MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgra0 Structured version   Unicode version

Theorem umgra0 24754
Description: The empty graph, with vertices but no edges, is a graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
umgra0  |-  ( V  e.  W  ->  V UMGrph  (/) )

Proof of Theorem umgra0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f0 5751 . . 3  |-  (/) : (/) --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 }
2 dm0 5039 . . . 4  |-  dom  (/)  =  (/)
32feq2i 5709 . . 3  |-  ( (/) : dom  (/) --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  <->  (/) :
(/) --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
41, 3mpbir 211 . 2  |-  (/) : dom  (/) --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 }
5 0ex 4528 . . 3  |-  (/)  e.  _V
6 isumgra 24744 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( V UMGrph 
(/) 
<->  (/) : dom  (/) --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
) )
75, 6mpan2 671 . 2  |-  ( V  e.  W  ->  ( V UMGrph 
(/) 
<->  (/) : dom  (/) --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
) )
84, 7mpbiri 235 1  |-  ( V  e.  W  ->  V UMGrph  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    e. wcel 1844   {crab 2760   _Vcvv 3061    \ cdif 3413   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   {csn 3974   class class class wbr 4397   dom cdm 4825   -->wf 5567   ` cfv 5571    <_ cle 9661   2c2 10628   #chash 12454   UMGrph cumg 24741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-br 4398  df-opab 4456  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-umgra 24742
This theorem is referenced by:  eupa0  25403
  Copyright terms: Public domain W3C validator