MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmss Structured version   Unicode version

Theorem ulmss 22917
Description: A uniform limit of functions is still a uniform limit if restricted to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmss.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmss.t  |-  ( ph  ->  T  C_  S )
ulmss.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  A  e.  W )
ulmss.u  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G )
Assertion
Ref Expression
ulmss  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) ( ~~> u `  T ) ( G  |`  T ) )
Distinct variable groups:    x, T    ph, x    x, S    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x)    G( x)    M( x)    W( x)

Proof of Theorem ulmss
Dummy variables  j 
k  m  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmss.u . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G )
2 ulmss.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32uztrn2 11123 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
4 ulmss.t . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  C_  S )
54adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  T  C_  S )
6 ssralv 3560 . . . . . . . . . 10  |-  ( T 
C_  S  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
8 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  T  ->  (
( A  |`  T ) `
 z )  =  ( A `  z
) )
98ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( A  |`  T ) `  z
)  =  ( A `
 z ) )
10 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  ->  x  e.  Z )
11 ulmss.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  A  e.  W )
1211adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  ->  A  e.  W )
13 resexg 5326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  W  ->  ( A  |`  T )  e. 
_V )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( A  |`  T )  e.  _V )
15 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) )  =  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) )
1615fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  Z  /\  ( A  |`  T )  e.  _V )  -> 
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x )  =  ( A  |`  T )
)
1710, 14, 16syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x )  =  ( A  |`  T )
)
1817fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( A  |`  T ) `  z ) )
19 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Z  |->  A )  =  ( x  e.  Z  |->  A )
2019fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  Z  /\  A  e.  W )  ->  ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x )  =  A )
2110, 12, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x )  =  A )
2221fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `
 x ) `  z )  =  ( A `  z ) )
239, 18, 223eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )
)
2423ralrimivva 2878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )
)
25 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )
26 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x T
27 nffvmpt1 5880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k )
28 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
z
2927, 28nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)
30 nffvmpt1 5880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k )
3130, 28nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `
 k ) `  z )
3229, 31nfeq 2630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
3326, 32nfral 2843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
34 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  (
( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) )
3534fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z ) )
36 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  (
( x  e.  Z  |->  A ) `  x
)  =  ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) )
3736fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
)
3835, 37eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )  <->  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
) )
3938ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  ( A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )  <->  A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
) )
4025, 33, 39cbvral 3080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  Z  A. z  e.  T  (
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )  <->  A. k  e.  Z  A. z  e.  T  (
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
)
4124, 40sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
)
4241r19.21bi 2826 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. z  e.  T  ( (
( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z )  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `
 k ) `  z ) )
43 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  ->  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T )
) `  k ) `  z )  -  ( G `  z )
)  =  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )
4443fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  ->  ( abs `  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) )
4544breq1d 4466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  ->  ( ( abs `  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  <->  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
4645ralimi 2850 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  T  (
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  ->  A. z  e.  T  ( ( abs `  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  <->  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
47 ralbi 2988 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  T  (
( abs `  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  <->  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
)  ->  ( A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
4842, 46, 473syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  <->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
497, 48sylibrd 234 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
