MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrafi Structured version   Unicode version

Theorem umgrafi 24449
Description: An edge is a finite subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
umgrafi  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  e.  Fin )

Proof of Theorem umgrafi
StepHypRef Expression
1 umgrale 24448 . 2  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  2 )
2 2re 10626 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
3 ltpnf 11356 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR  ->  2  < +oo )
42, 3ax-mp 5 . . . . 5  |-  2  < +oo
52rexri 9663 . . . . . 6  |-  2  e.  RR*
6 pnfxr 11346 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
7 xrltnle 9670 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
2  < +oo  <->  -. +oo  <_  2 ) )
85, 6, 7mp2an 672 . . . . 5  |-  ( 2  < +oo  <->  -. +oo  <_  2
)
94, 8mpbi 208 . . . 4  |-  -. +oo  <_  2
10 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( E `
 F )  e. 
_V
11 hashinf 12413 . . . . . 6  |-  ( ( ( E `  F
)  e.  _V  /\  -.  ( E `  F
)  e.  Fin )  ->  ( # `  ( E `  F )
)  = +oo )
1210, 11mpan 670 . . . . 5  |-  ( -.  ( E `  F
)  e.  Fin  ->  (
# `  ( E `  F ) )  = +oo )
1312breq1d 4466 . . . 4  |-  ( -.  ( E `  F
)  e.  Fin  ->  ( ( # `  ( E `  F )
)  <_  2  <-> +oo  <_  2
) )
149, 13mtbiri 303 . . 3  |-  ( -.  ( E `  F
)  e.  Fin  ->  -.  ( # `  ( E `  F )
)  <_  2 )
1514con4i 130 . 2  |-  ( (
# `  ( E `  F ) )  <_ 
2  ->  ( E `  F )  e.  Fin )
161, 15syl 16 1  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   class class class wbr 4456    Fn wfn 5589   ` cfv 5594   Fincfn 7535   RRcr 9508   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   2c2 10606   #chash 12408   UMGrph cumg 24439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-hash 12409  df-umgra 24440
This theorem is referenced by:  umgraex  24450
  Copyright terms: Public domain W3C validator