Theorem unblem1 7790

Description: Lemma for unbnn 7794. After removing the successor of an element from an unbounded set of natural numbers, the intersection of the result belongs to the original unbounded set. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unblem1	|- ( ( ( B C_ om /\ A. x e. om E. y e. B x e. y ) /\ A e. B ) -> |^| ( B \ suc A ) e. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem unblem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsson 6703	. . . . . 6 |- om C_ On
2		sstr 3507	. . . . . 6 |- ( ( B C_ om /\ om C_ On ) -> B C_ On )
3	1, 2	mpan2 671	. . . . 5 |- ( B C_ om -> B C_ On )
4	3	ssdifssd 3638	. . . 4 |- ( B C_ om -> ( B \ suc A ) C_ On )
5	4	ad2antrr 725	. . 3 |- ( ( ( B C_ om /\ A. x e. om E. y e. B x e. y ) /\ A e. B ) -> ( B \ suc A ) C_ On )
6		ssel 3493	. . . . . 6 |- ( B C_ om -> ( A e. B -> A e. om ) )
7		peano2b 6715	. . . . . 6 |- ( A e. om <-> suc A e. om )
8	6, 7	syl6ib 226	. . . . 5 |- ( B C_ om -> ( A e. B -> suc A e. om ) )
9		eleq1 2529	. . . . . . . 8 |- ( x = suc A -> ( x e. y <-> suc A e. y ) )
10	9	rexbidv 2968	. . . . . . 7 |- ( x = suc A -> ( E. y e. B x e. y <-> E. y e. B suc A e. y ) )
11	10	rspccva 3209	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. om E. y e. B x e. y /\ suc A e. om ) -> E. y e. B suc A e. y )
12		ssel 3493	. . . . . . . . . . 11 |- ( B C_ om -> ( y e. B -> y e. om ) )
13		nnord 6707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> Ord y )
14		ordn2lp 4907	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Ord y -> -. ( y e. suc A /\ suc A e. y ) )
15		imnan 422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. suc A -> -. suc A e. y ) <-> -. ( y e. suc A /\ suc A e. y ) )
16	14, 15	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord y -> ( y e. suc A -> -. suc A e. y ) )
17	16	con2d 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord y -> ( suc A e. y -> -. y e. suc A ) )
18	13, 17	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( suc A e. y -> -. y e. suc A ) )
19	12, 18	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( B C_ om -> ( y e. B -> ( suc A e. y -> -. y e. suc A ) ) )
20	19	imdistand 692	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ om -> ( ( y e. B /\ suc A e. y ) -> ( y e. B /\ -. y e. suc A ) ) )
21		eldif 3481	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B \ suc A ) <-> ( y e. B /\ -. y e. suc A ) )
22		ne0i 3799	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B \ suc A ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) )
23	21, 22	sylbir 213	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. B /\ -. y e. suc A ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) )
24	20, 23	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( B C_ om -> ( ( y e. B /\ suc A e. y ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) ) )
25	24	expd 436	. . . . . . 7 |- ( B C_ om -> ( y e. B -> ( suc A e. y -> ( B \ suc A ) =/= (/) ) ) )
26	25	rexlimdv 2947	. . . . . 6 |- ( B C_ om -> ( E. y e. B suc A e. y -> ( B \ suc A ) =/= (/) ) )
27	11, 26	syl5 32	. . . . 5 |- ( B C_ om -> ( ( A. x e. om E. y e. B x e. y /\ suc A e. om ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) ) )
28	8, 27	sylan2d 482	. . . 4 |- ( B C_ om -> ( ( A. x e. om E. y e. B x e. y /\ A e. B ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) ) )
29	28	impl 620	. . 3 |- ( ( ( B C_ om /\ A. x e. om E. y e. B x e. y ) /\ A e. B ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) )
30		onint 6629	. . 3 |- ( ( ( B \ suc A ) C_ On /\ ( B \ suc A ) =/= (/) ) -> |^| ( B \ suc A ) e. ( B \ suc A ) )
31	5, 29, 30	syl2anc 661	. 2 |- ( ( ( B C_ om /\ A. x e. om E. y e. B x e. y ) /\ A e. B ) -> |^| ( B \ suc A ) e. ( B \ suc A ) )
32	31	eldifad 3483	1 |- ( ( ( B C_ om /\ A. x e. om E. y e. B x e. y ) /\ A e. B ) -> |^| ( B \ suc A ) e. B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   \ cdif 3468   C_ wss 3471   (/)c0 3793   |^|cint 4288   Ord word 4886   Oncon0 4887   suc csuc 4889   omcom 6699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-br 4457  df-opab 4516  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-om 6700

This theorem is referenced by:  unblem2  7791  unblem3  7792