Theorem unblem2 7828

Description: Lemma for unbnn 7831. The value of the function F belongs to the unbounded set of natural numbers A. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
unblem.2	|- F = ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
unblem2	|- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( z e. om -> ( F ` z ) e. A ) )

Distinct variable groups:   w, v, x, z, A   v, F, w, z

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem unblem2

Dummy variables u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5879	. . . 4 |- ( z = (/) -> ( F ` z ) = ( F ` (/) ) )
2	1	eleq1d 2492	. . 3 |- ( z = (/) -> ( ( F ` z ) e. A <-> ( F ` (/) ) e. A ) )
3		fveq2 5879	. . . 4 |- ( z = u -> ( F ` z ) = ( F ` u ) )
4	3	eleq1d 2492	. . 3 |- ( z = u -> ( ( F ` z ) e. A <-> ( F ` u ) e. A ) )
5		fveq2 5879	. . . 4 |- ( z = suc u -> ( F ` z ) = ( F ` suc u ) )
6	5	eleq1d 2492	. . 3 |- ( z = suc u -> ( ( F ` z ) e. A <-> ( F ` suc u ) e. A ) )
7		omsson 6708	. . . . . 6 |- om C_ On
8		sstr 3473	. . . . . 6 |- ( ( A C_ om /\ om C_ On ) -> A C_ On )
9	7, 8	mpan2 676	. . . . 5 |- ( A C_ om -> A C_ On )
10		peano1 6724	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
11		eleq1 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = (/) -> ( w e. v <-> (/) e. v ) )
12	11	rexbidv 2940	. . . . . . . . . 10 |- ( w = (/) -> ( E. v e. A w e. v <-> E. v e. A (/) e. v ) )
13	12	rspcv 3179	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. om -> ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> E. v e. A (/) e. v ) )
14	10, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> E. v e. A (/) e. v )
15		df-rex 2782	. . . . . . . 8 |- ( E. v e. A (/) e. v <-> E. v ( v e. A /\ (/) e. v ) )
16	14, 15	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> E. v ( v e. A /\ (/) e. v ) )
17		exsimpl 1723	. . . . . . 7 |- ( E. v ( v e. A /\ (/) e. v ) -> E. v v e. A )
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 |- ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> E. v v e. A )
19		n0 3772	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) <-> E. v v e. A )
20	18, 19	sylibr 216	. . . . 5 |- ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> A =/= (/) )
21		onint 6634	. . . . 5 |- ( ( A C_ On /\ A =/= (/) ) -> |^| A e. A )
22	9, 20, 21	syl2an 480	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> |^| A e. A )
23		unblem.2	. . . . . . . 8 |- F = ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om )
24	23	fveq1i 5880	. . . . . . 7 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om ) ` (/) )
25		fr0g 7159	. . . . . . 7 |- ( |^| A e. A -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om ) ` (/) ) = |^| A )
26	24, 25	syl5req 2477	. . . . . 6 |- ( |^| A e. A -> |^| A = ( F ` (/) ) )
27	26	eleq1d 2492	. . . . 5 |- ( |^| A e. A -> ( |^| A e. A <-> ( F ` (/) ) e. A ) )
28	27	ibi 245	. . . 4 |- ( |^| A e. A -> ( F ` (/) ) e. A )
29	22, 28	syl 17	. . 3 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( F ` (/) ) e. A )
30		unblem1 7827	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) /\ ( F ` u ) e. A ) -> |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A )
31		suceq 5505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> suc y = suc x )
32	31	difeq2d 3584	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( A \ suc y ) = ( A \ suc x ) )
33	32	inteqd 4258	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> |^| ( A \ suc y ) = |^| ( A \ suc x ) )
34		suceq 5505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` u ) -> suc y = suc ( F ` u ) )
35	34	difeq2d 3584	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` u ) -> ( A \ suc y ) = ( A \ suc ( F ` u ) ) )
36	35	inteqd 4258	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` u ) -> |^| ( A \ suc y ) = |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) )
37	23, 33, 36	frsucmpt2 7163	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. om /\ |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A ) -> ( F ` suc u ) = |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) )
38	37	eqcomd 2431	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. om /\ |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A ) -> |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) = ( F ` suc u ) )
39	38	eleq1d 2492	. . . . . . 7 |- ( ( u e. om /\ |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A ) -> ( |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A <-> ( F ` suc u ) e. A ) )
40	39	ex 436	. . . . . 6 |- ( u e. om -> ( |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A -> ( |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A <-> ( F ` suc u ) e. A ) ) )
41	40	ibd 247	. . . . 5 |- ( u e. om -> ( |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A -> ( F ` suc u ) e. A ) )
42	30, 41	syl5 34	. . . 4 |- ( u e. om -> ( ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) /\ ( F ` u ) e. A ) -> ( F ` suc u ) e. A ) )
43	42	expd 438	. . 3 |- ( u e. om -> ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( ( F ` u ) e. A -> ( F ` suc u ) e. A ) ) )
44	2, 4, 6, 29, 43	finds2 6733	. 2 |- ( z e. om -> ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( F ` z ) e. A ) )
45	44	com12 33	1 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( z e. om -> ( F ` z ) e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1438   E.wex 1660   e. wcel 1869   =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082   \ cdif 3434   C_ wss 3437   (/)c0 3762   |^|cint 4253   |-> cmpt 4480   |` cres 4853   Oncon0 5440   suc csuc 5442   ` cfv 5599   omcom 6704   reccrdg 7133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134

This theorem is referenced by:  unblem3  7829  unblem4  7830