MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmres Structured version   Unicode version

Theorem ulmres 22909
Description: A sequence of functions converges iff the tail of the sequence converges (for any finite cutoff). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmres.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmres.w  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
ulmres.m  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
ulmres.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
Assertion
Ref Expression
ulmres  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G ) )

Proof of Theorem ulmres
Dummy variables  j 
k  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmscl 22900 . . . 4  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  S  e.  _V )
2 ulmcl 22902 . . . 4  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
31, 2jca 532 . . 3  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  -> 
( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) ) )
5 ulmscl 22900 . . . 4  |-  ( ( F  |`  W )
( ~~> u `  S
) G  ->  S  e.  _V )
6 ulmcl 22902 . . . 4  |-  ( ( F  |`  W )
( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
75, 6jca 532 . . 3  |-  ( ( F  |`  W )
( ~~> u `  S
) G  ->  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )
87a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G  -> 
( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) ) )
9 ulmres.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
10 ulmres.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
119, 10syl6eleq 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
1211adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
13 eluzel2 11111 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  M  e.  ZZ )
1510rexuz3 13193 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  r
) )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
17 eluzelz 11115 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
1812, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  N  e.  ZZ )
19 ulmres.w . . . . . . . 8  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
2019rexuz3 13193 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  r
) )
2118, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
2216, 21bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
2322ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
24 ulmres.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
2524adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
26 eqidd 2458 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  z
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
27 eqidd 2458 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
28 simprr 757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  G : S --> CC )
29 simprl 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  S  e.  _V )
3010, 14, 25, 26, 27, 28, 29ulm2 22906 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( F ( ~~> u `  S ) G  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
31 uzss 11126 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
3212, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
3332, 19, 103sstr4g 3540 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  W  C_  Z )
3425, 33fssresd 5758 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( F  |`  W ) : W --> ( CC 
^m  S ) )
35 fvres 5886 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  W  ->  (
( F  |`  W ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
3635ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F  |`  W ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
3736fveq1d 5874 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( ( F  |`  W ) `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  z ) )
3819, 18, 34, 37, 27, 28, 29ulm2 22906 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
3923, 30, 383bitr4d 285 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( F ( ~~> u `  S ) G  <->  ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G ) )
4039ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  e. 
_V  /\  G : S
--> CC )  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G ) ) )
414, 8, 40pm5.21ndd 354 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   CCcc 9507    < clt 9645    - cmin 9824   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   abscabs 13079   ~~> uculm 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-neg 9827  df-z 10886  df-uz 11107  df-ulm 22898
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  22949
  Copyright terms: Public domain W3C validator