503, 49sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
5150anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T )
) `  k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  r
) )
5251ralimdva 2865 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
5352reximdva 2932 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
5453ralimdv 2867 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
55 ulmf 22902 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  ->  E. m  e.  ZZ  ( x  e.  Z  |->  A ) : (
ZZ>= `  m ) --> ( CC  ^m  S ) )
561, 55syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. m  e.  ZZ  ( x  e.  Z  |->  A ) : (
ZZ>= `  m ) --> ( CC  ^m  S ) )
57 fdm 5741 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  ->  dom  ( x  e.  Z  |->  A )  =  (
ZZ>= `  m ) )
5819dmmptss 5509 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  Z  |->  A )  C_  Z
5957, 58syl6eqssr 3550 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  -> 
( ZZ>= `  m )  C_  Z )
60 uzid 11120 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m )
)
6160adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m )
)
62 ssel 3493 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ZZ>= `  m )  C_  Z  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  m  e.  Z ) )
63 eluzel2 11111 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
6463, 2eleq2s 2565 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  Z  ->  M  e.  ZZ )
6562, 64syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( (
ZZ>= `  m )  C_  Z  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  M  e.  ZZ ) )
6661, 65syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( (
ZZ>= `  m )  C_  Z  ->  M  e.  ZZ ) )
6759, 66syl5 32 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  ->  M  e.  ZZ )
)
6867rexlimdva 2949 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC  ^m  S )  ->  M  e.  ZZ ) )
6956, 68mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7011ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  A  e.  W )
7119fnmpt 5713 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  Z  A  e.  W  ->  ( x  e.  Z  |->  A )  Fn  Z )
7270, 71syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  A )  Fn  Z
)
73 frn 5743 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  ->  ran  ( x  e.  Z  |->  A )  C_  ( CC  ^m  S ) )
7473rexlimivw 2946 . . . . . 6  |-  ( E. m  e.  ZZ  (
x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  ->  ran  ( x  e.  Z  |->  A )  C_  ( CC  ^m  S ) )
7556, 74syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  Z  |->  A )  C_  ( CC  ^m  S ) )
76 df-f 5598 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : Z --> ( CC 
^m  S )  <->  ( (
x  e.  Z  |->  A )  Fn  Z  /\  ran  ( x  e.  Z  |->  A )  C_  ( CC  ^m  S ) ) )
7772, 75, 76sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  A ) : Z --> ( CC  ^m  S ) )
78 eqidd 2458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `
 k ) `  z )  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
) )
79 eqidd 2458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
80 ulmcl 22901 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  ->  G : S --> CC )
811, 80syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
82 ulmscl 22899 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  ->  S  e.  _V )
831, 82syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
842, 69, 77, 78, 79, 81, 83ulm2 22905 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
8519fmpt 6053 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  Z  A  e.  ( CC  ^m  S
)  <->  ( x  e.  Z  |->  A ) : Z --> ( CC  ^m  S ) )
8677, 85sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  A  e.  ( CC  ^m  S ) )
8786r19.21bi 2826 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  A  e.  ( CC  ^m  S
) )
88 elmapi 7459 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( CC  ^m  S )  ->  A : S --> CC )
8987, 88syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  A : S --> CC )
904adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  T  C_  S )
9189, 90fssresd 5758 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  ( A  |`  T ) : T --> CC )
92 cnex 9590 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
9383, 4ssexd 4603 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
9493adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  T  e.  _V )
95 elmapg 7451 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( ( A  |`  T )  e.  ( CC  ^m  T )  <-> 
( A  |`  T ) : T --> CC ) )
9692, 94, 95sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  (
( A  |`  T )  e.  ( CC  ^m  T )  <->  ( A  |`  T ) : T --> CC ) )
9791, 96mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  ( A  |`  T )  e.  ( CC  ^m  T
) )
9897, 15fmptd 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) : Z --> ( CC 
^m  T ) )
99 eqidd 2458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z ) )
100 fvres 5886 . . . . 5  |-  ( z  e.  T  ->  (
( G  |`  T ) `
 z )  =  ( G `  z
) )
101100adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  T )  ->  (
( G  |`  T ) `
 z )  =  ( G `  z
) )
10281, 4fssresd 5758 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  |`  T ) : T --> CC )
1032, 69, 98, 99, 101, 102, 93ulm2 22905 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) ( ~~> u `  T ) ( G  |`  T )  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
10454, 84, 1033imtr4d 268 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  ->  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) ( ~~> u `  T ) ( G  |`  T ) ) )
1051, 104mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) ( ~~> u `  T ) ( G  |`  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   CCcc 9507    < clt 9645    - cmin 9824   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   abscabs 13078   ~~> uculm 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-neg 9827  df-z 10886  df-uz 11107  df-ulm 22897
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator