MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdv Structured version   Unicode version

Theorem ulmdv 22665
Description: If  F is a sequence of differentiable functions on  X which converge pointwise to  G, and the derivatives of 
F ( n ) converge uniformly to  H, then  G is differentiable with derivative  H. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmdv.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
ulmdv.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmdv.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  X ) )
ulmdv.g  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
ulmdv.l  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
k  e.  Z  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  ~~>  ( G `  z ) )
ulmdv.u  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( S  _D  ( F `  k )
) ) ( ~~> u `  X ) H )
Assertion
Ref Expression
ulmdv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  =  H )
Distinct variable groups:    z, k, F    z, G    z, H    k, M    ph, k, z    S, k, z    k, X, z   
k, Z, z
Allowed substitution hints:    G( k)    H( k)    M( z)

Proof of Theorem ulmdv
StepHypRef Expression
1 ulmdv.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvfg 22178 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G
) --> CC )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
) : dom  ( S  _D  G ) --> CC )
4 recnprss 22176 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
51, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 ulmdv.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
7 ulmdv.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
8 uzid 11108 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
10 ulmdv.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
119, 10syl6eleqr 2566 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
12 ulmdv.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  X ) )
13 ulmdv.l . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
k  e.  Z  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  ~~>  ( G `  z ) )
14 ulmdv.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( S  _D  ( F `  k )
) ) ( ~~> u `  X ) H )
1510, 1, 7, 12, 6, 13, 14ulmdvlem2 22663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  dom  ( S  _D  ( F `  k )
)  =  X )
16 dvbsss 22174 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( S  _D  ( F `  k ) )  C_  S
1715, 16syl6eqssr 3560 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  X  C_  S )
1817ralrimiva 2881 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  X  C_  S )
19 biidd 237 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( X  C_  S  <->  X  C_  S
) )
2019rspcv 3215 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  X  C_  S  ->  X  C_  S ) )
2111, 18, 20sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
225, 6, 21dvbss 22173 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  G )  C_  X
)
2310, 1, 7, 12, 6, 13, 14ulmdvlem3 22664 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z
( S  _D  G
) ( H `  z ) )
24 vex 3121 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
25 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( H `
 z )  e. 
_V
2624, 25breldm 5213 . . . . . . . . 9  |-  ( z ( S  _D  G
) ( H `  z )  ->  z  e.  dom  ( S  _D  G ) )
2723, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  dom  ( S  _D  G ) )
2827ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  ->  z  e.  dom  ( S  _D  G ) ) )
2928ssrdv 3515 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  dom  ( S  _D  G ) )
3022, 29eqssd 3526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  G )  =  X )
3130feq2d 5724 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G
) --> CC  <->  ( S  _D  G ) : X --> CC ) )
323, 31mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
) : X --> CC )
33 ffn 5737 . . 3  |-  ( ( S  _D  G ) : X --> CC  ->  ( S  _D  G )  Fn  X )
3432, 33syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  Fn  X )
35 ulmcl 22643 . . . 4  |-  ( ( k  e.  Z  |->  ( S  _D  ( F `
 k ) ) ) ( ~~> u `  X ) H  ->  H : X --> CC )
3614, 35syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  H : X --> CC )
37 ffn 5737 . . 3  |-  ( H : X --> CC  ->  H  Fn  X )
3836, 37syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  H  Fn  X )
39 ffun 5739 . . . . 5  |-  ( ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  G ) )
403, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  ( S  _D  G ) )
4140adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  Fun  ( S  _D  G
) )
42 funbrfv 5912 . . 3  |-  ( Fun  ( S  _D  G
)  ->  ( z
( S  _D  G
) ( H `  z )  ->  (
( S  _D  G
) `  z )  =  ( H `  z ) ) )
4341, 23, 42sylc 60 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( S  _D  G
) `  z )  =  ( H `  z ) )
4434, 38, 43eqfnfvd 5985 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  =  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817    C_ wss 3481   {cpr 4035   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   CCcc 9502   RRcr 9503   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094    ~~> cli 13287    _D cdv 22135   ~~> uculm 22638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-ulm 22639
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  22690
  Copyright terms: Public domain W3C validator