Theorem unbnn 5637

Description: Any unbounded subset of natural numbers is equinumerous to the set of all natural numbers. Part of the proof of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. See unbnn3 5746 for a stronger version without the hypothesis.

Hypothesis

Ref	Expression
unbnn.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
unbnn	|- ((A C_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem unbnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unbnn.1	. . . 4 |- A e. _V
2		ssdomg 5467	. . . 4 |- (A e. _V -> (A C_ om -> A ~<_ om))
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- (A C_ om -> A ~<_ om)
4	3	adantr 425	. 2 |- ((A C_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~<_ om)
5		hbopab1 3562	. . . . . 6 |- (x e. {<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)} -> A.z x e. {<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)})
6		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (x e. |^|A -> A.z x e. |^|A)
7	5, 6	hbrdg 5144	. . . . 5 |- (x e. rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) -> A.z x e. rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A))
8		ax-17 1317	. . . . 5 |- (x e. om -> A.z x e. om)
9	7, 8	hbres 4220	. . . 4 |- (x e. (rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om) -> A.z x e. (rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om))
10		eqid 1884	. . . 4 |- (rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om) = (rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om)
11	9, 10	unblem4 5636	. . 3 |- ((A C_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> (rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om):om-1-1->A)
12		f1dom2g 5456	. . . 4 |- (A e. _V -> ((rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om):om-1-1->A -> om ~<_ A))
13	1, 12	ax-mp 7	. . 3 |- ((rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om):om-1-1->A -> om ~<_ A)
14	11, 13	syl 12	. 2 |- ((A C_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> om ~<_ A)
15		sbth 5520	. 2 |- ((A ~<_ om /\ om ~<_ A) -> A ~~ om)
16	4, 14, 15	syl11anc 524	1 |- ((A C_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   C_ wss 2593  |^|cint 3214   class class class wbr 3338  {copab 3395  suc csuc 3659  omcom 3949   |` cres 3988  -1-1->wf1 3995  reccrdg 5139   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424

This theorem is referenced by:  unbnn2 5638  isfinite2 5639  unbnn3 5746

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-en 5427  df-dom 5428

Copyright terms: Public domain