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Theorem un0addcl 10209
Description: If  S is closed under addition, then so is  S  u.  { 0 }. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0addcl.1  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
un0addcl.2  |-  T  =  ( S  u.  {
0 } )
un0addcl.3  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  S  /\  N  e.  S ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
un0addcl  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  T  /\  N  e.  T ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  T )

Proof of Theorem un0addcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5  |-  T  =  ( S  u.  {
0 } )
21eleq2i 2468 . . . 4  |-  ( N  e.  T  <->  N  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
3 elun 3448 . . . 4  |-  ( N  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  ( N  e.  S  \/  N  e.  { 0 } ) )
42, 3bitri 241 . . 3  |-  ( N  e.  T  <->  ( N  e.  S  \/  N  e.  { 0 } ) )
51eleq2i 2468 . . . . . 6  |-  ( M  e.  T  <->  M  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
6 elun 3448 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  ( M  e.  S  \/  M  e.  { 0 } ) )
75, 6bitri 241 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  <->  ( M  e.  S  \/  M  e.  { 0 } ) )
8 ssun1 3470 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  ( S  u.  { 0 } )
98, 1sseqtr4i 3341 . . . . . . . 8  |-  S  C_  T
10 un0addcl.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  S  /\  N  e.  S ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  S )
119, 10sseldi 3306 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  S  /\  N  e.  S ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  T )
1211expr 599 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  S )  ->  ( N  e.  S  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
1413sselda 3308 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  N  e.  CC )
1514addid2d 9223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  (
0  +  N )  =  N )
169a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
1716sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  N  e.  T )
1815, 17eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  (
0  +  N )  e.  T )
19 elsni 3798 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  { 0 }  ->  M  =  0 )
2019oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  { 0 }  ->  ( M  +  N )  =  ( 0  +  N ) )
2120eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  { 0 }  ->  ( ( M  +  N )  e.  T  <->  ( 0  +  N )  e.  T
) )
2218, 21syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  ( M  e.  { 0 }  ->  ( M  +  N )  e.  T
) )
2322impancom 428 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  { 0 } )  -> 
( N  e.  S  ->  ( M  +  N
)  e.  T ) )
2412, 23jaodan 761 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  S  \/  M  e.  { 0 } ) )  ->  ( N  e.  S  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
257, 24sylan2b 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( N  e.  S  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
26 0cn 9040 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
2827snssd 3903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  CC )
2913, 28unssd 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
301, 29syl5eqss 3352 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
3130sselda 3308 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  M  e.  CC )
3231addid1d 9222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( M  +  0 )  =  M )
33 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  M  e.  T )
3432, 33eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( M  +  0 )  e.  T )
35 elsni 3798 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  { 0 }  ->  N  =  0 )
3635oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { 0 }  ->  ( M  +  N )  =  ( M  +  0 ) )
3736eleq1d 2470 . . . . 5  |-  ( N  e.  { 0 }  ->  ( ( M  +  N )  e.  T  <->  ( M  + 
0 )  e.  T
) )
3834, 37syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( N  e.  { 0 }  ->  ( M  +  N )  e.  T
) )
3925, 38jaod 370 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  (
( N  e.  S  \/  N  e.  { 0 } )  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
404, 39syl5bi 209 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( N  e.  T  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
4140impr 603 1  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  T  /\  N  e.  T ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    u. cun 3278    C_ wss 3280   {csn 3774  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946    + caddc 8949
This theorem is referenced by:  nn0addcl  10211  plyaddlem  20087  plymullem  20088
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081
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