Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgr2v2evd2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem umgr2v2evd2 39614
Description: In a multigraph with two edges connecting the same two vertices, each of the vertices has degree 2. (Contributed by AV, 18-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2v2evtx.g  |-  G  = 
<. V ,  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } >.
Assertion
Ref Expression
umgr2v2evd2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( (VtxDeg `  G ) `  A
)  =  2 )

Proof of Theorem umgr2v2evd2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgr2v2evtx.g . . . 4  |-  G  = 
<. V ,  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } >.
21umgr2v2e 39612 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  G  e. UMGraph  )
31umgr2v2evtxel 39609 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  A  e.  (Vtx `  G ) )
433adant3 1034 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  (Vtx `  G ) )
54adantr 471 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  A  e.  (Vtx `  G ) )
6 eqid 2462 . . . 4  |-  (Vtx `  G )  =  (Vtx
`  G )
7 eqid 2462 . . . 4  |-  (iEdg `  G )  =  (iEdg `  G )
8 eqid 2462 . . . 4  |-  dom  (iEdg `  G )  =  dom  (iEdg `  G )
9 eqid 2462 . . . 4  |-  (VtxDeg `  G )  =  (VtxDeg `  G )
106, 7, 8, 9vtxdumgrval 39590 . . 3  |-  ( ( G  e. UMGraph  /\  A  e.  (Vtx `  G )
)  ->  ( (VtxDeg `  G ) `  A
)  =  ( # `  { x  e.  dom  (iEdg `  G )  |  A  e.  ( (iEdg `  G ) `  x
) } ) )
112, 5, 10syl2anc 671 . 2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( (VtxDeg `  G ) `  A
)  =  ( # `  { x  e.  dom  (iEdg `  G )  |  A  e.  ( (iEdg `  G ) `  x
) } ) )
121umgr2v2eiedg 39610 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (iEdg `  G )  =  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } )
1312dmeqd 5056 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  dom  (iEdg `  G
)  =  dom  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } )
14 prex 4656 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B }  e.  _V
1514, 14dmprop 5330 . . . . . . 7  |-  dom  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. }  =  { 0 ,  1 }
1613, 15syl6eq 2512 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  dom  (iEdg `  G
)  =  { 0 ,  1 } )
1712fveq1d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( (iEdg `  G
) `  x )  =  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x ) )
1817eleq2d 2525 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  e.  ( (iEdg `  G ) `  x )  <->  A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x ) ) )
1916, 18rabeqbidv 3052 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { x  e.  dom  (iEdg `  G )  |  A  e.  ( (iEdg `  G ) `  x
) }  =  {
x  e.  { 0 ,  1 }  |  A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x ) } )
2019fveq2d 5892 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( # `  {
x  e.  dom  (iEdg `  G )  |  A  e.  ( (iEdg `  G
) `  x ) } )  =  (
# `  { x  e.  { 0 ,  1 }  |  A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x
) } ) )
21 prid1g 4091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A ,  B } )
22 0ne1 10705 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  =/=  1
23 c0ex 9663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  _V
2423, 14fvpr1 6131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  =/=  1  ->  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  0 )  =  { A ,  B } )
2522, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
<. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  0 )  =  { A ,  B }
2621, 25syl6eleqr 2551 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  0
) )
27 1ex 9664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  _V
2827, 14fvpr2 6132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  =/=  1  ->  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  1 )  =  { A ,  B } )
2922, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
<. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  1 )  =  { A ,  B }
3021, 29syl6eleqr 2551 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  1
) )
31 fveq2 5888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } ` 
0 ) )
3231eleq2d 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x )  <->  A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  0 ) ) )
33 fveq2 5888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } ` 
1 ) )
3433eleq2d 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  ( A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x )  <->  A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  1 ) ) )
3523, 27, 32, 34ralpr 4037 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  { 0 ,  1 } A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x
)  <->  ( A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  0
)  /\  A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  1 ) ) )
3626, 30, 35sylanbrc 675 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  A. x  e.  { 0 ,  1 } A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x ) )
37 rabid2 2980 . . . . . . . . 9  |-  ( { 0 ,  1 }  =  { x  e. 
{ 0 ,  1 }  |  A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x
) }  <->  A. x  e.  { 0 ,  1 } A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x ) )
3836, 37sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  { 0 ,  1 }  =  { x  e.  { 0 ,  1 }  |  A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x ) } )
3938eqcomd 2468 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  { 0 ,  1 }  |  A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x
) }  =  {
0 ,  1 } )
4039fveq2d 5892 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { x  e. 
{ 0 ,  1 }  |  A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x
) } )  =  ( # `  {
0 ,  1 } ) )
41 prhash2ex 12608 . . . . . 6  |-  ( # `  { 0 ,  1 } )  =  2
4240, 41syl6eq 2512 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { x  e. 
{ 0 ,  1 }  |  A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x
) } )  =  2 )
43423ad2ant2 1036 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( # `  {
x  e.  { 0 ,  1 }  |  A  e.  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } `  x ) } )  =  2 )
4420, 43eqtrd 2496 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( # `  {
x  e.  dom  (iEdg `  G )  |  A  e.  ( (iEdg `  G
) `  x ) } )  =  2 )
4544adantr 471 . 2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( # `  {
x  e.  dom  (iEdg `  G )  |  A  e.  ( (iEdg `  G
) `  x ) } )  =  2 )
4611, 45eqtrd 2496 1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( (VtxDeg `  G ) `  A
)  =  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   {crab 2753   {cpr 3982   <.cop 3986   dom cdm 4853   ` cfv 5601   0cc0 9565   1c1 9566   2c2 10687   #chash 12547  Vtxcvtx 39147  iEdgciedg 39148   UMGraph cumgr 39220  VtxDegcvtxdg 39576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-xadd 11439  df-fz 11814  df-hash 12548  df-xnn0 39117  df-vtx 39149  df-iedg 39150  df-uhgr 39195  df-upgr 39221  df-umgr 39222  df-vtxdg 39577
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator