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Theorem ulmval 21961
Description: Express the predicate: The sequence of functions  F converges uniformly to  G on  S. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmval  |-  ( S  e.  V  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) )
Distinct variable groups:    j, k, n, x, z, F    j, G, k, n, x, z    S, j, k, n, x, z    n, V
Allowed substitution hints:    V( x, z, j, k)

Proof of Theorem ulmval
Dummy variables  f 
y  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmrel 21959 . . . 4  |-  Rel  ( ~~> u `  S )
2 brrelex12 4974 . . . 4  |-  ( ( Rel  ( ~~> u `  S )  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  -> 
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )
)
31, 2mpan 670 . . 3  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
43a1i 11 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  -> 
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )
) )
5 3simpa 985 . . . 4  |-  ( ( F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
)  ->  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC ) )
6 fvex 5799 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  n )  e.  _V
7 fex 6049 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  ( ZZ>= `  n )  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
86, 7mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  ->  F  e.  _V )
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  ->  F  e.  _V ) )
10 fex 6049 . . . . . 6  |-  ( ( G : S --> CC  /\  S  e.  V )  ->  G  e.  _V )
1110expcom 435 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  ( G : S --> CC  ->  G  e.  _V ) )
129, 11anim12d 563 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  (
( F : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC )  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) ) )
135, 12syl5 32 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  (
( F : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
)  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e. 
_V ) ) )
1413rexlimdvw 2940 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
)  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e. 
_V ) ) )
15 elex 3077 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
16 simpr1 994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  f : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S ) )
17 uzssz 10981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  n )  C_  ZZ
18 ovex 6215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( CC 
^m  S )  e. 
_V
19 zex 10756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  e.  _V
20 elpm2r 7330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( CC  ^m  S )  e.  _V  /\  ZZ  e.  _V )  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  ( ZZ>= `  n
)  C_  ZZ )
)  ->  f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ ) )
2118, 19, 20mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  ( ZZ>= `  n )  C_  ZZ )  ->  f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ ) )
2216, 17, 21sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ ) )
23 simpr2 995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  y : S --> CC )
24 cnex 9464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  _V
25 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  S  e.  V )
26 elmapg 7327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  V )  ->  ( y  e.  ( CC  ^m  S )  <-> 
y : S --> CC ) )
2724, 25, 26sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  (
y  e.  ( CC 
^m  S )  <->  y : S
--> CC ) )
2823, 27mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  y  e.  ( CC  ^m  S
) )
2922, 28jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  (
f  e.  ( ( CC  ^m  S ) 
^pm  ZZ )  /\  y  e.  ( CC  ^m  S
) ) )
3029ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  V  ->  (
( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
)  ->  ( f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ )  /\  y  e.  ( CC  ^m  S ) ) ) )
3130rexlimdvw 2940 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  V  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
)  ->  ( f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ )  /\  y  e.  ( CC  ^m  S ) ) ) )
3231ssopab2dv 4715 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  V  ->  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) }  C_  {
<. f ,  y >.  |  ( f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ )  /\  y  e.  ( CC  ^m  S ) ) } )
33 df-xp 4944 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  ^m  S
)  ^pm  ZZ )  X.  ( CC  ^m  S
) )  =  { <. f ,  y >.  |  ( f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ )  /\  y  e.  ( CC  ^m  S ) ) }
3432, 33syl6sseqr 3501 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  V  ->  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) }  C_  ( ( ( CC 
^m  S )  ^pm  ZZ )  X.  ( CC 
^m  S ) ) )
35 ovex 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  ^m  S ) 
^pm  ZZ )  e.  _V
3635, 18xpex 6608 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  ^m  S
)  ^pm  ZZ )  X.  ( CC  ^m  S
) )  e.  _V
3736ssex 4534 . . . . . . 7  |-  ( {
<. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) }  C_  (
( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ )  X.  ( CC  ^m  S ) )  ->  { <. f ,  y
>.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) }  e.  _V )
3834, 37syl 16 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) }  e.  _V )
39 oveq2 6198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  ( CC  ^m  s )  =  ( CC  ^m  S
) )
40 feq3 5642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( CC  ^m  s )  =  ( CC  ^m  S )  ->  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  s )  <->  f :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  s )  <->  f :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) ) )
42 feq2 5641 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
y : s --> CC  <->  y : S --> CC ) )
43 raleq 3013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  s 
( abs `  (
( ( f `  k ) `  z
)  -  ( y `
 z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )
4443rexralbidv 2863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x  <->  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k
) `  z )  -  ( y `  z ) ) )  <  x ) )
4544ralbidv 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k
) `  z )  -  ( y `  z ) ) )  <  x ) )
4641, 42, 453anbi123d 1290 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  s )  /\  y : s --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x )  <->  ( f : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) ) )
4746rexbidv 2844 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  s )  /\  y : s --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x )  <->  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) ) )
4847opabbidv 4453 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  s )  /\  y : s --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) }  =  { <. f ,  y
>.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) } )
49 df-ulm 21958 . . . . . . 7  |-  ~~> u  =  ( s  e.  _V  |->  { <. f ,  y
>.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  s
)  /\  y :
s --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) } )
5048, 49fvmptg 5871 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  _V  /\  {
<. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) }  e.  _V )  ->  ( ~~> u `  S )  =  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) } )
5115, 38, 50syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  ( ~~> u `  S )  =  { <. f ,  y
>.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) } )
5251breqd 4401 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  F { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) } G ) )
53 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  f  =  F )
5453feq1d 5644 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  <-> 
F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S ) ) )
55 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  y  =  G )
5655feq1d 5644 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( y : S --> CC 
<->  G : S --> CC ) )
5753fveq1d 5791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( f `  k
)  =  ( F `
 k ) )
5857fveq1d 5791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( f `  k ) `  z
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
5955fveq1d 5791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( y `  z
)  =  ( G `
 z ) )
6058, 59oveq12d 6208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
)  =  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )
6160fveq2d 5793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( abs `  (
( ( f `  k ) `  z
)  -  ( y `
 z ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) )
6261breq1d 4400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( abs `  (
( ( f `  k ) `  z
)  -  ( y `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
6362ralbidv 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  (
( ( f `  k ) `  z
)  -  ( y `
 z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
6463rexralbidv 2863 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x  <->  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
6564ralbidv 2839 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) )
6654, 56, 653anbi123d 1290 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
)  <->  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) )
6766rexbidv 2844 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
)  <->  E. n  e.  ZZ  ( F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) ) )
68 eqid 2451 . . . . 5  |-  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) }  =  { <. f ,  y
>.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) }
6967, 68brabga 4701 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) } G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) ) )
7052, 69sylan9bb 699 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )
)  ->  ( F
( ~~> u `  S
) G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) )
7170ex 434 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) ) )
724, 14, 71pm5.21ndd 354 1  |-  ( S  e.  V  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3068    C_ wss 3426   class class class wbr 4390   {copab 4447    X. cxp 4936   Rel wrel 4943   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    ^m cmap 7314    ^pm cpm 7315   CCcc 9381    < clt 9519    - cmin 9696   ZZcz 10747   ZZ>=cuz 10962   RR+crp 11092   abscabs 12825   ~~> uculm 21957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-map 7316  df-pm 7317  df-neg 9699  df-z 10748  df-uz 10963  df-ulm 21958
This theorem is referenced by:  ulmcl  21962  ulmf  21963  ulm2  21966
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