MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unbndrank Structured version   Unicode version

Theorem unbndrank 8294
Description: The elements of a proper class have unbounded rank. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 80. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
unbndrank  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y
) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem unbndrank
StepHypRef Expression
1 rankon 8247 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  y )  e.  On
2 ontri1 5446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rank `  y
)  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( rank `  y
)  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  y
) ) )
31, 2mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  (
( rank `  y )  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  y )
) )
43ralbidv 2845 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  <->  A. y  e.  A  -.  x  e.  ( rank `  y ) ) )
5 ralnex 2852 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  -.  x  e.  ( rank `  y )  <->  -.  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y )
)
64, 5syl6bb 263 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  <->  -.  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y )
) )
76rexbiia 2907 . . . 4  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x 
<->  E. x  e.  On  -.  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y ) )
8 rexnal 2854 . . . 4  |-  ( E. x  e.  On  -.  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y
)  <->  -.  A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  (
rank `  y )
)
97, 8bitri 251 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x 
<->  -.  A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  (
rank `  y )
)
10 bndrank 8293 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  ->  A  e.  _V )
119, 10sylbir 215 . 2  |-  ( -. 
A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y
)  ->  A  e.  _V )
1211con1i 131 1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  A. x  e.  On  E. y  e.  A  x  e.  ( rank `  y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3061    C_ wss 3416   Oncon0 5412   ` cfv 5571   rankcrnk 8215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-reg 8054  ax-inf2 8093
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-r1 8216  df-rank 8217
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator