-1-> A
)  ->  om  ~<_  A )
124, 7, 10, 11syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  om  ~<_  A )
13 sbth 7431 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  om  ~<_  A )  ->  A  ~~  om )
143, 12, 13syl2anc 661 1  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  ~~  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    C_ wss 3328   |^|cint 4128   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   suc csuc 4721    |` cres 4842   -1-1->wf1 5415   omcom 6476   reccrdg 6865    ~~ cen 7307    ~<_ cdom 7308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-en 7311  df-dom 7312
This theorem is referenced by:  unbnn2  7569  isfinite2  7570  unbnn3  7864
  Copyright terms: Public domain W3C validator