MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unblem4 Structured version   Unicode version

Theorem unblem4 7766
Description: Lemma for unbnn 7767. The function  F maps the set of natural numbers one-to-one to the set of unbounded natural numbers  A. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
unblem.2  |-  F  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  |^| ( A  \  suc  x ) ) , 
|^| A )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
unblem4  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  F : om -1-1-> A )
Distinct variable groups:    w, v, x, A    v, F, w
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem unblem4
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsson 6677 . . . 4  |-  om  C_  On
2 sstr 3507 . . . 4  |-  ( ( A  C_  om  /\  om  C_  On )  ->  A  C_  On )
31, 2mpan2 671 . . 3  |-  ( A 
C_  om  ->  A  C_  On )
43adantr 465 . 2  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  A  C_  On )
5 frfnom 7092 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  x ) ) , 
|^| A )  |`  om )  Fn  om
6 unblem.2 . . . . 5  |-  F  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  |^| ( A  \  suc  x ) ) , 
|^| A )  |`  om )
76fneq1i 5668 . . . 4  |-  ( F  Fn  om  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  x ) ) , 
|^| A )  |`  om )  Fn  om )
85, 7mpbir 209 . . 3  |-  F  Fn  om
96unblem2 7764 . . . 4  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  (
z  e.  om  ->  ( F `  z )  e.  A ) )
109ralrimiv 2871 . . 3  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  A. z  e.  om  ( F `  z )  e.  A
)
11 ffnfv 6040 . . . 4  |-  ( F : om --> A  <->  ( F  Fn  om  /\  A. z  e.  om  ( F `  z )  e.  A
) )
1211biimpri 206 . . 3  |-  ( ( F  Fn  om  /\  A. z  e.  om  ( F `  z )  e.  A )  ->  F : om --> A )
138, 10, 12sylancr 663 . 2  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  F : om --> A )
146unblem3 7765 . . 3  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  (
z  e.  om  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  z ) ) )
1514ralrimiv 2871 . 2  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  A. z  e.  om  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  z
) )
16 omsmo 7295 . 2  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. z  e. 
om  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  z
) )  ->  F : om -1-1-> A )
174, 13, 15, 16syl21anc 1222 1  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  F : om -1-1-> A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   _Vcvv 3108    \ cdif 3468    C_ wss 3471   |^|cint 4277    |-> cmpt 4500   Oncon0 4873   suc csuc 4875    |` cres 4996    Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   ` cfv 5581   omcom 6673   reccrdg 7067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068
This theorem is referenced by:  unbnn  7767
  Copyright terms: Public domain W3C validator