Theorem unbndrank 5794

Description: The elements of a proper class have unbounded rank. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 80.

Assertion

Ref	Expression
unbndrank	|- (-. A e. _V -> A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem unbndrank

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 5782	. . . . . . . 8 |- (rank` y) e. On
2		ontri1 3695	. . . . . . . 8 |- (((rank` y) e. On /\ x e. On) -> ((rank` y) C_ x <-> -. x e. (rank` y)))
3	1, 2	mpan 759	. . . . . . 7 |- (x e. On -> ((rank` y) C_ x <-> -. x e. (rank` y)))
4	3	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (x e. On -> (A.y e. A (rank` y) C_ x <-> A.y e. A -. x e. (rank` y)))
5		ralnex 2113	. . . . . 6 |- (A.y e. A -. x e. (rank` y) <-> -. E.y e. A x e. (rank` y))
6	4, 5	syl6bb 595	. . . . 5 |- (x e. On -> (A.y e. A (rank` y) C_ x <-> -. E.y e. A x e. (rank` y)))
7	6	rexbiia 2134	. . . 4 |- (E.x e. On A.y e. A (rank` y) C_ x <-> E.x e. On -. E.y e. A x e. (rank` y))
8		rexnal 2114	. . . 4 |- (E.x e. On -. E.y e. A x e. (rank` y) <-> -. A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y))
9	7, 8	bitri 190	. . 3 |- (E.x e. On A.y e. A (rank` y) C_ x <-> -. A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y))
10		bndrank 5793	. . 3 |- (E.x e. On A.y e. A (rank` y) C_ x -> A e. _V)
11	9, 10	sylbir 218	. 2 |- (-. A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y) -> A e. _V)
12	11	con1i 112	1 |- (-. A e. _V -> A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  Oncon0 3657  ` cfv 3998  rankcrnk 5749

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-r1 5750  df-rank 5751

Copyright terms: Public domain