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Theorem ulmshftlem 21990
Description: Lemma for ulmshft 21991. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmshft.w  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
ulmshft.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmshft.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
ulmshft.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
ulmshft.h  |-  ( ph  ->  H  =  ( n  e.  W  |->  ( F `
 ( n  -  K ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ulmshftlem  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  ->  H ( ~~> u `  S ) G ) )
Distinct variable groups:    ph, n    n, W    n, F    n, K    S, n
Allowed substitution hints:    G( n)    H( n)    M( n)    Z( n)

Proof of Theorem ulmshftlem
Dummy variables  i 
j  k  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 ulmshft.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
32ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
4 ulmshft.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
54ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
6 eqidd 2455 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  m ) `  z
)  =  ( ( F `  m ) `
 z ) )
7 eqidd 2455 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  z  e.  S
)  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
8 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
9 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
101, 3, 5, 6, 7, 8, 9ulmi 21987 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. i  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>=
`  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
)
11 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  i  e.  Z )
1211, 1syl6eleq 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
13 ulmshft.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
1413ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  K  e.  ZZ )
15 eluzadd 11003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
i  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
1612, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  ( i  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
17 ulmshft.w . . . . . . . 8  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
1816, 17syl6eleqr 2553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  ( i  +  K )  e.  W
)
19 eluzelz 10984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  i  e.  ZZ )
2012, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  i  e.  ZZ )
2120adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
2213adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  K  e.  ZZ )
2322ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
24 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )
25 eluzsub 11004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  ( k  -  K )  e.  (
ZZ>= `  i ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  ( k  -  K )  e.  (
ZZ>= `  i ) )
27 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( k  -  K
) ) )
2827fveq1d 5804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  (
( F `  m
) `  z )  =  ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z ) )
2928oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( G `
 z ) )  =  ( ( ( F `  ( k  -  K ) ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )
3029fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) )
3130breq1d 4413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
3231ralbidv 2846 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
3332rspcv 3175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  -  K )  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x ) )
3426, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
3534ralrimdva 2912 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  K ) ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  ( k  -  K ) ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) )
36 fveq2 5802 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( i  +  K )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )
3736raleqdv 3029 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( i  +  K )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  ( k  -  K ) ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K
) ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
3837rspcev 3179 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  +  K
)  e.  W  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K
) ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
)  ->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x )
3918, 35, 38syl6an 545 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x  ->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  ( k  -  K ) ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) )
4039rexlimdva 2947 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( E. i  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x  ->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x ) )
4110, 40mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  ( k  -  K ) ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
)
4241ralrimiva 2830 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x )
432, 13zaddcld 10865 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
4443adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  ( M  +  K )  e.  ZZ )
454adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
462adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  M  e.  ZZ )
4713adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  K  e.  ZZ )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  n  e.  W )
4948, 17syl6eleq 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
50 eluzsub 11004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( n  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
5146, 47, 49, 50syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  (
n  -  K )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
5251, 1syl6eleqr 2553 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  (
n  -  K )  e.  Z )
5345, 52ffvelrnd 5956 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  ( F `  ( n  -  K ) )  e.  ( CC  ^m  S
) )
54 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  W  |->  ( F `
 ( n  -  K ) ) )  =  ( n  e.  W  |->  ( F `  ( n  -  K
) ) )
5553, 54fmptd 5979 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  W  |->  ( F `  (
n  -  K ) ) ) : W --> ( CC  ^m  S ) )
56 ulmshft.h . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  =  ( n  e.  W  |->  ( F `
 ( n  -  K ) ) ) )
5756feq1d 5657 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H : W --> ( CC  ^m  S )  <-> 
( n  e.  W  |->  ( F `  (
n  -  K ) ) ) : W --> ( CC  ^m  S ) ) )
5855, 57mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : W --> ( CC 
^m  S ) )
5958adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  H : W --> ( CC  ^m  S ) )
6056ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S
) )  ->  H  =  ( n  e.  W  |->  ( F `  ( n  -  K
) ) ) )
6160fveq1d 5804 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S
) )  ->  ( H `  k )  =  ( ( n  e.  W  |->  ( F `
 ( n  -  K ) ) ) `
 k ) )
62 oveq1 6210 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
n  -  K )  =  ( k  -  K ) )
6362fveq2d 5806 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  ( n  -  K ) )  =  ( F `  (
k  -  K ) ) )
64 fvex 5812 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( k  -  K ) )  e. 
_V
6563, 54, 64fvmpt 5886 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  W  ->  (
( n  e.  W  |->  ( F `  (
n  -  K ) ) ) `  k
)  =  ( F `
 ( k  -  K ) ) )
6665ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S
) )  ->  (
( n  e.  W  |->  ( F `  (
n  -  K ) ) ) `  k
)  =  ( F `
 ( k  -  K ) ) )
6761, 66eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S
) )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( k  -  K
) ) )
6867fveq1d 5804 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S
) )  ->  (
( H `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z ) )
69 eqidd 2455 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z
)  =  ( G `
 z ) )
70 ulmcl 21982 . . . . 5  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
7170adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  G : S --> CC )
72 ulmscl 21980 . . . . 5  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  S  e.  _V )
7372adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  S  e.  _V )
7417, 44, 59, 68, 69, 71, 73ulm2 21986 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  ( H ( ~~> u `  S ) G  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x ) )
7542, 74mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  H
( ~~> u `  S
) G )
7675ex 434 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  ->  H ( ~~> u `  S ) G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    ^m cmap 7327   CCcc 9394    + caddc 9399    < clt 9532    - cmin 9709   ZZcz 10760   ZZ>=cuz 10975   RR+crp 11105   abscabs 12844   ~~> uculm 21977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-ulm 21978
This theorem is referenced by:  ulmshft  21991
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