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Theorem un0addcl 10716
Description: If  S is closed under addition, then so is  S  u.  { 0 }. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0addcl.1  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
un0addcl.2  |-  T  =  ( S  u.  {
0 } )
un0addcl.3  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  S  /\  N  e.  S ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
un0addcl  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  T  /\  N  e.  T ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  T )

Proof of Theorem un0addcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5  |-  T  =  ( S  u.  {
0 } )
21eleq2i 2529 . . . 4  |-  ( N  e.  T  <->  N  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
3 elun 3597 . . . 4  |-  ( N  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  ( N  e.  S  \/  N  e.  { 0 } ) )
42, 3bitri 249 . . 3  |-  ( N  e.  T  <->  ( N  e.  S  \/  N  e.  { 0 } ) )
51eleq2i 2529 . . . . . 6  |-  ( M  e.  T  <->  M  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
6 elun 3597 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  ( M  e.  S  \/  M  e.  { 0 } ) )
75, 6bitri 249 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  <->  ( M  e.  S  \/  M  e.  { 0 } ) )
8 ssun1 3619 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  ( S  u.  { 0 } )
98, 1sseqtr4i 3489 . . . . . . . 8  |-  S  C_  T
10 un0addcl.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  S  /\  N  e.  S ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  S )
119, 10sseldi 3454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  S  /\  N  e.  S ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  T )
1211expr 615 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  S )  ->  ( N  e.  S  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
1413sselda 3456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  N  e.  CC )
1514addid2d 9673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  (
0  +  N )  =  N )
169a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
1716sselda 3456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  N  e.  T )
1815, 17eqeltrd 2539 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  (
0  +  N )  e.  T )
19 elsni 4002 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  { 0 }  ->  M  =  0 )
2019oveq1d 6207 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  { 0 }  ->  ( M  +  N )  =  ( 0  +  N ) )
2120eleq1d 2520 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  { 0 }  ->  ( ( M  +  N )  e.  T  <->  ( 0  +  N )  e.  T
) )
2218, 21syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  ( M  e.  { 0 }  ->  ( M  +  N )  e.  T
) )
2322impancom 440 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  { 0 } )  -> 
( N  e.  S  ->  ( M  +  N
)  e.  T ) )
2412, 23jaodan 783 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  S  \/  M  e.  { 0 } ) )  ->  ( N  e.  S  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
257, 24sylan2b 475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( N  e.  S  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
26 0cnd 9482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
2726snssd 4118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  CC )
2813, 27unssd 3632 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
291, 28syl5eqss 3500 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
3029sselda 3456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  M  e.  CC )
3130addid1d 9672 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( M  +  0 )  =  M )
32 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  M  e.  T )
3331, 32eqeltrd 2539 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( M  +  0 )  e.  T )
34 elsni 4002 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  { 0 }  ->  N  =  0 )
3534oveq2d 6208 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { 0 }  ->  ( M  +  N )  =  ( M  +  0 ) )
3635eleq1d 2520 . . . . 5  |-  ( N  e.  { 0 }  ->  ( ( M  +  N )  e.  T  <->  ( M  + 
0 )  e.  T
) )
3733, 36syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( N  e.  { 0 }  ->  ( M  +  N )  e.  T
) )
3825, 37jaod 380 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  (
( N  e.  S  \/  N  e.  { 0 } )  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
394, 38syl5bi 217 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( N  e.  T  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
4039impr 619 1  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  T  /\  N  e.  T ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3426    C_ wss 3428   {csn 3977  (class class class)co 6192   CCcc 9383   0cc0 9385    + caddc 9388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-ltxr 9526
This theorem is referenced by:  nn0addcl  10718  plyaddlem  21801  plymullem  21802
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