Theorem unblem2 7829

Description: Lemma for unbnn 7832. The value of the function F belongs to the unbounded set of natural numbers A. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
unblem.2	|- F = ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
unblem2	|- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( z e. om -> ( F ` z ) e. A ) )

Distinct variable groups:   w, v, x, z, A   v, F, w, z

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem unblem2

Dummy variables u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5870	. . . 4 |- ( z = (/) -> ( F ` z ) = ( F ` (/) ) )
2	1	eleq1d 2515	. . 3 |- ( z = (/) -> ( ( F ` z ) e. A <-> ( F ` (/) ) e. A ) )
3		fveq2 5870	. . . 4 |- ( z = u -> ( F ` z ) = ( F ` u ) )
4	3	eleq1d 2515	. . 3 |- ( z = u -> ( ( F ` z ) e. A <-> ( F ` u ) e. A ) )
5		fveq2 5870	. . . 4 |- ( z = suc u -> ( F ` z ) = ( F ` suc u ) )
6	5	eleq1d 2515	. . 3 |- ( z = suc u -> ( ( F ` z ) e. A <-> ( F ` suc u ) e. A ) )
7		omsson 6701	. . . . . 6 |- om C_ On
8		sstr 3442	. . . . . 6 |- ( ( A C_ om /\ om C_ On ) -> A C_ On )
9	7, 8	mpan2 678	. . . . 5 |- ( A C_ om -> A C_ On )
10		peano1 6717	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
11		eleq1 2519	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = (/) -> ( w e. v <-> (/) e. v ) )
12	11	rexbidv 2903	. . . . . . . . . 10 |- ( w = (/) -> ( E. v e. A w e. v <-> E. v e. A (/) e. v ) )
13	12	rspcv 3148	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. om -> ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> E. v e. A (/) e. v ) )
14	10, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> E. v e. A (/) e. v )
15		df-rex 2745	. . . . . . . 8 |- ( E. v e. A (/) e. v <-> E. v ( v e. A /\ (/) e. v ) )
16	14, 15	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> E. v ( v e. A /\ (/) e. v ) )
17		exsimpl 1731	. . . . . . 7 |- ( E. v ( v e. A /\ (/) e. v ) -> E. v v e. A )
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 |- ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> E. v v e. A )
19		n0 3743	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) <-> E. v v e. A )
20	18, 19	sylibr 216	. . . . 5 |- ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> A =/= (/) )
21		onint 6627	. . . . 5 |- ( ( A C_ On /\ A =/= (/) ) -> |^| A e. A )
22	9, 20, 21	syl2an 480	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> |^| A e. A )
23		unblem.2	. . . . . . . 8 |- F = ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om )
24	23	fveq1i 5871	. . . . . . 7 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om ) ` (/) )
25		fr0g 7158	. . . . . . 7 |- ( |^| A e. A -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om ) ` (/) ) = |^| A )
26	24, 25	syl5req 2500	. . . . . 6 |- ( |^| A e. A -> |^| A = ( F ` (/) ) )
27	26	eleq1d 2515	. . . . 5 |- ( |^| A e. A -> ( |^| A e. A <-> ( F ` (/) ) e. A ) )
28	27	ibi 245	. . . 4 |- ( |^| A e. A -> ( F ` (/) ) e. A )
29	22, 28	syl 17	. . 3 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( F ` (/) ) e. A )
30		unblem1 7828	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) /\ ( F ` u ) e. A ) -> |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A )
31		suceq 5491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> suc y = suc x )
32	31	difeq2d 3553	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( A \ suc y ) = ( A \ suc x ) )
33	32	inteqd 4242	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> |^| ( A \ suc y ) = |^| ( A \ suc x ) )
34		suceq 5491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` u ) -> suc y = suc ( F ` u ) )
35	34	difeq2d 3553	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` u ) -> ( A \ suc y ) = ( A \ suc ( F ` u ) ) )
36	35	inteqd 4242	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` u ) -> |^| ( A \ suc y ) = |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) )
37	23, 33, 36	frsucmpt2 7162	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. om /\ |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A ) -> ( F ` suc u ) = |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) )
38	37	eqcomd 2459	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. om /\ |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A ) -> |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) = ( F ` suc u ) )
39	38	eleq1d 2515	. . . . . . 7 |- ( ( u e. om /\ |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A ) -> ( |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A <-> ( F ` suc u ) e. A ) )
40	39	ex 436	. . . . . 6 |- ( u e. om -> ( |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A -> ( |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A <-> ( F ` suc u ) e. A ) ) )
41	40	ibd 247	. . . . 5 |- ( u e. om -> ( |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A -> ( F ` suc u ) e. A ) )
42	30, 41	syl5 33	. . . 4 |- ( u e. om -> ( ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) /\ ( F ` u ) e. A ) -> ( F ` suc u ) e. A ) )
43	42	expd 438	. . 3 |- ( u e. om -> ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( ( F ` u ) e. A -> ( F ` suc u ) e. A ) ) )
44	2, 4, 6, 29, 43	finds2 6726	. 2 |- ( z e. om -> ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( F ` z ) e. A ) )
45	44	com12 32	1 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( z e. om -> ( F ` z ) e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   E.wex 1665   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047   \ cdif 3403   C_ wss 3406   (/)c0 3733   |^|cint 4237   |-> cmpt 4464   |` cres 4839   Oncon0 5426   suc csuc 5428   ` cfv 5585   omcom 6697   reccrdg 7132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133

This theorem is referenced by:  unblem3  7830  unblem4  7831