Theorem unbenlem 8773

Description: Lemma for unben 8774.

Hypothesis

Ref	Expression
unbenlem.1	|- G = (rec({<.z, w>. | w = (z + 1)}, 1) |` om)

Assertion

Ref	Expression
unbenlem	|- ((A C_ NN /\ A.m e. NN E.n e. A m < n) -> A ~~ om)

Distinct variable groups:   m,n,z,w,A   m,G,n

Proof of Theorem unbenlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 7116	. . . . 5 |- NN e. _V
2	1	ssex 3455	. . . 4 |- (A C_ NN -> A e. _V)
3		1z 7368	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
4		unbenlem.1	. . . . . . . . 9 |- G = (rec({<.z, w>. | w = (z + 1)}, 1) |` om)
5	3, 4	om2uzf1oi 7712	. . . . . . . 8 |- G:om-1-1-onto->{t e. ZZ | 1 <_ t}
6		nnzrab 7366	. . . . . . . . 9 |- NN = {t e. ZZ | 1 <_ t}
7		f1oeq3 4632	. . . . . . . . 9 |- (NN = {t e. ZZ | 1 <_ t} -> (G:om-1-1-onto->NN <-> G:om-1-1-onto->{t e. ZZ | 1 <_ t}))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (G:om-1-1-onto->NN <-> G:om-1-1-onto->{t e. ZZ | 1 <_ t})
9	5, 8	mpbir 207	. . . . . . 7 |- G:om-1-1-onto->NN
10		f1ocnv 4651	. . . . . . 7 |- (G:om-1-1-onto->NN -> `'G:NN-1-1-onto->om)
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . 6 |- `'G:NN-1-1-onto->om
12		f1of1 4634	. . . . . 6 |- (`'G:NN-1-1-onto->om -> `'G:NN-1-1->om)
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . 5 |- `'G:NN-1-1->om
14		f1ores 4654	. . . . 5 |- ((`'G:NN-1-1->om /\ A C_ NN) -> (`'G |` A):A-1-1-onto->(`'G"A))
15	13, 14	mpan 759	. . . 4 |- (A C_ NN -> (`'G |` A):A-1-1-onto->(`'G"A))
16		f1oeng 5454	. . . 4 |- ((A e. _V /\ (`'G |` A):A-1-1-onto->(`'G"A)) -> A ~~ (`'G"A))
17	2, 15, 16	syl11anc 524	. . 3 |- (A C_ NN -> A ~~ (`'G"A))
18	17	adantr 425	. 2 |- ((A C_ NN /\ A.m e. NN E.n e. A m < n) -> A ~~ (`'G"A))
19		unbnn3 5746	. . 3 |- (((`'G"A) C_ om /\ A.v e. om E.u e. (`'G"A)v e. u) -> (`'G"A) ~~ om)
20		imassrn 4278	. . . 4 |- (`'G"A) C_ ran `' G
21		dfdm4 4151	. . . . 5 |- dom G = ran `' G
22		f1of 4635	. . . . . . 7 |- (G:om-1-1-onto->NN -> G:om-->NN)
23	9, 22	ax-mp 7	. . . . . 6 |- G:om-->NN
24	23	fdmi 4568	. . . . 5 |- dom G = om
25	21, 24	eqtr3i 1910	. . . 4 |- ran `' G = om
26	20, 25	sseqtri 2649	. . 3 |- (`'G"A) C_ om
27	3, 4	om2uzuzi 7708	. . . . . . . . . . 11 |- (v e. om -> (G` v) e. {t e. ZZ | 1 <_ t})
28	27, 6	syl6eleqr 1982	. . . . . . . . . 10 |- (v e. om -> (G` v) e. NN)
29		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (m = (G` v) -> (m < n <-> (G` v) < n))
30	29	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . 11 |- (m = (G` v) -> (E.n e. A m < n <-> E.n e. A (G` v) < n))
31	30	rcla4v 2376	. . . . . . . . . 10 |- ((G` v) e. NN -> (A.m e. NN E.n e. A m < n -> E.n e. A (G` v) < n))
32	28, 31	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (v e. om -> (A.m e. NN E.n e. A m < n -> E.n e. A (G` v) < n))
33	32	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((v e. om /\ A C_ NN) -> (A.m e. NN E.n e. A m < n -> E.n e. A (G` v) < n))
34		fvres 4691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (u e. (`'G"A) -> ((G |` (`'G"A))` u) = (G` u))
