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Theorem ulmshftlem 23344
Description: Lemma for ulmshft 23345. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z |- Z = ( ZZ>= ` M )
ulmshft.w |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
ulmshft.m |- ( ph -> M e. ZZ )
ulmshft.k |- ( ph -> K e. ZZ )
ulmshft.f |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
ulmshft.h |- ( ph -> H = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ulmshftlem |- ( ph -> ( F ( ~~> u ` S ) G -> H ( ~~> u ` S ) G ) )
Distinct variable groups:   ph, n   n, W   n, F   n, K   S, n
Allowed substitution hints:   G( n)   H( n)   M( n)   Z( n)
Proof of Theorem ulmshftlem
Dummy variables i j k m x z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2 ulmshft.m . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
32ad2antrr 732 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> M e. ZZ )
4 ulmshft.f . . . . . . 7 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
54ad2antrr 732 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
6 eqidd 2452 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
7 eqidd 2452 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
8 simplr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> F ( ~~> u ` S ) G )
9 simpr 463 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
101, 3, 5, 6, 7, 8, 9ulmi 23341 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> E. i e. Z A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
11 simpr 463 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> i e. Z )
1211, 1syl6eleq 2539 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
13 ulmshft.k . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ZZ )
1413ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> K e. ZZ )
15 eluzadd 11187 . . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( i + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
1612, 14, 15syl2anc 667 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( i + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
17 ulmshft.w . . . . . . . 8 |- W = ( ZZ>= ` ( M + K ) )
1816, 17syl6eleqr 2540 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( i + K ) e. W )
19 eluzelz 11168 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( ZZ>= ` M ) -> i e. ZZ )
2012, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> i e. ZZ )
2120adantr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> i e. ZZ )
2213adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> K e. ZZ )
2322ad3antrrr 736 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> K e. ZZ )
24 simpr 463 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) )
25 eluzsub 11188 . . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> ( k - K ) e. ( ZZ>= ` i ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1268 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> ( k - K ) e. ( ZZ>= ` i ) )
27 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( k - K ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( k - K ) ) )
2827fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k - K ) -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) )
2928oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( k - K ) -> ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) )
3029fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - K ) -> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) )
3130breq1d 4412 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - K ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
3231ralbidv 2827 . . . . . . . . . 10 |- ( m = ( k - K ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
3332rspcv 3146 . . . . . . . . 9 |- ( ( k - K ) e. ( ZZ>= ` i ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
3426, 33syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
3534ralrimdva 2806 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
36 fveq2 5865 . . . . . . . . 9 |- ( j = ( i + K ) -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` ( i + K ) ) )
3736raleqdv 2993 . . . . . . . 8 |- ( j = ( i + K ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
3837rspcev 3150 . . . . . . 7 |- ( ( ( i + K ) e. W /\ A. k e. ( ZZ>= ` ( i + K ) ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
3918, 35, 38syl6an 548 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
4039rexlimdva 2879 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. i e. Z A. m e. ( ZZ>= ` i ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
4110, 40mpd 15 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
4241ralrimiva 2802 . . 3 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x )
432, 13zaddcld 11044 . . . . 5 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
4443adantr 467 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> ( M + K ) e. ZZ )
454adantr 467 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
462adantr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> M e. ZZ )
4713adantr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> K e. ZZ )
48 simpr 463 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> n e. W )
4948, 17syl6eleq 2539 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> n e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
50 eluzsub 11188 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( n - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5146, 47, 49, 50syl3anc 1268 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( n - K ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5251, 1syl6eleqr 2540 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( n - K ) e. Z )
5345, 52ffvelrnd 6023 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. W ) -> ( F ` ( n - K ) ) e. ( CC ^m S ) )
54 eqid 2451 . . . . . . 7 |- ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) )
5553, 54fmptd 6046 . . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) : W --> ( CC ^m S ) )
56 ulmshft.h . . . . . . 7 |- ( ph -> H = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) )
5756feq1d 5714 . . . . . 6 |- ( ph -> ( H : W --> ( CC ^m S ) <-> ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) : W --> ( CC ^m S ) ) )
5855, 57mpbird 236 . . . . 5 |- ( ph -> H : W --> ( CC ^m S ) )
5958adantr 467 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> H : W --> ( CC ^m S ) )
6056ad2antrr 732 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> H = ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) )
6160fveq1d 5867 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( H ` k ) = ( ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) ` k ) )
62 oveq1 6297 . . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( n - K ) = ( k - K ) )
6362fveq2d 5869 . . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( F ` ( n - K ) ) = ( F ` ( k - K ) ) )
64 fvex 5875 . . . . . . . 8 |- ( F ` ( k - K ) ) e. _V
6563, 54, 64fvmpt 5948 . . . . . . 7 |- ( k e. W -> ( ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) ` k ) = ( F ` ( k - K ) ) )
6665ad2antrl 734 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( ( n e. W |-> ( F ` ( n - K ) ) ) ` k ) = ( F ` ( k - K ) ) )
6761, 66eqtrd 2485 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( k - K ) ) )
6867fveq1d 5867 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( ( H ` k ) ` z ) = ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) )
69 eqidd 2452 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
70 ulmcl 23336 . . . . 5 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> G : S --> CC )
7170adantl 468 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> G : S --> CC )
72 ulmscl 23334 . . . . 5 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> S e. _V )
7372adantl 468 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> S e. _V )
7417, 44, 59, 68, 69, 71, 73ulm2 23340 . . 3 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> ( H ( ~~> u ` S ) G <-> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` ( k - K ) ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < x ) )
7542, 74mpbird 236 . 2 |- ( ( ph /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> H ( ~~> u ` S ) G )
7675ex 436 1 |- ( ph -> ( F ( ~~> u ` S ) G -> H ( ~~> u ` S ) G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ^m cmap 7472   CCcc 9537   + caddc 9542   < clt 9675   - cmin 9860   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   abscabs 13297   ~~> uculm 23331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-ulm 23332
This theorem is referenced by:  ulmshft  23345
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