MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unbndrank Structured version   Unicode version

Theorem unbndrank 8256
Description: The elements of a proper class have unbounded rank. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 80. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
unbndrank  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y
) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem unbndrank
StepHypRef Expression
1 rankon 8209 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  y )  e.  On
2 ontri1 4912 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rank `  y
)  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( rank `  y
)  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  y
) ) )
31, 2mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  (
( rank `  y )  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  y )
) )
43ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  <->  A. y  e.  A  -.  x  e.  ( rank `  y ) ) )
5 ralnex 2910 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  -.  x  e.  ( rank `  y )  <->  -.  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y )
)
64, 5syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  <->  -.  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y )
) )
76rexbiia 2964 . . . 4  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x 
<->  E. x  e.  On  -.  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y ) )
8 rexnal 2912 . . . 4  |-  ( E. x  e.  On  -.  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y
)  <->  -.  A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  (
rank `  y )
)
97, 8bitri 249 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x 
<->  -.  A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  (
rank `  y )
)
10 bndrank 8255 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  ->  A  e.  _V )
119, 10sylbir 213 . 2  |-  ( -. 
A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y
)  ->  A  e.  _V )
1211con1i 129 1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   Oncon0 4878   ` cfv 5586   rankcrnk 8177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-reg 8014  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-r1 8178  df-rank 8179
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator