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Theorem un0addcl 10849
Description: If  S is closed under addition, then so is  S  u.  { 0 }. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0addcl.1  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
un0addcl.2  |-  T  =  ( S  u.  {
0 } )
un0addcl.3  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  S  /\  N  e.  S ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
un0addcl  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  T  /\  N  e.  T ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  T )

Proof of Theorem un0addcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5  |-  T  =  ( S  u.  {
0 } )
21eleq2i 2493 . . . 4  |-  ( N  e.  T  <->  N  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
3 elun 3544 . . . 4  |-  ( N  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  ( N  e.  S  \/  N  e.  { 0 } ) )
42, 3bitri 252 . . 3  |-  ( N  e.  T  <->  ( N  e.  S  \/  N  e.  { 0 } ) )
51eleq2i 2493 . . . . . 6  |-  ( M  e.  T  <->  M  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
6 elun 3544 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  ( M  e.  S  \/  M  e.  { 0 } ) )
75, 6bitri 252 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  <->  ( M  e.  S  \/  M  e.  { 0 } ) )
8 ssun1 3567 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  ( S  u.  { 0 } )
98, 1sseqtr4i 3435 . . . . . . . 8  |-  S  C_  T
10 un0addcl.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  S  /\  N  e.  S ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  S )
119, 10sseldi 3400 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  S  /\  N  e.  S ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  T )
1211expr 618 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  S )  ->  ( N  e.  S  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
1413sselda 3402 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  N  e.  CC )
1514addid2d 9780 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  (
0  +  N )  =  N )
169a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
1716sselda 3402 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  N  e.  T )
1815, 17eqeltrd 2501 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  (
0  +  N )  e.  T )
19 elsni 3961 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  { 0 }  ->  M  =  0 )
2019oveq1d 6259 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  { 0 }  ->  ( M  +  N )  =  ( 0  +  N ) )
2120eleq1d 2485 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  { 0 }  ->  ( ( M  +  N )  e.  T  <->  ( 0  +  N )  e.  T
) )
2218, 21syl5ibrcom 225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  ( M  e.  { 0 }  ->  ( M  +  N )  e.  T
) )
2322impancom 441 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  { 0 } )  -> 
( N  e.  S  ->  ( M  +  N
)  e.  T ) )
2412, 23jaodan 792 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  S  \/  M  e.  { 0 } ) )  ->  ( N  e.  S  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
257, 24sylan2b 477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( N  e.  S  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
26 0cnd 9582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
2726snssd 4083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  CC )
2813, 27unssd 3580 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
291, 28syl5eqss 3446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
3029sselda 3402 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  M  e.  CC )
3130addid1d 9779 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( M  +  0 )  =  M )
32 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  M  e.  T )
3331, 32eqeltrd 2501 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( M  +  0 )  e.  T )
34 elsni 3961 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  { 0 }  ->  N  =  0 )
3534oveq2d 6260 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { 0 }  ->  ( M  +  N )  =  ( M  +  0 ) )
3635eleq1d 2485 . . . . 5  |-  ( N  e.  { 0 }  ->  ( ( M  +  N )  e.  T  <->  ( M  + 
0 )  e.  T
) )
3733, 36syl5ibrcom 225 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( N  e.  { 0 }  ->  ( M  +  N )  e.  T
) )
3825, 37jaod 381 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  (
( N  e.  S  \/  N  e.  { 0 } )  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
394, 38syl5bi 220 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( N  e.  T  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
4039impr 623 1  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  T  /\  N  e.  T ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    u. cun 3372    C_ wss 3374   {csn 3936  (class class class)co 6244   CCcc 9483   0cc0 9485    + caddc 9488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-uni 4158  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-ov 6247  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-ltxr 9626
This theorem is referenced by:  nn0addcl  10851  plyaddlem  23106  plymullem  23107
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