Theorem unblem2 7764

Description: Lemma for unbnn 7767. The value of the function F belongs to the unbounded set of natural numbers A. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
unblem.2	|- F = ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
unblem2	|- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( z e. om -> ( F ` z ) e. A ) )

Distinct variable groups:   w, v, x, z, A   v, F, w, z

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem unblem2

Dummy variables u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5859	. . . 4 |- ( z = (/) -> ( F ` z ) = ( F ` (/) ) )
2	1	eleq1d 2531	. . 3 |- ( z = (/) -> ( ( F ` z ) e. A <-> ( F ` (/) ) e. A ) )
3		fveq2 5859	. . . 4 |- ( z = u -> ( F ` z ) = ( F ` u ) )
4	3	eleq1d 2531	. . 3 |- ( z = u -> ( ( F ` z ) e. A <-> ( F ` u ) e. A ) )
5		fveq2 5859	. . . 4 |- ( z = suc u -> ( F ` z ) = ( F ` suc u ) )
6	5	eleq1d 2531	. . 3 |- ( z = suc u -> ( ( F ` z ) e. A <-> ( F ` suc u ) e. A ) )
7		omsson 6677	. . . . . 6 |- om C_ On
8		sstr 3507	. . . . . 6 |- ( ( A C_ om /\ om C_ On ) -> A C_ On )
9	7, 8	mpan2 671	. . . . 5 |- ( A C_ om -> A C_ On )
10		peano1 6692	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
11		eleq1 2534	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = (/) -> ( w e. v <-> (/) e. v ) )
12	11	rexbidv 2968	. . . . . . . . . 10 |- ( w = (/) -> ( E. v e. A w e. v <-> E. v e. A (/) e. v ) )
13	12	rspcv 3205	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. om -> ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> E. v e. A (/) e. v ) )
14	10, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> E. v e. A (/) e. v )
15		df-rex 2815	. . . . . . . 8 |- ( E. v e. A (/) e. v <-> E. v ( v e. A /\ (/) e. v ) )
16	14, 15	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> E. v ( v e. A /\ (/) e. v ) )
17		exsimpl 1649	. . . . . . 7 |- ( E. v ( v e. A /\ (/) e. v ) -> E. v v e. A )
18	16, 17	syl 16	. . . . . 6 |- ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> E. v v e. A )
19		n0 3789	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) <-> E. v v e. A )
20	18, 19	sylibr 212	. . . . 5 |- ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> A =/= (/) )
21		onint 6603	. . . . 5 |- ( ( A C_ On /\ A =/= (/) ) -> |^| A e. A )
22	9, 20, 21	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> |^| A e. A )
23		unblem.2	. . . . . . . 8 |- F = ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om )
24	23	fveq1i 5860	. . . . . . 7 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om ) ` (/) )
25		fr0g 7093	. . . . . . 7 |- ( |^| A e. A -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om ) ` (/) ) = |^| A )
26	24, 25	syl5req 2516	. . . . . 6 |- ( |^| A e. A -> |^| A = ( F ` (/) ) )
27	26	eleq1d 2531	. . . . 5 |- ( |^| A e. A -> ( |^| A e. A <-> ( F ` (/) ) e. A ) )
28	27	ibi 241	. . . 4 |- ( |^| A e. A -> ( F ` (/) ) e. A )
29	22, 28	syl 16	. . 3 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( F ` (/) ) e. A )
30		unblem1 7763	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) /\ ( F ` u ) e. A ) -> |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A )
31		suceq 4938	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> suc y = suc x )
32	31	difeq2d 3617	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( A \ suc y ) = ( A \ suc x ) )
33	32	inteqd 4282	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> |^| ( A \ suc y ) = |^| ( A \ suc x ) )
34		suceq 4938	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` u ) -> suc y = suc ( F ` u ) )
35	34	difeq2d 3617	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` u ) -> ( A \ suc y ) = ( A \ suc ( F ` u ) ) )
36	35	inteqd 4282	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` u ) -> |^| ( A \ suc y ) = |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) )
37	23, 33, 36	frsucmpt2 7097	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. om /\ |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A ) -> ( F ` suc u ) = |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) )
38	37	eqcomd 2470	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. om /\ |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A ) -> |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) = ( F ` suc u ) )
39	38	eleq1d 2531	. . . . . . 7 |- ( ( u e. om /\ |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A ) -> ( |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A <-> ( F ` suc u ) e. A ) )
40	39	ex 434	. . . . . 6 |- ( u e. om -> ( |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A -> ( |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A <-> ( F ` suc u ) e. A ) ) )
41	40	ibd 243	. . . . 5 |- ( u e. om -> ( |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A -> ( F ` suc u ) e. A ) )
42	30, 41	syl5 32	. . . 4 |- ( u e. om -> ( ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) /\ ( F ` u ) e. A ) -> ( F ` suc u ) e. A ) )
43	42	expd 436	. . 3 |- ( u e. om -> ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( ( F ` u ) e. A -> ( F ` suc u ) e. A ) ) )
44	2, 4, 6, 29, 43	finds2 6701	. 2 |- ( z e. om -> ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( F ` z ) e. A ) )
45	44	com12 31	1 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( z e. om -> ( F ` z ) e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   E.wex 1591   e. wcel 1762   =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810   _Vcvv 3108   \ cdif 3468   C_ wss 3471   (/)c0 3780   |^|cint 4277   |-> cmpt 4500   Oncon0 4873   suc csuc 4875   |` cres 4996   ` cfv 5581   omcom 6673   reccrdg 7067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068

This theorem is referenced by:  unblem3  7765  unblem4  7766