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Theorem ulmval 22959
Description: Express the predicate: The sequence of functions  F converges uniformly to  G on  S. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmval  |-  ( S  e.  V  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) )
Distinct variable groups:    j, k, n, x, z, F    j, G, k, n, x, z    S, j, k, n, x, z    n, V
Allowed substitution hints:    V( x, z, j, k)

Proof of Theorem ulmval
Dummy variables  f 
y  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmrel 22957 . . . 4  |-  Rel  ( ~~> u `  S )
2 brrelex12 4980 . . . 4  |-  ( ( Rel  ( ~~> u `  S )  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  -> 
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )
)
31, 2mpan 668 . . 3  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
43a1i 11 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  -> 
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )
) )
5 3simpa 994 . . . 4  |-  ( ( F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
)  ->  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC ) )
6 fvex 5815 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  n )  e.  _V
7 fex 6082 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  ( ZZ>= `  n )  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
86, 7mpan2 669 . . . . . 6  |-  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  ->  F  e.  _V )
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  ->  F  e.  _V ) )
10 fex 6082 . . . . . 6  |-  ( ( G : S --> CC  /\  S  e.  V )  ->  G  e.  _V )
1110expcom 433 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  ( G : S --> CC  ->  G  e.  _V ) )
129, 11anim12d 561 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  (
( F : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC )  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) ) )
135, 12syl5 30 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  (
( F : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
)  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e. 
_V ) ) )
1413rexlimdvw 2898 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
)  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e. 
_V ) ) )
15 elex 3067 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
16 simpr1 1003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  f : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S ) )
17 uzssz 11064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  n )  C_  ZZ
18 ovex 6262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( CC 
^m  S )  e. 
_V
19 zex 10834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  e.  _V
20 elpm2r 7394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( CC  ^m  S )  e.  _V  /\  ZZ  e.  _V )  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  ( ZZ>= `  n
)  C_  ZZ )
)  ->  f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ ) )
2118, 19, 20mpanl12 680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  ( ZZ>= `  n )  C_  ZZ )  ->  f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ ) )
2216, 17, 21sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ ) )
23 simpr2 1004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  y : S --> CC )
24 cnex 9523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  _V
25 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  S  e.  V )
26 elmapg 7390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  V )  ->  ( y  e.  ( CC  ^m  S )  <-> 
y : S --> CC ) )
2724, 25, 26sylancr 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  (
y  e.  ( CC 
^m  S )  <->  y : S
--> CC ) )
2823, 27mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  y  e.  ( CC  ^m  S
) )
2922, 28jca 530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  (
f  e.  ( ( CC  ^m  S ) 
^pm  ZZ )  /\  y  e.  ( CC  ^m  S
) ) )
3029ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  V  ->  (
( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
)  ->  ( f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ )  /\  y  e.  ( CC  ^m  S ) ) ) )
3130rexlimdvw 2898 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  V  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
)  ->  ( f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ )  /\  y  e.  ( CC  ^m  S ) ) ) )
3231ssopab2dv 4718 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  V  ->  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) }  C_  {
<. f ,  y >.  |  ( f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ )  /\  y  e.  ( CC  ^m  S ) ) } )
33 df-xp 4948 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  ^m  S
)  ^pm  ZZ )  X.  ( CC  ^m  S
) )  =  { <. f ,  y >.  |  ( f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ )  /\  y  e.  ( CC  ^m  S ) ) }
3432, 33syl6sseqr 3488 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  V  ->  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) }  C_  ( ( ( CC 
^m  S )  ^pm  ZZ )  X.  ( CC 
^m  S ) ) )
35 ovex 6262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  ^m  S ) 
^pm  ZZ )  e.  _V
3635, 18xpex 6542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  ^m  S
)  ^pm  ZZ )  X.  ( CC  ^m  S
) )  e.  _V
3736ssex 4537 . . . . . . 7  |-  ( {
<. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) }  C_  (
( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ )  X.  ( CC  ^m  S ) )  ->  { <. f ,  y
>.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) }  e.  _V )
3834, 37syl 17 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) }  e.  _V )
39 oveq2 6242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  ( CC  ^m  s )  =  ( CC  ^m  S
) )
4039feq3d 5658 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  s )  <->  f :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) ) )
41 feq2 5653 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
y : s --> CC  <->  y : S --> CC ) )
42 raleq 3003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  s 
( abs `  (
( ( f `  k ) `  z
)  -  ( y `
 z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )
4342rexralbidv 2925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x  <->  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k
) `  z )  -  ( y `  z ) ) )  <  x ) )
4443ralbidv 2842 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k
) `  z )  -  ( y `  z ) ) )  <  x ) )
4540, 41, 443anbi123d 1301 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  s )  /\  y : s --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x )  <->  ( f : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) ) )
4645rexbidv 2917 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  s )  /\  y : s --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x )  <->  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) ) )
4746opabbidv 4457 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  s )  /\  y : s --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) }  =  { <. f ,  y
>.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) } )
48 df-ulm 22956 . . . . . . 7  |-  ~~> u  =  ( s  e.  _V  |->  { <. f ,  y
>.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  s
)  /\  y :
s --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) } )
4947, 48fvmptg 5886 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  _V  /\  {
<. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) }  e.  _V )  ->  ( ~~> u `  S )  =  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) } )
5015, 38, 49syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  ( ~~> u `  S )  =  { <. f ,  y
>.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) } )
5150breqd 4405 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  F { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) } G ) )
52 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  f  =  F )
5352feq1d 5656 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  <-> 
F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S ) ) )
54 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  y  =  G )
5554feq1d 5656 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( y : S --> CC 
<->  G : S --> CC ) )
5652fveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( f `  k
)  =  ( F `
 k ) )
5756fveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( f `  k ) `  z
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
5854fveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( y `  z
)  =  ( G `
 z ) )
5957, 58oveq12d 6252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
)  =  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )
6059fveq2d 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( abs `  (
( ( f `  k ) `  z
)  -  ( y `
 z ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) )
6160breq1d 4404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( abs `  (
( ( f `  k ) `  z
)  -  ( y `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
6261ralbidv 2842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  (
( ( f `  k ) `  z
)  -  ( y `
 z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
6362rexralbidv 2925 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x  <->  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
6463ralbidv 2842 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) )
6553, 55, 643anbi123d 1301 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
)  <->  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) )
6665rexbidv 2917 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
)  <->  E. n  e.  ZZ  ( F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) ) )
67 eqid 2402 . . . . 5  |-  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) }  =  { <. f ,  y
>.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) }
6866, 67brabga 4703 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) } G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) ) )
6951, 68sylan9bb 698 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )
)  ->  ( F
( ~~> u `  S
) G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) )
7069ex 432 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) ) )
714, 14, 70pm5.21ndd 352 1  |-  ( S  e.  V  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   {copab 4451    X. cxp 4940   Rel wrel 4947   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234    ^m cmap 7377    ^pm cpm 7378   CCcc 9440    < clt 9578    - cmin 9761   ZZcz 10825   ZZ>=cuz 11045   RR+crp 11183   abscabs 13123   ~~> uculm 22955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-map 7379  df-pm 7380  df-neg 9764  df-z 10826  df-uz 11046  df-ulm 22956
This theorem is referenced by:  ulmcl  22960  ulmf  22961  ulm2  22964
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