Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmshft Structured version   Unicode version

Theorem ulmshft 22652
 Description: A sequence of functions converges iff the shifted sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z
ulmshft.w
ulmshft.m
ulmshft.k
ulmshft.f
ulmshft.h
Assertion
Ref Expression
ulmshft
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem ulmshft
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . 3
2 ulmshft.w . . 3
3 ulmshft.m . . 3
4 ulmshft.k . . 3
5 ulmshft.f . . 3
6 ulmshft.h . . 3
71, 2, 3, 4, 5, 6ulmshftlem 22651 . 2
8 eqid 2467 . . 3
93, 4zaddcld 10982 . . 3
104znegcld 10980 . . 3
115adantr 465 . . . . . 6
123adantr 465 . . . . . . . 8
134adantr 465 . . . . . . . 8
14 simpr 461 . . . . . . . . 9
1514, 2syl6eleq 2565 . . . . . . . 8
16 eluzsub 11123 . . . . . . . 8
1712, 13, 15, 16syl3anc 1228 . . . . . . 7
1817, 1syl6eleqr 2566 . . . . . 6
1911, 18ffvelrnd 6033 . . . . 5
20 eqid 2467 . . . . 5
2119, 20fmptd 6056 . . . 4
226feq1d 5723 . . . 4
2321, 22mpbird 232 . . 3
24 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
2524, 1syl6eleq 2565 . . . . . . . . . 10
26 eluzelz 11103 . . . . . . . . . 10
2725, 26syl 16 . . . . . . . . 9
2827zcnd 10979 . . . . . . . 8
294zcnd 10979 . . . . . . . . 9
3029adantr 465 . . . . . . . 8
3128, 30subnegd 9949 . . . . . . 7
3231fveq2d 5876 . . . . . 6
336adantr 465 . . . . . . 7
3433fveq1d 5874 . . . . . 6
354adantr 465 . . . . . . . . . 10
36 eluzadd 11122 . . . . . . . . . 10
3725, 35, 36syl2anc 661 . . . . . . . . 9
3837, 2syl6eleqr 2566 . . . . . . . 8
39 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10
4039fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
41 fvex 5882 . . . . . . . . 9
4240, 20, 41fvmpt 5957 . . . . . . . 8
4338, 42syl 16 . . . . . . 7
4428, 30pncand 9943 . . . . . . . 8
4544fveq2d 5876 . . . . . . 7
4643, 45eqtrd 2508 . . . . . 6
4732, 34, 463eqtrd 2512 . . . . 5
4847mpteq2dva 4539 . . . 4
493zcnd 10979 . . . . . . . . 9
5010zcnd 10979 . . . . . . . . 9
5149, 29, 50addassd 9630 . . . . . . . 8
5229negidd 9932 . . . . . . . . 9
5352oveq2d 6311 . . . . . . . 8
5449addid1d 9791 . . . . . . . 8
5551, 53, 543eqtrd 2512 . . . . . . 7
5655fveq2d 5876 . . . . . 6
5756, 1syl6eqr 2526 . . . . 5
5857mpteq1d 4534 . . . 4
595feqmptd 5927 . . . 4
6048, 58, 593eqtr4rd 2519 . . 3
612, 8, 9, 10, 23, 60ulmshftlem 22651 . 2
627, 61impbid 191 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   class class class wbr 4453   cmpt 4511  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmap 7432  cc 9502  cc0 9504   caddc 9507   cmin 9817  cneg 9818  cz 10876  cuz 11094  culm 22638 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-ulm 22639 This theorem is referenced by:  pserdvlem2  22690
 Copyright terms: Public domain W3C validator