35	34	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (u e. (`'G"A) -> (((G |` (`'G"A))` u) = n <-> (G` u) = n))
36	35	biimpa 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((u e. (`'G"A) /\ ((G |` (`'G"A))` u) = n) -> (G` u) = n)
37	36	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((v e. om /\ u e. (`'G"A)) /\ ((G |` (`'G"A))` u) = n) -> (G` u) = n)
38	3, 4	om2uzlt2i 7710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((v e. om /\ u e. om) -> (v e. u <-> (G` v) < (G` u)))
39	26	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (u e. (`'G"A) -> u e. om)
40	38, 39	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((v e. om /\ u e. (`'G"A)) -> (v e. u <-> (G` v) < (G` u)))
41		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((G` u) = n -> ((G` v) < (G` u) <-> (G` v) < n))
42	40, 41	sylan9bb 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((v e. om /\ u e. (`'G"A)) /\ (G` u) = n) -> (v e. u <-> (G` v) < n))
43	37, 42	syldan 516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((v e. om /\ u e. (`'G"A)) /\ ((G |` (`'G"A))` u) = n) -> (v e. u <-> (G` v) < n))
44	43	biimparc 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((G` v) < n /\ ((v e. om /\ u e. (`'G"A)) /\ ((G |` (`'G"A))` u) = n)) -> v e. u)
45	44	exp44 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((G` v) < n -> (v e. om -> (u e. (`'G"A) -> (((G |` (`'G"A))` u) = n -> v e. u))))
46	45	imp31 389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((G` v) < n /\ v e. om) /\ u e. (`'G"A)) -> (((G |` (`'G"A))` u) = n -> v e. u))
47	46	reximdva 2203	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((G` v) < n /\ v e. om) -> (E.u e. (`'G"A)((G |` (`'G"A))` u) = n -> E.u e. (`'G"A)v e. u))
48		f1ocnv 4651	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((`'G |` A):A-1-1-onto->(`'G"A) -> `'(`'G |` A):(`'G"A)-1-1-onto->A)
49	15, 48	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A C_ NN -> `'(`'G |` A):(`'G"A)-1-1-onto->A)
50		f1ofun 4637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (G:om-1-1-onto->NN -> Fun G)
51	9, 50	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Fun G
52		funcnvres2 4489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (Fun G -> `'(`'G |` A) = (G |` (`'G"A)))
53	51, 52	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- `'(`'G |` A) = (G |` (`'G"A))
54		f1oeq1 4630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (`'(`'G |` A) = (G |` (`'G"A)) -> (`'(`'G |` A):(`'G"A)-1-1-onto->A <-> (G |` (`'G"A)):(`'G"A)-1-1-onto->A))
55	53, 54	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (`'(`'G |` A):(`'G"A)-1-1-onto->A <-> (G |` (`'G"A)):(`'G"A)-1-1-onto->A)
56	49, 55	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A C_ NN -> (G |` (`'G"A)):(`'G"A)-1-1-onto->A)
57		f1ofo 4643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((G |` (`'G"A)):(`'G"A)-1-1-onto->A -> (G |` (`'G"A)):(`'G"A)-onto->A)
58		forn 4620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((G |` (`'G"A)):(`'G"A)-onto->A -> ran ( G |` (`'G"A)) = A)
