Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgr2v2e Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem umgr2v2e 39748
Description: A multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2v2evtx.g  |-  G  = 
<. V ,  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } >.
Assertion
Ref Expression
umgr2v2e  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  G  e. UMGraph  )

Proof of Theorem umgr2v2e
Dummy variable  e is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9655 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
2 1ex 9656 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
31, 2pm3.2i 462 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
4 prex 4642 . . . . . . 7  |-  { A ,  B }  e.  _V
54, 4pm3.2i 462 . . . . . 6  |-  ( { A ,  B }  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )
6 0ne1 10699 . . . . . . 7  |-  0  =/=  1
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  0  =/=  1 )
8 fprg 6089 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( { A ,  B }  e.  _V  /\ 
{ A ,  B }  e.  _V )  /\  0  =/=  1
)  ->  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } : {
0 ,  1 } --> { { A ,  B } ,  { A ,  B } } )
93, 5, 7, 8mp3an12i 1394 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } : {
0 ,  1 } --> { { A ,  B } ,  { A ,  B } } )
10 dfsn2 3972 . . . . . 6  |-  { { A ,  B } }  =  { { A ,  B } ,  { A ,  B } }
11 prelpwi 4647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { A ,  B }  e.  ~P V
)
12113adant1 1048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { A ,  B }  e.  ~P V
)
13 umgr2v2evtx.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  = 
<. V ,  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } >.
1413umgr2v2evtx 39744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V  e.  W  ->  (Vtx `  G )  =  V )
15143ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (Vtx `  G )  =  V )
1615pweqd 3947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ~P (Vtx `  G
)  =  ~P V
)
1712, 16eleqtrrd 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { A ,  B }  e.  ~P (Vtx `  G ) )
1817adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  e.  ~P (Vtx `  G ) )
19 hashprg 12610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  =/=  B  <->  (
# `  { A ,  B } )  =  2 ) )
2019biimpd 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  =/=  B  ->  ( # `  { A ,  B }
)  =  2 ) )
21203adant1 1048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  =/=  B  ->  ( # `  { A ,  B }
)  =  2 ) )
2221imp 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( # `  { A ,  B }
)  =  2 )
23 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  { A ,  B }  ->  ( # `  e )  =  (
# `  { A ,  B } ) )
2423eqeq1d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  { A ,  B }  ->  ( (
# `  e )  =  2  <->  ( # `  { A ,  B }
)  =  2 ) )
2524elrab 3184 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  B }  e.  { e  e.  ~P (Vtx `  G )  |  ( # `  e
)  =  2 }  <-> 
( { A ,  B }  e.  ~P (Vtx `  G )  /\  ( # `  { A ,  B } )  =  2 ) )
2618, 22, 25sylanbrc 677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  e.  {
e  e.  ~P (Vtx `  G )  |  (
# `  e )  =  2 } )
2726snssd 4108 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  { { A ,  B } }  C_  { e  e.  ~P (Vtx `  G )  |  (
# `  e )  =  2 } )
2810, 27syl5eqssr 3463 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  { { A ,  B } ,  { A ,  B } }  C_  { e  e. 
~P (Vtx `  G
)  |  ( # `  e )  =  2 } )
299, 28fssd 5750 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } : {
0 ,  1 } --> { e  e.  ~P (Vtx `  G )  |  ( # `  e
)  =  2 } )
30 dmpropg 5316 . . . . . 6  |-  ( ( { A ,  B }  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  dom  {
<. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. }  =  { 0 ,  1 } )
315, 30mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  dom  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. }  =  { 0 ,  1 } )
3231feq2d 5725 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } : dom  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } --> { e  e. 
~P (Vtx `  G
)  |  ( # `  e )  =  2 }  <->  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } : { 0 ,  1 } --> { e  e.  ~P (Vtx `  G )  |  (
# `  e )  =  2 } ) )
3329, 32mpbird 240 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } : dom  {
<. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } --> { e  e. 
~P (Vtx `  G
)  |  ( # `  e )  =  2 } )
3413umgr2v2eiedg 39746 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (iEdg `  G )  =  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } )
3534adantr 472 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  (iEdg `  G
)  =  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } )
3635dmeqd 5042 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  dom  (iEdg `  G )  =  dom  {
<. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } )
3735, 36feq12d 5727 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( (iEdg `  G ) : dom  (iEdg `  G ) --> { e  e.  ~P (Vtx `  G )  |  (
# `  e )  =  2 }  <->  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } : dom  {
<. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } --> { e  e. 
~P (Vtx `  G
)  |  ( # `  e )  =  2 } ) )
3833, 37mpbird 240 . 2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  (iEdg `  G
) : dom  (iEdg `  G ) --> { e  e.  ~P (Vtx `  G )  |  (
# `  e )  =  2 } )
39 opex 4664 . . . 4  |-  <. V ,  { <. 0 ,  { A ,  B } >. ,  <. 1 ,  { A ,  B } >. } >.  e.  _V
4013, 39eqeltri 2545 . . 3  |-  G  e. 
_V
41 eqid 2471 . . . 4  |-  (Vtx `  G )  =  (Vtx
`  G )
42 eqid 2471 . . . 4  |-  (iEdg `  G )  =  (iEdg `  G )
4341, 42isumgrs 39341 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  ( G  e. UMGraph  <->  (iEdg `  G ) : dom  (iEdg `  G
) --> { e  e. 
~P (Vtx `  G
)  |  ( # `  e )  =  2 } ) )
4440, 43mp1i 13 . 2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( G  e. UMGraph  <-> 
(iEdg `  G ) : dom  (iEdg `  G
) --> { e  e. 
~P (Vtx `  G
)  |  ( # `  e )  =  2 } ) )
4538, 44mpbird 240 1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  G  e. UMGraph  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   {crab 2760   _Vcvv 3031   ~Pcpw 3942   {csn 3959   {cpr 3961   <.cop 3965   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589   0cc0 9557   1c1 9558   2c2 10681   #chash 12553  Vtxcvtx 39251  iEdgciedg 39252   UMGraph cumgr 39327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-vtx 39253  df-iedg 39254  df-umgr 39329
This theorem is referenced by:  umgr2v2enb1  39749  umgr2v2evd2  39750
  Copyright terms: Public domain W3C validator