Theorem unblem2 7688

Description: Lemma for unbnn 7691. The value of the function F belongs to the unbounded set of natural numbers A. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
unblem.2	|- F = ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
unblem2	|- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( z e. om -> ( F ` z ) e. A ) )

Distinct variable groups:   w, v, x, z, A   v, F, w, z

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem unblem2

Dummy variables u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5774	. . . 4 |- ( z = (/) -> ( F ` z ) = ( F ` (/) ) )
2	1	eleq1d 2451	. . 3 |- ( z = (/) -> ( ( F ` z ) e. A <-> ( F ` (/) ) e. A ) )
3		fveq2 5774	. . . 4 |- ( z = u -> ( F ` z ) = ( F ` u ) )
4	3	eleq1d 2451	. . 3 |- ( z = u -> ( ( F ` z ) e. A <-> ( F ` u ) e. A ) )
5		fveq2 5774	. . . 4 |- ( z = suc u -> ( F ` z ) = ( F ` suc u ) )
6	5	eleq1d 2451	. . 3 |- ( z = suc u -> ( ( F ` z ) e. A <-> ( F ` suc u ) e. A ) )
7		omsson 6603	. . . . . 6 |- om C_ On
8		sstr 3425	. . . . . 6 |- ( ( A C_ om /\ om C_ On ) -> A C_ On )
9	7, 8	mpan2 669	. . . . 5 |- ( A C_ om -> A C_ On )
10		peano1 6618	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
11		eleq1 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = (/) -> ( w e. v <-> (/) e. v ) )
12	11	rexbidv 2893	. . . . . . . . . 10 |- ( w = (/) -> ( E. v e. A w e. v <-> E. v e. A (/) e. v ) )
13	12	rspcv 3131	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. om -> ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> E. v e. A (/) e. v ) )
14	10, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> E. v e. A (/) e. v )
15		df-rex 2738	. . . . . . . 8 |- ( E. v e. A (/) e. v <-> E. v ( v e. A /\ (/) e. v ) )
16	14, 15	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> E. v ( v e. A /\ (/) e. v ) )
17		exsimpl 1685	. . . . . . 7 |- ( E. v ( v e. A /\ (/) e. v ) -> E. v v e. A )
18	16, 17	syl 16	. . . . . 6 |- ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> E. v v e. A )
19		n0 3721	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) <-> E. v v e. A )
20	18, 19	sylibr 212	. . . . 5 |- ( A. w e. om E. v e. A w e. v -> A =/= (/) )
21		onint 6529	. . . . 5 |- ( ( A C_ On /\ A =/= (/) ) -> |^| A e. A )
22	9, 20, 21	syl2an 475	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> |^| A e. A )
23		unblem.2	. . . . . . . 8 |- F = ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om )
24	23	fveq1i 5775	. . . . . . 7 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om ) ` (/) )
25		fr0g 7019	. . . . . . 7 |- ( |^| A e. A -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om ) ` (/) ) = |^| A )
26	24, 25	syl5req 2436	. . . . . 6 |- ( |^| A e. A -> |^| A = ( F ` (/) ) )
27	26	eleq1d 2451	. . . . 5 |- ( |^| A e. A -> ( |^| A e. A <-> ( F ` (/) ) e. A ) )
28	27	ibi 241	. . . 4 |- ( |^| A e. A -> ( F ` (/) ) e. A )
29	22, 28	syl 16	. . 3 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( F ` (/) ) e. A )
30		unblem1 7687	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) /\ ( F ` u ) e. A ) -> |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A )
31		suceq 4857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> suc y = suc x )
32	31	difeq2d 3536	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( A \ suc y ) = ( A \ suc x ) )
33	32	inteqd 4204	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> |^| ( A \ suc y ) = |^| ( A \ suc x ) )
34		suceq 4857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` u ) -> suc y = suc ( F ` u ) )
35	34	difeq2d 3536	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` u ) -> ( A \ suc y ) = ( A \ suc ( F ` u ) ) )
36	35	inteqd 4204	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` u ) -> |^| ( A \ suc y ) = |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) )
37	23, 33, 36	frsucmpt2 7023	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. om /\ |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A ) -> ( F ` suc u ) = |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) )
38	37	eqcomd 2390	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. om /\ |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A ) -> |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) = ( F ` suc u ) )
39	38	eleq1d 2451	. . . . . . 7 |- ( ( u e. om /\ |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A ) -> ( |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A <-> ( F ` suc u ) e. A ) )
40	39	ex 432	. . . . . 6 |- ( u e. om -> ( |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A -> ( |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A <-> ( F ` suc u ) e. A ) ) )
41	40	ibd 243	. . . . 5 |- ( u e. om -> ( |^| ( A \ suc ( F ` u ) ) e. A -> ( F ` suc u ) e. A ) )
42	30, 41	syl5 32	. . . 4 |- ( u e. om -> ( ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) /\ ( F ` u ) e. A ) -> ( F ` suc u ) e. A ) )
43	42	expd 434	. . 3 |- ( u e. om -> ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( ( F ` u ) e. A -> ( F ` suc u ) e. A ) ) )
44	2, 4, 6, 29, 43	finds2 6627	. 2 |- ( z e. om -> ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( F ` z ) e. A ) )
45	44	com12 31	1 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( z e. om -> ( F ` z ) e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1399   E.wex 1620   e. wcel 1826   =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034   \ cdif 3386   C_ wss 3389   (/)c0 3711   |^|cint 4199   |-> cmpt 4425   Oncon0 4792   suc csuc 4794   |` cres 4915   ` cfv 5496   omcom 6599   reccrdg 6993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994

This theorem is referenced by:  unblem3  7689  unblem4  7690