Theorem unblem1 7674

Description: Lemma for unbnn 7678. After removing the successor of an element from an unbounded set of natural numbers, the intersection of the result belongs to the original unbounded set. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unblem1	|- ( ( ( B C_ om /\ A. x e. om E. y e. B x e. y ) /\ A e. B ) -> |^| ( B \ suc A ) e. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem unblem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsson 6589	. . . . . 6 |- om C_ On
2		sstr 3471	. . . . . 6 |- ( ( B C_ om /\ om C_ On ) -> B C_ On )
3	1, 2	mpan2 671	. . . . 5 |- ( B C_ om -> B C_ On )
4	3	ssdifssd 3601	. . . 4 |- ( B C_ om -> ( B \ suc A ) C_ On )
5	4	ad2antrr 725	. . 3 |- ( ( ( B C_ om /\ A. x e. om E. y e. B x e. y ) /\ A e. B ) -> ( B \ suc A ) C_ On )
6		ssel 3457	. . . . . 6 |- ( B C_ om -> ( A e. B -> A e. om ) )
7		peano2b 6601	. . . . . 6 |- ( A e. om <-> suc A e. om )
8	6, 7	syl6ib 226	. . . . 5 |- ( B C_ om -> ( A e. B -> suc A e. om ) )
9		eleq1 2526	. . . . . . . 8 |- ( x = suc A -> ( x e. y <-> suc A e. y ) )
10	9	rexbidv 2864	. . . . . . 7 |- ( x = suc A -> ( E. y e. B x e. y <-> E. y e. B suc A e. y ) )
11	10	rspccva 3176	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. om E. y e. B x e. y /\ suc A e. om ) -> E. y e. B suc A e. y )
12		ssel 3457	. . . . . . . . . . 11 |- ( B C_ om -> ( y e. B -> y e. om ) )
13		nnord 6593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> Ord y )
14		ordn2lp 4846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Ord y -> -. ( y e. suc A /\ suc A e. y ) )
15		imnan 422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. suc A -> -. suc A e. y ) <-> -. ( y e. suc A /\ suc A e. y ) )
16	14, 15	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord y -> ( y e. suc A -> -. suc A e. y ) )
17	16	con2d 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord y -> ( suc A e. y -> -. y e. suc A ) )
18	13, 17	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( suc A e. y -> -. y e. suc A ) )
19	12, 18	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( B C_ om -> ( y e. B -> ( suc A e. y -> -. y e. suc A ) ) )
20	19	imdistand 692	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ om -> ( ( y e. B /\ suc A e. y ) -> ( y e. B /\ -. y e. suc A ) ) )
21		eldif 3445	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B \ suc A ) <-> ( y e. B /\ -. y e. suc A ) )
22		ne0i 3750	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B \ suc A ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) )
23	21, 22	sylbir 213	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. B /\ -. y e. suc A ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) )
24	20, 23	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( B C_ om -> ( ( y e. B /\ suc A e. y ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) ) )
25	24	expd 436	. . . . . . 7 |- ( B C_ om -> ( y e. B -> ( suc A e. y -> ( B \ suc A ) =/= (/) ) ) )
26	25	rexlimdv 2944	. . . . . 6 |- ( B C_ om -> ( E. y e. B suc A e. y -> ( B \ suc A ) =/= (/) ) )
27	11, 26	syl5 32	. . . . 5 |- ( B C_ om -> ( ( A. x e. om E. y e. B x e. y /\ suc A e. om ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) ) )
28	8, 27	sylan2d 482	. . . 4 |- ( B C_ om -> ( ( A. x e. om E. y e. B x e. y /\ A e. B ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) ) )
29	28	impl 620	. . 3 |- ( ( ( B C_ om /\ A. x e. om E. y e. B x e. y ) /\ A e. B ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) )
30		onint 6515	. . 3 |- ( ( ( B \ suc A ) C_ On /\ ( B \ suc A ) =/= (/) ) -> |^| ( B \ suc A ) e. ( B \ suc A ) )
31	5, 29, 30	syl2anc 661	. 2 |- ( ( ( B C_ om /\ A. x e. om E. y e. B x e. y ) /\ A e. B ) -> |^| ( B \ suc A ) e. ( B \ suc A ) )
32	31	eldifad 3447	1 |- ( ( ( B C_ om /\ A. x e. om E. y e. B x e. y ) /\ A e. B ) -> |^| ( B \ suc A ) e. B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2647   A.wral 2798   E.wrex 2799   \ cdif 3432   C_ wss 3435   (/)c0 3744   |^|cint 4235   Ord word 4825   Oncon0 4826   suc csuc 4828   omcom 6585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pr 4638  ax-un 6481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-br 4400  df-opab 4458  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-om 6586

This theorem is referenced by:  unblem2  7675  unblem3  7676