Theorem ulmshftlem 21990

Description: Lemma for ulmshft 21991. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmshft.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
ulmshft.w	|- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
ulmshft.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
ulmshft.k	|- ( ph -> K e. ZZ )
ulmshft.f	|- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
ulmshft.h	|- ( ph -> H = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ulmshftlem	|- ( ph -> ( F ( ~~> u ` S ) G -> H ( ~~> u ` S ) G ) )

Distinct variable groups:   ph, n   n, W   n, F   n, K   S, n

Allowed substitution hints:   G( n)   H( n)   M( n)   Z( n)

Proof of Theorem ulmshftlem

Dummy variables i j k m x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmshft.z	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		ulmshft.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
3	2	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> M e. ZZ )
4		ulmshft.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
5	4	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
6		eqidd 2455	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
7		eqidd 2455	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
8		simplr 754	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> F ( ~~> u ` S ) G )
9		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
10	1, 3, 5, 6, 7, 8, 9	ulmi 21987	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> E. i e. Z A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
11		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> i e. Z )
12	11, 1	syl6eleq 2552	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
13		ulmshft.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ZZ )
14	13	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> K e. ZZ )
15		eluzadd 11003	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( i + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
16	12, 14, 15	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( i + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
17		ulmshft.w	. . . . . . . 8 |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
18	16, 17	syl6eleqr 2553	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( i + K ) e. W )
19		eluzelz 10984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( ZZ>= ` M ) -> i e. ZZ )
20	12, 19	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> i e. ZZ )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> i e. ZZ )
22	13	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> K e. ZZ )
23	22	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> K e. ZZ )
24		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) )
25		eluzsub 11004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> ( k - K ) e. ( ZZ>= ` i ) )
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> ( k - K ) e. ( ZZ>= ` i ) )
27		fveq2 5802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( k - K ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( k - K ) ) )
28	27	fveq1d 5804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - K ) -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) )
29	28	oveq1d 6218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( k - K ) -> ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) )
30	29	fveq2d 5806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - K ) -> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) )
31	30	breq1d 4413	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - K ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
32	31	ralbidv 2846	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( k - K ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
33	32	rspcv 3175	. . . . . . . . 9 |- ( ( k - K ) e. ( ZZ>= ` i ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
34	26, 33	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
35	34	ralrimdva 2912	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
36		fveq2 5802	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( i + K ) -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` ( i + K ) ) )
37	36	raleqdv 3029	. . . . . . . 8 |- ( j = ( i + K ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
38	37	rspcev 3179	. . . . . . 7 |- ( ( ( i + K ) e. W /\ A. k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
39	18, 35, 38	syl6an 545	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
40	39	rexlimdva 2947	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. i e. Z A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
41	10, 40	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
42	41	ralrimiva 2830	. . 3 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
43	2, 13	zaddcld 10865	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
44	43	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> ( M + K ) e. ZZ )
45	4	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
46	2	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> M e. ZZ )
47	13	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> K e. ZZ )
48		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> n e. W )
49	48, 17	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> n e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
50		eluzsub 11004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( n - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( n - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
52	51, 1	syl6eleqr 2553	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( n - K ) e. Z )
53	45, 52	ffvelrnd 5956	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( F ` ( n - K ) ) e. ( CC ^m S ) )
54		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) )
55	53, 54	fmptd 5979	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) : W --> ( CC ^m S ) )
56		ulmshft.h	. . . . . . 7 |- ( ph -> H = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) )
57	56	feq1d 5657	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H : W --> ( CC ^m S ) <-> ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) : W --> ( CC ^m S ) ) )
58	55, 57	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> H : W --> ( CC ^m S ) )
59	58	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> H : W --> ( CC ^m S ) )
60	56	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> H = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) )
61	60	fveq1d 5804	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( H ` k ) = ( ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) ` k ) )
62		oveq1 6210	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( n - K ) = ( k - K ) )
63	62	fveq2d 5806	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( F ` ( n - K ) ) = ( F ` ( k - K ) ) )
64		fvex 5812	. . . . . . . 8 |- ( F ` ( k - K ) ) e. _V
65	63, 54, 64	fvmpt 5886	. . . . . . 7 |- ( k e. W -> ( ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) ` k ) = ( F ` ( k - K ) ) )
66	65	ad2antrl 727	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) ` k ) = ( F ` ( k - K ) ) )
67	61, 66	eqtrd 2495	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( k - K ) ) )
68	67	fveq1d 5804	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( ( H ` k ) ` z ) = ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) )
69		eqidd 2455	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
70		ulmcl 21982	. . . . 5 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> G : S --> CC )
71	70	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> G : S --> CC )
72		ulmscl 21980	. . . . 5 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> S e. _V )
73	72	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> S e. _V )
74	17, 44, 59, 68, 69, 71, 73	ulm2 21986	. . 3 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> ( H ( ~~> u ` S ) G <-> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
75	42, 74	mpbird 232	. 2 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> H ( ~~> u ` S ) G )
76	75	ex 434	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> u ` S ) G -> H ( ~~> u ` S ) G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   class class class wbr 4403   |-> cmpt 4461   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   ^m cmap 7327   CCcc 9394   + caddc 9399   < clt 9532   - cmin 9709   ZZcz 10760   ZZ>=cuz 10975   RR+crp 11105   abscabs 12844   ~~> uculm 21977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-ulm 21978

This theorem is referenced by:  ulmshft  21991