Theorem ulmshftlem 22651

Description: Lemma for ulmshft 22652. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmshft.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
ulmshft.w	|- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
ulmshft.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
ulmshft.k	|- ( ph -> K e. ZZ )
ulmshft.f	|- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
ulmshft.h	|- ( ph -> H = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ulmshftlem	|- ( ph -> ( F ( ~~> u ` S ) G -> H ( ~~> u ` S ) G ) )

Distinct variable groups:   ph, n   n, W   n, F   n, K   S, n

Allowed substitution hints:   G( n)   H( n)   M( n)   Z( n)

Proof of Theorem ulmshftlem

Dummy variables i j k m x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmshft.z	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		ulmshft.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
3	2	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> M e. ZZ )
4		ulmshft.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
5	4	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
6		eqidd 2468	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
7		eqidd 2468	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
8		simplr 754	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> F ( ~~> u ` S ) G )
9		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
10	1, 3, 5, 6, 7, 8, 9	ulmi 22648	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> E. i e. Z A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
11		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> i e. Z )
12	11, 1	syl6eleq 2565	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
13		ulmshft.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ZZ )
14	13	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> K e. ZZ )
15		eluzadd 11122	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( i + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
16	12, 14, 15	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( i + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
17		ulmshft.w	. . . . . . . 8 |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
18	16, 17	syl6eleqr 2566	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( i + K ) e. W )
19		eluzelz 11103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( ZZ>= ` M ) -> i e. ZZ )
20	12, 19	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> i e. ZZ )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> i e. ZZ )
22	13	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> K e. ZZ )
23	22	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> K e. ZZ )
24		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) )
25		eluzsub 11123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> ( k - K ) e. ( ZZ>= ` i ) )
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> ( k - K ) e. ( ZZ>= ` i ) )
27		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( k - K ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( k - K ) ) )
28	27	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - K ) -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) )
29	28	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( k - K ) -> ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) )
30	29	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - K ) -> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) )
31	30	breq1d 4463	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - K ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
32	31	ralbidv 2906	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( k - K ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
33	32	rspcv 3215	. . . . . . . . 9 |- ( ( k - K ) e. ( ZZ>= ` i ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
34	26, 33	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
35	34	ralrimdva 2885	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
36		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( i + K ) -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` ( i + K ) ) )
37	36	raleqdv 3069	. . . . . . . 8 |- ( j = ( i + K ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
38	37	rspcev 3219	. . . . . . 7 |- ( ( ( i + K ) e. W /\ A. k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
39	18, 35, 38	syl6an 545	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
40	39	rexlimdva 2959	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. i e. Z A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
41	10, 40	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
42	41	ralrimiva 2881	. . 3 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
43	2, 13	zaddcld 10982	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
44	43	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> ( M + K ) e. ZZ )
45	4	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
46	2	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> M e. ZZ )
47	13	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> K e. ZZ )
48		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> n e. W )
49	48, 17	syl6eleq 2565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> n e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
50		eluzsub 11123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( n - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( n - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
52	51, 1	syl6eleqr 2566	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( n - K ) e. Z )
53	45, 52	ffvelrnd 6033	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( F ` ( n - K ) ) e. ( CC ^m S ) )
54		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) )
55	53, 54	fmptd 6056	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) : W --> ( CC ^m S ) )
56		ulmshft.h	. . . . . . 7 |- ( ph -> H = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) )
57	56	feq1d 5723	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H : W --> ( CC ^m S ) <-> ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) : W --> ( CC ^m S ) ) )
58	55, 57	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> H : W --> ( CC ^m S ) )
59	58	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> H : W --> ( CC ^m S ) )
60	56	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> H = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) )
61	60	fveq1d 5874	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( H ` k ) = ( ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) ` k ) )
62		oveq1 6302	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( n - K ) = ( k - K ) )
63	62	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( F ` ( n - K ) ) = ( F ` ( k - K ) ) )
64		fvex 5882	. . . . . . . 8 |- ( F ` ( k - K ) ) e. _V
65	63, 54, 64	fvmpt 5957	. . . . . . 7 |- ( k e. W -> ( ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) ` k ) = ( F ` ( k - K ) ) )
66	65	ad2antrl 727	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) ` k ) = ( F ` ( k - K ) ) )
67	61, 66	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( k - K ) ) )
68	67	fveq1d 5874	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( ( H ` k ) ` z ) = ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) )
69		eqidd 2468	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
70		ulmcl 22643	. . . . 5 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> G : S --> CC )
71	70	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> G : S --> CC )
72		ulmscl 22641	. . . . 5 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> S e. _V )
73	72	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> S e. _V )
74	17, 44, 59, 68, 69, 71, 73	ulm2 22647	. . 3 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> ( H ( ~~> u ` S ) G <-> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
75	42, 74	mpbird 232	. 2 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> H ( ~~> u ` S ) G )
76	75	ex 434	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> u ` S ) G -> H ( ~~> u ` S ) G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   class class class wbr 4453   |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   ^m cmap 7432   CCcc 9502   + caddc 9507   < clt 9640   - cmin 9817   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   RR+crp 11232   abscabs 13047   ~~> uculm 22638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-ulm 22639

This theorem is referenced by:  ulmshft  22652