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Theorem ulmss 21805
Description: A uniform limit of functions is still a uniform limit if restricted to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmss.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmss.t  |-  ( ph  ->  T  C_  S )
ulmss.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  A  e.  W )
ulmss.u  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G )
Assertion
Ref Expression
ulmss  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) ( ~~> u `  T ) ( G  |`  T ) )
Distinct variable groups:    x, T    ph, x    x, S    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x)    G( x)    M( x)    W( x)

Proof of Theorem ulmss
Dummy variables  j 
k  m  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmss.u . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G )
2 ulmss.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32uztrn2 10874 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
4 ulmss.t . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  C_  S )
54adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  T  C_  S )
6 ssralv 3413 . . . . . . . . . 10  |-  ( T 
C_  S  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
8 fvres 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  T  ->  (
( A  |`  T ) `
 z )  =  ( A `  z
) )
98ad2antll 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( A  |`  T ) `  z
)  =  ( A `
 z ) )
10 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  ->  x  e.  Z )
11 ulmss.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  A  e.  W )
1211adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  ->  A  e.  W )
13 resexg 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  W  ->  ( A  |`  T )  e. 
_V )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( A  |`  T )  e.  _V )
15 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) )  =  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) )
1615fvmpt2 5778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  Z  /\  ( A  |`  T )  e.  _V )  -> 
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x )  =  ( A  |`  T )
)
1710, 14, 16syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x )  =  ( A  |`  T )
)
1817fveq1d 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( A  |`  T ) `  z ) )
19 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Z  |->  A )  =  ( x  e.  Z  |->  A )
2019fvmpt2 5778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  Z  /\  A  e.  W )  ->  ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x )  =  A )
2110, 12, 20syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x )  =  A )
2221fveq1d 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `
 x ) `  z )  =  ( A `  z ) )
239, 18, 223eqtr4d 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )
)
2423ralrimivva 2806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )
)
25 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )
26 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x T
27 nffvmpt1 5696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k )
28 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
z
2927, 28nffv 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)
30 nffvmpt1 5696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k )
3130, 28nffv 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `
 k ) `  z )
3229, 31nfeq 2584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
3326, 32nfral 2767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
34 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  (
( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) )
3534fveq1d 5690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z ) )
36 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  (
( x  e.  Z  |->  A ) `  x
)  =  ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) )
3736fveq1d 5690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
)
3835, 37eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )  <->  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
) )
3938ralbidv 2733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  ( A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )  <->  A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
) )
4025, 33, 39cbvral 2941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  Z  A. z  e.  T  (
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )  <->  A. k  e.  Z  A. z  e.  T  (
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
)
4124, 40sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
)
4241r19.21bi 2812 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. z  e.  T  ( (
( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z )  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `
 k ) `  z ) )
43 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  ->  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T )
) `  k ) `  z )  -  ( G `  z )
)  =  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )
4443fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  ->  ( abs `  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) )
4544breq1d 4299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  ->  ( ( abs `  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  <->  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
4645ralimi 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  T  (
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  ->  A. z  e.  T  ( ( abs `  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  <->  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
47 ralbi 2851 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  T  (
( abs `  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  <->  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
)  ->  ( A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
4842, 46, 473syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  <->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
497, 48sylibrd 234 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
503, 49sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
5150anassrs 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T )
