MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrafi Structured version   Unicode version

Theorem umgrafi 23224
Description: An edge is a finite subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
umgrafi  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  e.  Fin )

Proof of Theorem umgrafi
StepHypRef Expression
1 umgrale 23223 . 2  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  2 )
2 2re 10383 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
3 ltpnf 11094 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR  ->  2  < +oo )
42, 3ax-mp 5 . . . . 5  |-  2  < +oo
52rexri 9428 . . . . . 6  |-  2  e.  RR*
6 pnfxr 11084 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
7 xrltnle 9435 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
2  < +oo  <->  -. +oo  <_  2 ) )
85, 6, 7mp2an 672 . . . . 5  |-  ( 2  < +oo  <->  -. +oo  <_  2
)
94, 8mpbi 208 . . . 4  |-  -. +oo  <_  2
10 fvex 5696 . . . . . 6  |-  ( E `
 F )  e. 
_V
11 hashinf 12100 . . . . . 6  |-  ( ( ( E `  F
)  e.  _V  /\  -.  ( E `  F
)  e.  Fin )  ->  ( # `  ( E `  F )
)  = +oo )
1210, 11mpan 670 . . . . 5  |-  ( -.  ( E `  F
)  e.  Fin  ->  (
# `  ( E `  F ) )  = +oo )
1312breq1d 4297 . . . 4  |-  ( -.  ( E `  F
)  e.  Fin  ->  ( ( # `  ( E `  F )
)  <_  2  <-> +oo  <_  2
) )
149, 13mtbiri 303 . . 3  |-  ( -.  ( E `  F
)  e.  Fin  ->  -.  ( # `  ( E `  F )
)  <_  2 )
1514con4i 130 . 2  |-  ( (
# `  ( E `  F ) )  <_ 
2  ->  ( E `  F )  e.  Fin )
161, 15syl 16 1  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   class class class wbr 4287    Fn wfn 5408   ` cfv 5413   Fincfn 7302   RRcr 9273   +oocpnf 9407   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411   2c2 10363   #chash 12095   UMGrph cumg 23214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-hash 12096  df-umgra 23215
This theorem is referenced by:  umgraex  23225
  Copyright terms: Public domain W3C validator