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Theorem ulmshftlem 21829
Description: Lemma for ulmshft 21830. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z |- Z = ( ZZ>= ` M )
ulmshft.w |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
ulmshft.m |- ( ph -> M e. ZZ )
ulmshft.k |- ( ph -> K e. ZZ )
ulmshft.f |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
ulmshft.h |- ( ph -> H = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ulmshftlem |- ( ph -> ( F ( ~~> u ` S ) G -> H ( ~~> u ` S ) G ) )
Distinct variable groups:   ph, n   n, W   n, F   n, K   S, n
Allowed substitution hints:   G( n)   H( n)   M( n)   Z( n)
Proof of Theorem ulmshftlem
Dummy variables i j k m x z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2 ulmshft.m . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
32ad2antrr 725 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> M e. ZZ )
4 ulmshft.f . . . . . . 7 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
54ad2antrr 725 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
6 eqidd 2439 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
7 eqidd 2439 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
8 simplr 754 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> F ( ~~> u ` S ) G )
9 simpr 461 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
101, 3, 5, 6, 7, 8, 9ulmi 21826 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> E. i e. Z A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
11 simpr 461 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> i e. Z )
1211, 1syl6eleq 2528 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
13 ulmshft.k . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ZZ )
1413ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> K e. ZZ )
15 eluzadd 10881 . . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( i + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
1612, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( i + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
17 ulmshft.w . . . . . . . 8 |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
1816, 17syl6eleqr 2529 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( i + K ) e. W )
19 eluzelz 10862 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( ZZ>= ` M ) -> i e. ZZ )
2012, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> i e. ZZ )
2120adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> i e. ZZ )
2213adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> K e. ZZ )
2322ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> K e. ZZ )
24 simpr 461 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) )
25 eluzsub 10882 . . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> ( k - K ) e. ( ZZ>= ` i ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1218 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> ( k - K ) e. ( ZZ>= ` i ) )
27 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( k - K ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( k - K ) ) )
2827fveq1d 5688 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - K ) -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) )
2928oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( k - K ) -> ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) )
3029fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - K ) -> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) )
3130breq1d 4297 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - K ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
3231ralbidv 2730 . . . . . . . . . 10 |- ( m = ( k - K ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
3332rspcv 3064 . . . . . . . . 9 |- ( ( k - K ) e. ( ZZ>= ` i ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
3426, 33syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
3534ralrimdva 2801 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
36 fveq2 5686 . . . . . . . . 9 |- ( j = ( i + K ) -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` ( i + K ) ) )
3736raleqdv 2918 . . . . . . . 8 |- ( j = ( i + K ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
3837rspcev 3068 . . . . . . 7 |- ( ( ( i + K ) e. W /\ A. k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
3918, 35, 38syl6an 545 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
4039rexlimdva 2836 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. i e. Z A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
4110, 40mpd 15 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
4241ralrimiva 2794 . . 3 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
432, 13zaddcld 10743 . . . . 5 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
4443adantr 465 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> ( M + K ) e. ZZ )
454adantr 465 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
462adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> M e. ZZ )
4713adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> K e. ZZ )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> n e. W )
4948, 17syl6eleq 2528 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> n e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
50 eluzsub 10882 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( n - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5146, 47, 49, 50syl3anc 1218 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( n - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5251, 1syl6eleqr 2529 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( n - K ) e. Z )
5345, 52ffvelrnd 5839 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( F ` ( n - K ) ) e. ( CC ^m S ) )
54 eqid 2438 . . . . . . 7 |- ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) )
5553, 54fmptd 5862 . . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) : W --> ( CC ^m S ) )
56 ulmshft.h . . . . . . 7 |- ( ph -> H = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) )
5756feq1d 5541 . . . . . 6 |- ( ph -> ( H : W --> ( CC ^m S ) <-> ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) : W --> ( CC ^m S ) ) )
5855, 57mpbird 232 . . . . 5 |- ( ph -> H : W --> ( CC ^m S ) )
5958adantr 465 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> H : W --> ( CC ^m S ) )
6056ad2antrr 725 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> H = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) )
6160fveq1d 5688 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( H ` k ) = ( ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) ` k ) )
62 oveq1 6093 . . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( n - K ) = ( k - K ) )
6362fveq2d 5690 . . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( F ` ( n - K ) ) = ( F ` ( k - K ) ) )
64 fvex 5696 . . . . . . . 8 |- ( F ` ( k - K ) ) e. _V
6563, 54, 64fvmpt 5769 . . . . . . 7 |- ( k e. W -> ( ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) ` k ) = ( F ` ( k - K ) ) )
6665ad2antrl 727 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) ` k ) = ( F ` ( k - K ) ) )
6761, 66eqtrd 2470 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( k - K ) ) )
6867fveq1d 5688 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( ( H ` k ) ` z ) = ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) )
69 eqidd 2439 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
70 ulmcl 21821 . . . . 5 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> G : S --> CC )
7170adantl 466 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> G : S --> CC )
72 ulmscl 21819 . . . . 5 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> S e. _V )
7372adantl 466 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> S e. _V )
7417, 44, 59, 68, 69, 71, 73ulm2 21825 . . 3 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> ( H ( ~~> u ` S ) G <-> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
7542, 74mpbird 232 . 2 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> H ( ~~> u ` S ) G )
7675ex 434 1 |- ( ph -> ( F ( ~~> u ` S ) G -> H ( ~~> u ` S ) G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ^m cmap 7206   CCcc 9272   + caddc 9277   < clt 9410   - cmin 9587   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   abscabs 12715   ~~> uculm 21816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-ulm 21817
This theorem is referenced by:  ulmshft  21830
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