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Theorem unbenlem 13231
Description: Lemma for unben 13232. (Contributed by NM, 5-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
unbenlem.1  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
unbenlem  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A  ~~  om )
Distinct variable groups:    m, n, A    m, G, n
Allowed substitution hints:    A( x)    G( x)

Proof of Theorem unbenlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 9962 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
21ssex 4307 . . . 4  |-  ( A 
C_  NN  ->  A  e. 
_V )
3 1z 10267 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
4 unbenlem.1 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
53, 4om2uzf1oi 11248 . . . . . . 7  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  1 )
6 nnuz 10477 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7 f1oeq3 5626 . . . . . . . 8  |-  ( NN  =  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( G : om -1-1-onto-> NN  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  1 )
) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  1 )
)
95, 8mpbir 201 . . . . . 6  |-  G : om
-1-1-onto-> NN
10 f1ocnv 5646 . . . . . 6  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  ->  `' G : NN -1-1-onto-> om )
11 f1of1 5632 . . . . . 6  |-  ( `' G : NN -1-1-onto-> om  ->  `' G : NN -1-1-> om )
129, 10, 11mp2b 10 . . . . 5  |-  `' G : NN -1-1-> om
13 f1ores 5648 . . . . 5  |-  ( ( `' G : NN -1-1-> om  /\  A  C_  NN )  ->  ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
1412, 13mpan 652 . . . 4  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
15 f1oeng 7085 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )  ->  A  ~~  ( `' G " A ) )
162, 14, 15syl2anc 643 . . 3  |-  ( A 
C_  NN  ->  A  ~~  ( `' G " A ) )
1716adantr 452 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A  ~~  ( `' G " A ) )
18 imassrn 5175 . . . 4  |-  ( `' G " A ) 
C_  ran  `' G
19 dfdm4 5022 . . . . 5  |-  dom  G  =  ran  `' G
20 f1of 5633 . . . . . . 7  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  ->  G : om
--> NN )
219, 20ax-mp 8 . . . . . 6  |-  G : om
--> NN
2221fdmi 5555 . . . . 5  |-  dom  G  =  om
2319, 22eqtr3i 2426 . . . 4  |-  ran  `' G  =  om
2418, 23sseqtri 3340 . . 3  |-  ( `' G " A ) 
C_  om
253, 4om2uzuzi 11244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2625, 6syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  NN )
27 breq1 4175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( G `  y )  ->  (
m  <  n  <->  ( G `  y )  <  n
) )
2827rexbidv 2687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( G `  y )  ->  ( E. n  e.  A  m  <  n  <->  E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n
) )
2928rspcv 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  y )  e.  NN  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n
) )
3026, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n
) )
3130adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  C_  NN )  -> 
( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n ) )
32 f1ocnv 5646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A )  ->  `' ( `' G  |`  A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
3314, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  NN  ->  `' ( `' G  |`  A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
34 f1ofun 5635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  ->  Fun  G )
359, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Fun  G
36 funcnvres2 5483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun 
G  ->  `' ( `' G  |`  A )  =  ( G  |`  ( `' G " A ) ) )
37 f1oeq1 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( `' G  |`  A )  =  ( G  |`  ( `' G " A ) )  ->  ( `' ( `' G  |`  A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  <->  ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A ) )
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( `' G  |`  A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  <-> 
( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
3933, 38sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
40 f1ofo 5640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -onto-> A )
41 forn 5615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -onto-> A  ->  ran  ( G  |`  ( `' G " A ) )  =  A )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ran  ( G  |`  ( `' G " A ) )  =  A )
4342eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( n  e.  ran  ( G  |`  ( `' G " A ) )  <->  n  e.  A
) )
44 f1ofn 5634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  |`  ( `' G " A ) )  Fn  ( `' G " A ) )
45 fvelrnb 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) )  Fn  ( `' G " A )  ->  (
n  e.  ran  ( G  |`  ( `' G " A ) )  <->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( n  e.  ran  ( G  |`  ( `' G " A ) )  <->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n ) )
4743, 46bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( n  e.  A  <->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n ) )
4839, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( n  e.  A  <->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n ) )
4948biimpa 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  NN  /\  n  e.  A )  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n )
50 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( `' G " A )  ->  (
( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  ( G `  m ) )
5150eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( `' G " A )  ->  (
( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n  <->  ( G `  m )  =  n ) )
5251biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  ( `' G " A )  /\  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n )  ->  ( G `  m )  =  n )
5352adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  /\  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n )  ->  ( G `  m )  =  n )
5424sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( `' G " A )  ->  m  e.  om )
553, 4om2uzlt2i 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  om  /\  m  e.  om )  ->  ( y  e.  m  <->  ( G `  y )  <  ( G `  m ) ) )
5654, 55sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  ->  ( y  e.  m  <->  ( G `  y )  <  ( G `  m )
) )
57 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G `  m )  =  n  ->  (
( G `  y
)  <  ( G `  m )  <->  ( G `  y )  <  n
) )
5856, 57sylan9bb 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  /\  ( G `
 m )  =  n )  ->  (
y  e.  m  <->  ( G `  y )  <  n
) )
5953, 58syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  /\  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n )  ->  (
y  e.  m  <->  ( G `  y )  <  n
) )
6059biimparc 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  y
)  <  n  /\  ( ( y  e. 
om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  /\  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n ) )  -> 
y  e.  m )
6160exp44 597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  y )  <  n  ->  (
y  e.  om  ->  ( m  e.  ( `' G " A )  ->  ( ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n  ->  y  e.  m ) ) ) )
6261imp31 422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G `  y )  <  n  /\  y  e.  om )  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  ->  ( (
( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n  ->  y  e.  m ) )
6362reximdva 2778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  y
)  <  n  /\  y  e.  om )  ->  ( E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
6449, 63syl5 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  y
)  <  n  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  C_  NN  /\  n  e.  A
)  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
6564exp4b 591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  y )  <  n  ->  (
y  e.  om  ->  ( A  C_  NN  ->  ( n  e.  A  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) ) )
6665com4l 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  C_  NN  ->  (
n  e.  A  -> 
( ( G `  y )  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) ) )
6766imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  C_  NN )  -> 
( n  e.  A  ->  ( ( G `  y )  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) )
6867rexlimdv 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  C_  NN )  -> 
( E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
6931, 68syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  C_  NN )  -> 
( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
7069ex 424 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  C_  NN  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) )
7170com3l 77 . . . . 5  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  ( y  e. 
om  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) )
7271imp 419 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  ( y  e.  om  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
7372ralrimiv 2748 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A. y  e.  om  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m )
74 unbnn3 7569 . . 3  |-  ( ( ( `' G " A )  C_  om  /\  A. y  e.  om  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m )  -> 
( `' G " A )  ~~  om )
7524, 73, 74sylancr 645 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  ( `' G " A )  ~~  om )
76 entr 7118 . 2  |-  ( ( A  ~~  ( `' G " A )  /\  ( `' G " A )  ~~  om )  ->  A  ~~  om )
7717, 75, 76syl2anc 643 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A  ~~  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   omcom 4804   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   reccrdg 6626    ~~ cen 7065   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076   NNcn 9956   ZZ>=cuz 10444
This theorem is referenced by:  unben  13232
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445
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