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Theorem unbenlem 13974
Description: Lemma for unben 13975. (Contributed by NM, 5-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
unbenlem.1  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
unbenlem  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A  ~~  om )
Distinct variable groups:    m, n, A    m, G, n
Allowed substitution hints:    A( x)    G( x)

Proof of Theorem unbenlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 10333 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
21ssex 4441 . . . 4  |-  ( A 
C_  NN  ->  A  e. 
_V )
3 1z 10681 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
4 unbenlem.1 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
53, 4om2uzf1oi 11781 . . . . . . 7  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  1 )
6 nnuz 10901 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7 f1oeq3 5639 . . . . . . . 8  |-  ( NN  =  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( G : om -1-1-onto-> NN  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  1 )
) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  1 )
)
95, 8mpbir 209 . . . . . 6  |-  G : om
-1-1-onto-> NN
10 f1ocnv 5658 . . . . . 6  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  ->  `' G : NN -1-1-onto-> om )
11 f1of1 5645 . . . . . 6  |-  ( `' G : NN -1-1-onto-> om  ->  `' G : NN -1-1-> om )
129, 10, 11mp2b 10 . . . . 5  |-  `' G : NN -1-1-> om
13 f1ores 5660 . . . . 5  |-  ( ( `' G : NN -1-1-> om  /\  A  C_  NN )  ->  ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
1412, 13mpan 670 . . . 4  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
15 f1oeng 7333 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )  ->  A  ~~  ( `' G " A ) )
162, 14, 15syl2anc 661 . . 3  |-  ( A 
C_  NN  ->  A  ~~  ( `' G " A ) )
1716adantr 465 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A  ~~  ( `' G " A ) )
18 imassrn 5185 . . . 4  |-  ( `' G " A ) 
C_  ran  `' G
19 dfdm4 5037 . . . . 5  |-  dom  G  =  ran  `' G
20 f1of 5646 . . . . . . 7  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  ->  G : om
--> NN )
219, 20ax-mp 5 . . . . . 6  |-  G : om
--> NN
2221fdmi 5569 . . . . 5  |-  dom  G  =  om
2319, 22eqtr3i 2465 . . . 4  |-  ran  `' G  =  om
2418, 23sseqtri 3393 . . 3  |-  ( `' G " A ) 
C_  om
253, 4om2uzuzi 11777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2625, 6syl6eleqr 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  NN )
27 breq1 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( G `  y )  ->  (
m  <  n  <->  ( G `  y )  <  n
) )
2827rexbidv 2741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( G `  y )  ->  ( E. n  e.  A  m  <  n  <->  E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n
) )
2928rspcv 3074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  y )  e.  NN  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n
) )
3026, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n
) )
3130adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  C_  NN )  -> 
( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n ) )
32 f1ocnv 5658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A )  ->  `' ( `' G  |`  A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
3314, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  NN  ->  `' ( `' G  |`  A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
34 f1ofun 5648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  ->  Fun  G )
359, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Fun  G
36 funcnvres2 5494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun 
G  ->  `' ( `' G  |`  A )  =  ( G  |`  ( `' G " A ) ) )
37 f1oeq1 5637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( `' G  |`  A )  =  ( G  |`  ( `' G " A ) )  ->  ( `' ( `' G  |`  A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  <->  ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A ) )
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( `' G  |`  A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  <-> 
( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
3933, 38sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
40 f1ofo 5653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -onto-> A )
41 forn 5628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -onto-> A  ->  ran  ( G  |`  ( `' G " A ) )  =  A )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ran  ( G  |`  ( `' G " A ) )  =  A )
4342eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( n  e.  ran  ( G  |`  ( `' G " A ) )  <->  n  e.  A
) )
44 f1ofn 5647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  |`  ( `' G " A ) )  Fn  ( `' G " A ) )
45 fvelrnb 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) )  Fn  ( `' G " A )  ->  (
n  e.  ran  ( G  |`  ( `' G " A ) )  <->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( n  e.  ran  ( G  |`  ( `' G " A ) )  <->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n ) )
4743, 46bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( n  e.  A  <->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n ) )
4839, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( n  e.  A  <->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n ) )
4948biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  NN  /\  n  e.  A )  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n )
50 fvres 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( `' G " A )  ->  (
( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  ( G `  m ) )
5150eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( `' G " A )  ->  (
( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n  <->  ( G `  m )  =  n ) )
5251biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  ( `' G " A )  /\  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n )  ->  ( G `  m )  =  n )
5352adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  /\  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n )  ->  ( G `  m )  =  n )
5424sseli 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( `' G " A )  ->  m  e.  om )
553, 4om2uzlt2i 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  om  /\  m  e.  om )  ->  ( y  e.  m  <->  ( G `  y )  <  ( G `  m ) ) )
5654, 55sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  ->  ( y  e.  m  <->  ( G `  y )  <  ( G `  m )
) )
57 breq2 4301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G `  m )  =  n  ->  (
( G `  y
)  <  ( G `  m )  <->  ( G `  y )  <  n
) )
5856, 57sylan9bb 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  /\  ( G `
 m )  =  n )  ->  (
y  e.  m  <->  ( G `  y )  <  n
) )
5953, 58syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  /\  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n )  ->  (
y  e.  m  <->  ( G `  y )  <  n
) )
6059biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  y
)  <  n  /\  ( ( y  e. 
om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  /\  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n ) )  -> 
y  e.  m )
6160exp44 613 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  y )  <  n  ->  (
y  e.  om  ->  ( m  e.  ( `' G " A )  ->  ( ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n  ->  y  e.  m ) ) ) )
6261imp31 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G `  y )  <  n  /\  y  e.  om )  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  ->  ( (
( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n  ->  y  e.  m ) )
6362reximdva 2833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  y
)  <  n  /\  y  e.  om )  ->  ( E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
6449, 63syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  y
)  <  n  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  C_  NN  /\  n  e.  A
)  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
6564exp4b 607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  y )  <  n  ->  (
y  e.  om  ->  ( A  C_  NN  ->  ( n  e.  A  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) ) )
6665com4l 84 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  C_  NN  ->  (
n  e.  A  -> 
( ( G `  y )  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) ) )
6766imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  C_  NN )  -> 
( n  e.  A  ->  ( ( G `  y )  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) )
6867rexlimdv 2845 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  C_  NN )  -> 
( E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
6931, 68syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  C_  NN )  -> 
( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
7069ex 434 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  C_  NN  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) )
7170com3l 81 . . . . 5  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  ( y  e. 
om  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) )
7271imp 429 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  ( y  e.  om  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
7372ralrimiv 2803 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A. y  e.  om  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m )
74 unbnn3 7869 . . 3  |-  ( ( ( `' G " A )  C_  om  /\  A. y  e.  om  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m )  -> 
( `' G " A )  ~~  om )
7524, 73, 74sylancr 663 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  ( `' G " A )  ~~  om )
76 entr 7366 . 2  |-  ( ( A  ~~  ( `' G " A )  /\  ( `' G " A )  ~~  om )  ->  A  ~~  om )
7717, 75, 76syl2anc 661 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A  ~~  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846    |` cres 4847   "cima 4848   Fun wfun 5417    Fn wfn 5418   -->wf 5419   -1-1->wf1 5420   -onto->wfo 5421   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   omcom 6481   reccrdg 6870    ~~ cen 7312   1c1 9288    + caddc 9290    < clt 9423   NNcn 10327   ZZ>=cuz 10866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867
This theorem is referenced by:  unben  13975
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