59	57, 58	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((G |` (`'G"A)):(`'G"A)-1-1-onto->A -> ran ( G |` (`'G"A)) = A)
60	59	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((G |` (`'G"A)):(`'G"A)-1-1-onto->A -> (n e. ran ( G |` (`'G"A)) <-> n e. A))
61		f1ofn 4636	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((G |` (`'G"A)):(`'G"A)-1-1-onto->A -> (G |` (`'G"A)) Fn (`'G"A))
62		fvelrnb 4719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((G |` (`'G"A)) Fn (`'G"A) -> (n e. ran ( G |` (`'G"A)) <-> E.u e. (`'G"A)((G |` (`'G"A))` u) = n))
63	61, 62	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((G |` (`'G"A)):(`'G"A)-1-1-onto->A -> (n e. ran ( G |` (`'G"A)) <-> E.u e. (`'G"A)((G |` (`'G"A))` u) = n))
64	60, 63	bitr3d 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((G |` (`'G"A)):(`'G"A)-1-1-onto->A -> (n e. A <-> E.u e. (`'G"A)((G |` (`'G"A))` u) = n))
65	56, 64	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A C_ NN -> (n e. A <-> E.u e. (`'G"A)((G |` (`'G"A))` u) = n))
66	65	biimpa 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A C_ NN /\ n e. A) -> E.u e. (`'G"A)((G |` (`'G"A))` u) = n)
67	47, 66	syl5 20	. . . . . . . . . . . 12 |- (((G` v) < n /\ v e. om) -> ((A C_ NN /\ n e. A) -> E.u e. (`'G"A)v e. u))
68	67	exp4b 410	. . . . . . . . . . 11 |- ((G` v) < n -> (v e. om -> (A C_ NN -> (n e. A -> E.u e. (`'G"A)v e. u))))
69	68	com4l 43	. . . . . . . . . 10 |- (v e. om -> (A C_ NN -> (n e. A -> ((G` v) < n -> E.u e. (`'G"A)v e. u))))
70	69	imp 377	. . . . . . . . 9 |- ((v e. om /\ A C_ NN) -> (n e. A -> ((G` v) < n -> E.u e. (`'G"A)v e. u)))
71	70	r19.23adv 2215	. . . . . . . 8 |- ((v e. om /\ A C_ NN) -> (E.n e. A (G` v) < n -> E.u e. (`'G"A)v e. u))
72	33, 71	syld 30	. . . . . . 7 |- ((v e. om /\ A C_ NN) -> (A.m e. NN E.n e. A m < n -> E.u e. (`'G"A)v e. u))
73	72	ex 402	. . . . . 6 |- (v e. om -> (A C_ NN -> (A.m e. NN E.n e. A m < n -> E.u e. (`'G"A)v e. u)))
74	73	com3l 38	. . . . 5 |- (A C_ NN -> (A.m e. NN E.n e. A m < n -> (v e. om -> E.u e. (`'G"A)v e. u)))
75	74	imp 377	. . . 4 |- ((A C_ NN /\ A.m e. NN E.n e. A m < n) -> (v e. om -> E.u e. (`'G"A)v e. u))
76	75	r19.21aiv 2175	. . 3 |- ((A C_ NN /\ A.m e. NN E.n e. A m < n) -> A.v e. om E.u e. (`'G"A)v e. u)
77	19, 26, 76	sylancr 526	. 2 |- ((A C_ NN /\ A.m e. NN E.n e. A m < n) -> (`'G"A) ~~ om)
78		entr 5473	. 2 |- ((A ~~ (`'G"A) /\ (`'G"A) ~~ om) -> A ~~ om)
79	18, 77, 78	syl11anc 524	1 |- ((A C_ NN /\ A.m e. NN E.n e. A m < n) -> A ~~ om)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  {copab 3395  omcom 3949  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  ran crn 3987   |` cres 3988  "cima 3989  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  -->wf 3994  -1-1->wf1 3995  -onto->wfo 3996  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  reccrdg 5139   ~~ cen 5423  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  NNcn 6449  ZZcz 6451   < clt 6653

This theorem is referenced by:  unben 8774

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345

Copyright terms: Public domain