Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmres Structured version   Unicode version

Theorem ulmres 22909
 Description: A sequence of functions converges iff the tail of the sequence converges (for any finite cutoff). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmres.z
ulmres.w
ulmres.m
ulmres.f
Assertion
Ref Expression
ulmres

Proof of Theorem ulmres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmscl 22900 . . . 4
2 ulmcl 22902 . . . 4
31, 2jca 532 . . 3
43a1i 11 . 2
5 ulmscl 22900 . . . 4
6 ulmcl 22902 . . . 4
75, 6jca 532 . . 3
87a1i 11 . 2
9 ulmres.m . . . . . . . . . 10
10 ulmres.z . . . . . . . . . 10
119, 10syl6eleq 2555 . . . . . . . . 9
1211adantr 465 . . . . . . . 8
13 eluzel2 11111 . . . . . . . 8
1412, 13syl 16 . . . . . . 7
1510rexuz3 13193 . . . . . . 7
1614, 15syl 16 . . . . . 6
17 eluzelz 11115 . . . . . . . 8
1812, 17syl 16 . . . . . . 7
19 ulmres.w . . . . . . . 8
2019rexuz3 13193 . . . . . . 7
2118, 20syl 16 . . . . . 6
2216, 21bitr4d 256 . . . . 5
2322ralbidv 2896 . . . 4
24 ulmres.f . . . . . 6
2524adantr 465 . . . . 5
26 eqidd 2458 . . . . 5
27 eqidd 2458 . . . . 5
28 simprr 757 . . . . 5
29 simprl 756 . . . . 5
3010, 14, 25, 26, 27, 28, 29ulm2 22906 . . . 4
31 uzss 11126 . . . . . . . 8
3212, 31syl 16 . . . . . . 7
3332, 19, 103sstr4g 3540 . . . . . 6
3425, 33fssresd 5758 . . . . 5
35 fvres 5886 . . . . . . 7
3635ad2antrl 727 . . . . . 6
3736fveq1d 5874 . . . . 5
3819, 18, 34, 37, 27, 28, 29ulm2 22906 . . . 4
3923, 30, 383bitr4d 285 . . 3
4039ex 434 . 2
414, 8, 40pm5.21ndd 354 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808  cvv 3109   wss 3471   class class class wbr 4456   cres 5010  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmap 7438  cc 9507   clt 9645   cmin 9824  cz 10885  cuz 11106  crp 11245  cabs 13079  culm 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-neg 9827  df-z 10886  df-uz 11107  df-ulm 22898 This theorem is referenced by:  pserdvlem2  22949
 Copyright terms: Public domain W3C validator