MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unblem4 Structured version   Unicode version

Theorem unblem4 7793
Description: Lemma for unbnn 7794. The function  F maps the set of natural numbers one-to-one to the set of unbounded natural numbers  A. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
unblem.2  |-  F  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  |^| ( A  \  suc  x ) ) , 
|^| A )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
unblem4  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  F : om -1-1-> A )
Distinct variable groups:    w, v, x, A    v, F, w
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem unblem4
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsson 6703 . . . 4  |-  om  C_  On
2 sstr 3507 . . . 4  |-  ( ( A  C_  om  /\  om  C_  On )  ->  A  C_  On )
31, 2mpan2 671 . . 3  |-  ( A 
C_  om  ->  A  C_  On )
43adantr 465 . 2  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  A  C_  On )
5 frfnom 7118 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  x ) ) , 
|^| A )  |`  om )  Fn  om
6 unblem.2 . . . . 5  |-  F  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  |^| ( A  \  suc  x ) ) , 
|^| A )  |`  om )
76fneq1i 5681 . . . 4  |-  ( F  Fn  om  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  x ) ) , 
|^| A )  |`  om )  Fn  om )
85, 7mpbir 209 . . 3  |-  F  Fn  om
96unblem2 7791 . . . 4  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  (
z  e.  om  ->  ( F `  z )  e.  A ) )
109ralrimiv 2869 . . 3  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  A. z  e.  om  ( F `  z )  e.  A
)
11 ffnfv 6058 . . . 4  |-  ( F : om --> A  <->  ( F  Fn  om  /\  A. z  e.  om  ( F `  z )  e.  A
) )
1211biimpri 206 . . 3  |-  ( ( F  Fn  om  /\  A. z  e.  om  ( F `  z )  e.  A )  ->  F : om --> A )
138, 10, 12sylancr 663 . 2  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  F : om --> A )
146unblem3 7792 . . 3  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  (
z  e.  om  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  z ) ) )
1514ralrimiv 2869 . 2  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  A. z  e.  om  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  z
) )
16 omsmo 7321 . 2  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. z  e. 
om  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  z
) )  ->  F : om -1-1-> A )
174, 13, 15, 16syl21anc 1227 1  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. w  e.  om  E. v  e.  A  w  e.  v )  ->  F : om -1-1-> A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   |^|cint 4288    |-> cmpt 4515   Oncon0 4887   suc csuc 4889    |` cres 5010    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594   omcom 6699   reccrdg 7093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094
This theorem is referenced by:  unbnn  7794
  Copyright terms: Public domain W3C validator