Theorem unblem4 5636

Description: Lemma for unbnn 5637. The function F maps the set of natural numbers one-to-one to the set of unbounded natural numbers A.

Hypotheses

Ref	Expression
unblem.1	|- (w e. F -> A.x w e. F)
unblem.2	|- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)

Assertion

Ref	Expression
unblem4	|- ((A C_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> F:om-1-1->A)

Distinct variable groups:   x,y,w,v,A   w,F,v

Proof of Theorem unblem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsson 3954	. . . 4 |- om C_ On
2		sstr 2625	. . . 4 |- ((A C_ om /\ om C_ On) -> A C_ On)
3	1, 2	mpan2 760	. . 3 |- (A C_ om -> A C_ On)
4	3	adantr 425	. 2 |- ((A C_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> A C_ On)
5		ffnfv 4801	. . . 4 |- (F:om-->A <-> (F Fn om /\ A.z e. om (F` z) e. A))
6	5	biimpri 169	. . 3 |- ((F Fn om /\ A.z e. om (F` z) e. A) -> F:om-->A)
7		frfnom 5159	. . . 4 |- (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om) Fn om
8		unblem.2	. . . . 5 |- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)
9	8	fneq1i 4507	. . . 4 |- (F Fn om <-> (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om) Fn om)
10	7, 9	mpbir 207	. . 3 |- F Fn om
11		unblem.1	. . . . 5 |- (w e. F -> A.x w e. F)
12	11, 8	unblem2 5634	. . . 4 |- ((A C_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. A))
13	12	r19.21aiv 2175	. . 3 |- ((A C_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> A.z e. om (F` z) e. A)
14	6, 10, 13	sylancr 526	. 2 |- ((A C_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> F:om-->A)
15	11, 8	unblem3 5635	. . 3 |- ((A C_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. (F` suc z)))
16	15	r19.21aiv 2175	. 2 |- ((A C_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> A.z e. om (F` z) e. (F` suc z))
17		omsmo 5314	. 2 |- (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.z e. om (F` z) e. (F` suc z)) -> F:om-1-1->A)
18	4, 14, 16, 17	syl21anc 1099	1 |- ((A C_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> F:om-1-1->A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   \ cdif 2590   C_ wss 2593  |^|cint 3214  {copab 3395  Oncon0 3657  suc csuc 3659  omcom 3949   |` cres 3988   Fn wfn 3993  -->wf 3994  -1-1->wf1 3995  ` cfv 3998  reccrdg 5139

This theorem is referenced by:  unbnn 5637

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fv 4014  df-rdg 5140

Copyright terms: Public domain