) `  k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  r
) )
5251ralimdva 2792 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
5352reximdva 2826 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
5453ralimdv 2793 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
55 ulmf 21790 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  ->  E. m  e.  ZZ  ( x  e.  Z  |->  A ) : (
ZZ>= `  m ) --> ( CC  ^m  S ) )
561, 55syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. m  e.  ZZ  ( x  e.  Z  |->  A ) : (
ZZ>= `  m ) --> ( CC  ^m  S ) )
57 fdm 5560 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  ->  dom  ( x  e.  Z  |->  A )  =  (
ZZ>= `  m ) )
5819dmmptss 5331 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  Z  |->  A )  C_  Z
5957, 58syl6eqssr 3404 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  -> 
( ZZ>= `  m )  C_  Z )
60 uzid 10871 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m )
)
6160adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m )
)
62 ssel 3347 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ZZ>= `  m )  C_  Z  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  m  e.  Z ) )
63 eluzel2 10862 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
6463, 2eleq2s 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  Z  ->  M  e.  ZZ )
6562, 64syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( (
ZZ>= `  m )  C_  Z  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  M  e.  ZZ ) )
6661, 65syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( (
ZZ>= `  m )  C_  Z  ->  M  e.  ZZ ) )
6759, 66syl5 32 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  ->  M  e.  ZZ )
)
6867rexlimdva 2839 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC  ^m  S )  ->  M  e.  ZZ ) )
6956, 68mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7011ralrimiva 2797 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  A  e.  W )
7119fnmpt 5534 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  Z  A  e.  W  ->  ( x  e.  Z  |->  A )  Fn  Z )
7270, 71syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  A )  Fn  Z
)
73 frn 5562 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  ->  ran  ( x  e.  Z  |->  A )  C_  ( CC  ^m  S ) )
7473rexlimivw 2835 . . . . . 6  |-  ( E. m  e.  ZZ  (
x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  ->  ran  ( x  e.  Z  |->  A )  C_  ( CC  ^m  S ) )
7556, 74syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  Z  |->  A )  C_  ( CC  ^m  S ) )
76 df-f 5419 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : Z --> ( CC 
^m  S )  <->  ( (
x  e.  Z  |->  A )  Fn  Z  /\  ran  ( x  e.  Z  |->  A )  C_  ( CC  ^m  S ) ) )
7772, 75, 76sylanbrc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  A ) : Z --> ( CC  ^m  S ) )
78 eqidd 2442 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `
 k ) `  z )  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
) )
79 eqidd 2442 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
80 ulmcl 21789 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  ->  G : S --> CC )
811, 80syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
82 ulmscl 21787 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  ->  S  e.  _V )
831, 82syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
842, 69, 77, 78, 79, 81, 83ulm2 21793 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
8519fmpt 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  Z  A  e.  ( CC  ^m  S
)  <->  ( x  e.  Z  |->  A ) : Z --> ( CC  ^m  S ) )
8677, 85sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  A  e.  ( CC  ^m  S ) )
8786r19.21bi 2812 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  A  e.  ( CC  ^m  S
) )
88 elmapi 7230 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( CC  ^m  S )  ->  A : S --> CC )
8987, 88syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  A : S --> CC )
904adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  T  C_  S )
91 fssres 5575 . . . . . . 7  |-  ( ( A : S --> CC  /\  T  C_  S )  -> 
( A  |`  T ) : T --> CC )
9289, 90, 91syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  ( A  |`  T ) : T --> CC )
93 cnex 9359 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
9483, 4ssexd 4436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
9594adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  T  e.  _V )
96 elmapg 7223 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( ( A  |`  T )  e.  ( CC  ^m  T )  <-> 
( A  |`  T ) : T --> CC ) )
9793, 95, 96sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  (
( A  |`  T )  e.  ( CC  ^m  T )  <->  ( A  |`  T ) : T --> CC ) )
9892, 97mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  ( A  |`  T )  e.  ( CC  ^m  T
) )
9998, 15fmptd 5864 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) : Z --> ( CC 
^m  T ) )
100 eqidd 2442 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z ) )
101 fvres 5701 . . . . 5  |-  ( z  e.  T  ->  (
( G  |`  T ) `
 z )  =  ( G `  z
) )
102101adantl 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  T )  ->  (
( G  |`  T ) `
 z )  =  ( G `  z
) )
103 fssres 5575 . . . . 5  |-  ( ( G : S --> CC  /\  T  C_  S )  -> 
( G  |`  T ) : T --> CC )
10481, 4, 103syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  |`  T ) : T --> CC )
1052, 69, 99, 100, 102, 104, 94ulm2 21793 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) ( ~~> u `  T ) ( G  |`  T )  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
10654, 84, 1053imtr4d 268 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  ->  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) ( ~~> u `  T ) ( G  |`  T ) ) )
1071, 106mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) ( ~~> u `  T ) ( G  |`  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ran crn 4837    |` cres 4838    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   CCcc 9276    < clt 9414    - cmin 9591   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   abscabs 12719   ~~> uculm 21784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-neg 9594  df-z 10643  df-uz 10858  df-ulm 21785
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