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Theorem ulmss 21862
Description: A uniform limit of functions is still a uniform limit if restricted to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmss.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmss.t  |-  ( ph  ->  T  C_  S )
ulmss.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  A  e.  W )
ulmss.u  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G )
Assertion
Ref Expression
ulmss  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) ( ~~> u `  T ) ( G  |`  T ) )
Distinct variable groups:    x, T    ph, x    x, S    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x)    G( x)    M( x)    W( x)

Proof of Theorem ulmss
Dummy variables  j 
k  m  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmss.u . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G )
2 ulmss.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32uztrn2 10878 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
4 ulmss.t . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  C_  S )
54adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  T  C_  S )
6 ssralv 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( T 
C_  S  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
8 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  T  ->  (
( A  |`  T ) `
 z )  =  ( A `  z
) )
98ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( A  |`  T ) `  z
)  =  ( A `
 z ) )
10 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  ->  x  e.  Z )
11 ulmss.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  A  e.  W )
1211adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  ->  A  e.  W )
13 resexg 5149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  W  ->  ( A  |`  T )  e. 
_V )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( A  |`  T )  e.  _V )
15 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) )  =  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) )
1615fvmpt2 5781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  Z  /\  ( A  |`  T )  e.  _V )  -> 
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x )  =  ( A  |`  T )
)
1710, 14, 16syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x )  =  ( A  |`  T )
)
1817fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( A  |`  T ) `  z ) )
19 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Z  |->  A )  =  ( x  e.  Z  |->  A )
2019fvmpt2 5781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  Z  /\  A  e.  W )  ->  ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x )  =  A )
2110, 12, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x )  =  A )
2221fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `
 x ) `  z )  =  ( A `  z ) )
239, 18, 223eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )
)
2423ralrimivva 2808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )
)
25 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )
26 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x T
27 nffvmpt1 5699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k )
28 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
z
2927, 28nffv 5698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)
30 nffvmpt1 5699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k )
3130, 28nffv 5698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `
 k ) `  z )
3229, 31nfeq 2586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
3326, 32nfral 2769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
34 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  (
( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) )
3534fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z ) )
36 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  (
( x  e.  Z  |->  A ) `  x
)  =  ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) )
3736fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
)
3835, 37eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )  <->  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
) )
3938ralbidv 2735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  ( A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )  <->  A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
) )
4025, 33, 39cbvral 2943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  Z  A. z  e.  T  (
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )  <->  A. k  e.  Z  A. z  e.  T  (
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
)
4124, 40sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
)
4241r19.21bi 2814 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. z  e.  T  ( (
( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z )  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `
 k ) `  z ) )
43 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  ->  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T )
) `  k ) `  z )  -  ( G `  z )
)  =  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )
4443fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  ->  ( abs `  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) )
4544breq1d 4302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  ->  ( ( abs `  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  <->  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
4645ralimi 2791 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  T  (
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  ->  A. z  e.  T  ( ( abs `  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  <->  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
47 ralbi 2853 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  T  (
( abs `  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  <->  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
)  ->  ( A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
4842, 46, 473syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  <->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
497, 48sylibrd 234 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
503, 49sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
5150anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T )
