MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unblem4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem unblem4 7831
Description: Lemma for unbnn 7832. The function  F maps the set of natural numbers one-to-one to the set of unbounded natural numbers  A. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
unblem.2  |-  F  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  |^| ( A  \  suc  x ) ) , 
|^| A )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
unblem4  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  F : om -1-1-> A )
Distinct variable groups:    w, v, x, A    v, F, w
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem unblem4
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsson 6701 . . . 4  |-  om  C_  On
2 sstr 3442 . . . 4  |-  ( ( A  C_  om  /\  om  C_  On )  ->  A  C_  On )
31, 2mpan2 678 . . 3  |-  ( A 
C_  om  ->  A  C_  On )
43adantr 467 . 2  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  A  C_  On )
5 frfnom 7157 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  x ) ) , 
|^| A )  |`  om )  Fn  om
6 unblem.2 . . . . 5  |-  F  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  |^| ( A  \  suc  x ) ) , 
|^| A )  |`  om )
76fneq1i 5675 . . . 4  |-  ( F  Fn  om  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  x ) ) , 
|^| A )  |`  om )  Fn  om )
85, 7mpbir 213 . . 3  |-  F  Fn  om
96unblem2 7829 . . . 4  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  (
z  e.  om  ->  ( F `  z )  e.  A ) )
109ralrimiv 2802 . . 3  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  A. z  e.  om  ( F `  z )  e.  A
)
11 ffnfv 6054 . . . 4  |-  ( F : om --> A  <->  ( F  Fn  om  /\  A. z  e.  om  ( F `  z )  e.  A
) )
1211biimpri 210 . . 3  |-  ( ( F  Fn  om  /\  A. z  e.  om  ( F `  z )  e.  A )  ->  F : om --> A )
138, 10, 12sylancr 670 . 2  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  F : om --> A )
146unblem3 7830 . . 3  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  (
z  e.  om  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  z ) ) )
1514ralrimiv 2802 . 2  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  A. z  e.  om  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  z
) )
16 omsmo 7360 . 2  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. z  e. 
om  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  z
) )  ->  F : om -1-1-> A )
174, 13, 15, 16syl21anc 1268 1  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  F : om -1-1-> A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047    \ cdif 3403    C_ wss 3406   |^|cint 4237    |-> cmpt 4464    |` cres 4839   Oncon0 5426   suc csuc 5428    Fn wfn 5580   -->wf 5581   -1-1->wf1 5582   ` cfv 5585   omcom 6697   reccrdg 7132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133
This theorem is referenced by:  unbnn  7832
  Copyright terms: Public domain W3C validator