Theorem unblem1 7828

Description: Lemma for unbnn 7832. After removing the successor of an element from an unbounded set of natural numbers, the intersection of the result belongs to the original unbounded set. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unblem1	|- ( ( ( B C_ om /\ A. x e. om E. y e. B x e. y ) /\ A e. B ) -> |^| ( B \ suc A ) e. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem unblem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsson 6701	. . . . . 6 |- om C_ On
2		sstr 3442	. . . . . 6 |- ( ( B C_ om /\ om C_ On ) -> B C_ On )
3	1, 2	mpan2 678	. . . . 5 |- ( B C_ om -> B C_ On )
4	3	ssdifssd 3573	. . . 4 |- ( B C_ om -> ( B \ suc A ) C_ On )
5	4	ad2antrr 733	. . 3 |- ( ( ( B C_ om /\ A. x e. om E. y e. B x e. y ) /\ A e. B ) -> ( B \ suc A ) C_ On )
6		ssel 3428	. . . . . 6 |- ( B C_ om -> ( A e. B -> A e. om ) )
7		peano2b 6713	. . . . . 6 |- ( A e. om <-> suc A e. om )
8	6, 7	syl6ib 230	. . . . 5 |- ( B C_ om -> ( A e. B -> suc A e. om ) )
9		eleq1 2519	. . . . . . . 8 |- ( x = suc A -> ( x e. y <-> suc A e. y ) )
10	9	rexbidv 2903	. . . . . . 7 |- ( x = suc A -> ( E. y e. B x e. y <-> E. y e. B suc A e. y ) )
11	10	rspccva 3151	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. om E. y e. B x e. y /\ suc A e. om ) -> E. y e. B suc A e. y )
12		ssel 3428	. . . . . . . . . . 11 |- ( B C_ om -> ( y e. B -> y e. om ) )
13		nnord 6705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> Ord y )
14		ordn2lp 5446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Ord y -> -. ( y e. suc A /\ suc A e. y ) )
15		imnan 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. suc A -> -. suc A e. y ) <-> -. ( y e. suc A /\ suc A e. y ) )
16	14, 15	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord y -> ( y e. suc A -> -. suc A e. y ) )
17	16	con2d 119	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord y -> ( suc A e. y -> -. y e. suc A ) )
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( suc A e. y -> -. y e. suc A ) )
19	12, 18	syl6 34	. . . . . . . . . 10 |- ( B C_ om -> ( y e. B -> ( suc A e. y -> -. y e. suc A ) ) )
20	19	imdistand 699	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ om -> ( ( y e. B /\ suc A e. y ) -> ( y e. B /\ -. y e. suc A ) ) )
21		eldif 3416	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B \ suc A ) <-> ( y e. B /\ -. y e. suc A ) )
22		ne0i 3739	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B \ suc A ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) )
23	21, 22	sylbir 217	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. B /\ -. y e. suc A ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) )
24	20, 23	syl6 34	. . . . . . . 8 |- ( B C_ om -> ( ( y e. B /\ suc A e. y ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) ) )
25	24	expd 438	. . . . . . 7 |- ( B C_ om -> ( y e. B -> ( suc A e. y -> ( B \ suc A ) =/= (/) ) ) )
26	25	rexlimdv 2879	. . . . . 6 |- ( B C_ om -> ( E. y e. B suc A e. y -> ( B \ suc A ) =/= (/) ) )
27	11, 26	syl5 33	. . . . 5 |- ( B C_ om -> ( ( A. x e. om E. y e. B x e. y /\ suc A e. om ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) ) )
28	8, 27	sylan2d 485	. . . 4 |- ( B C_ om -> ( ( A. x e. om E. y e. B x e. y /\ A e. B ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) ) )
29	28	impl 626	. . 3 |- ( ( ( B C_ om /\ A. x e. om E. y e. B x e. y ) /\ A e. B ) -> ( B \ suc A ) =/= (/) )
30		onint 6627	. . 3 |- ( ( ( B \ suc A ) C_ On /\ ( B \ suc A ) =/= (/) ) -> |^| ( B \ suc A ) e. ( B \ suc A ) )
31	5, 29, 30	syl2anc 667	. 2 |- ( ( ( B C_ om /\ A. x e. om E. y e. B x e. y ) /\ A e. B ) -> |^| ( B \ suc A ) e. ( B \ suc A ) )
32	31	eldifad 3418	1 |- ( ( ( B C_ om /\ A. x e. om E. y e. B x e. y ) /\ A e. B ) -> |^| ( B \ suc A ) e. B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   \ cdif 3403   C_ wss 3406   (/)c0 3733   |^|cint 4237   Ord word 5425   Oncon0 5426   suc csuc 5428   omcom 6697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-br 4406  df-opab 4465  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-om 6698

This theorem is referenced by:  unblem2  7829  unblem3  7830