) `  k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  r
) )
5251ralimdva 2794 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
5352reximdva 2828 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
5453ralimdv 2795 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
55 ulmf 21847 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  ->  E. m  e.  ZZ  ( x  e.  Z  |->  A ) : (
ZZ>= `  m ) --> ( CC  ^m  S ) )
561, 55syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. m  e.  ZZ  ( x  e.  Z  |->  A ) : (
ZZ>= `  m ) --> ( CC  ^m  S ) )
57 fdm 5563 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  ->  dom  ( x  e.  Z  |->  A )  =  (
ZZ>= `  m ) )
5819dmmptss 5334 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  Z  |->  A )  C_  Z
5957, 58syl6eqssr 3407 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  -> 
( ZZ>= `  m )  C_  Z )
60 uzid 10875 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m )
)
6160adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m )
)
62 ssel 3350 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ZZ>= `  m )  C_  Z  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  m  e.  Z ) )
63 eluzel2 10866 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
6463, 2eleq2s 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  Z  ->  M  e.  ZZ )
6562, 64syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( (
ZZ>= `  m )  C_  Z  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  M  e.  ZZ ) )
6661, 65syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( (
ZZ>= `  m )  C_  Z  ->  M  e.  ZZ ) )
6759, 66syl5 32 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  ->  M  e.  ZZ )
)
6867rexlimdva 2841 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC  ^m  S )  ->  M  e.  ZZ ) )
6956, 68mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7011ralrimiva 2799 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  A  e.  W )
7119fnmpt 5537 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  Z  A  e.  W  ->  ( x  e.  Z  |->  A )  Fn  Z )
7270, 71syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  A )  Fn  Z
)
73 frn 5565 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  ->  ran  ( x  e.  Z  |->  A )  C_  ( CC  ^m  S ) )
7473rexlimivw 2837 . . . . . 6  |-  ( E. m  e.  ZZ  (
x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  ->  ran  ( x  e.  Z  |->  A )  C_  ( CC  ^m  S ) )
7556, 74syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  Z  |->  A )  C_  ( CC  ^m  S ) )
76 df-f 5422 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : Z --> ( CC 
^m  S )  <->  ( (
x  e.  Z  |->  A )  Fn  Z  /\  ran  ( x  e.  Z  |->  A )  C_  ( CC  ^m  S ) ) )
7772, 75, 76sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  A ) : Z --> ( CC  ^m  S ) )
78 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `
 k ) `  z )  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
) )
79 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
80 ulmcl 21846 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  ->  G : S --> CC )
811, 80syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
82 ulmscl 21844 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  ->  S  e.  _V )
831, 82syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
842, 69, 77, 78, 79, 81, 83ulm2 21850 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
8519fmpt 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  Z  A  e.  ( CC  ^m  S
)  <->  ( x  e.  Z  |->  A ) : Z --> ( CC  ^m  S ) )
8677, 85sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  A  e.  ( CC  ^m  S ) )
8786r19.21bi 2814 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  A  e.  ( CC  ^m  S
) )
88 elmapi 7234 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( CC  ^m  S )  ->  A : S --> CC )
8987, 88syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  A : S --> CC )
904adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  T  C_  S )
91 fssres 5578 . . . . . . 7  |-  ( ( A : S --> CC  /\  T  C_  S )  -> 
( A  |`  T ) : T --> CC )
9289, 90, 91syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  ( A  |`  T ) : T --> CC )
93 cnex 9363 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
9483, 4ssexd 4439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
9594adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  T  e.  _V )
96 elmapg 7227 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( ( A  |`  T )  e.  ( CC  ^m  T )  <-> 
( A  |`  T ) : T --> CC ) )
9793, 95, 96sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  (
( A  |`  T )  e.  ( CC  ^m  T )  <->  ( A  |`  T ) : T --> CC ) )
9892, 97mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  ( A  |`  T )  e.  ( CC  ^m  T
) )
9998, 15fmptd 5867 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) : Z --> ( CC 
^m  T ) )
100 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z ) )
101 fvres 5704 . . . . 5  |-  ( z  e.  T  ->  (
( G  |`  T ) `
 z )  =  ( G `  z
) )
102101adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  T )  ->  (
( G  |`  T ) `
 z )  =  ( G `  z
) )
103 fssres 5578 . . . . 5  |-  ( ( G : S --> CC  /\  T  C_  S )  -> 
( G  |`  T ) : T --> CC )
10481, 4, 103syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  |`  T ) : T --> CC )
1052, 69, 99, 100, 102, 104, 94ulm2 21850 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) ( ~~> u `  T ) ( G  |`  T )  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
10654, 84, 1053imtr4d 268 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  ->  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) ( ~~> u `  T ) ( G  |`  T ) ) )
1071, 106mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) ( ~~> u `  T ) ( G  |`  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   dom cdm 4840   ran crn 4841    |` cres 4842    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214   CCcc 9280    < clt 9418    - cmin 9595   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   RR+crp 10991   abscabs 12723   ~~> uculm 21841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-neg 9598  df-z 10647  df-uz 10862  df-ulm 21842
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