MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdv Structured version   Unicode version

Theorem ulmdv 21827
Description: If  F is a sequence of differentiable functions on  X which converge pointwise to  G, and the derivatives of 
F ( n ) converge uniformly to  H, then  G is differentiable with derivative  H. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmdv.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
ulmdv.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmdv.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  X ) )
ulmdv.g  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
ulmdv.l  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
k  e.  Z  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  ~~>  ( G `  z ) )
ulmdv.u  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( S  _D  ( F `  k )
) ) ( ~~> u `  X ) H )
Assertion
Ref Expression
ulmdv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  =  H )
Distinct variable groups:    z, k, F    z, G    z, H    k, M    ph, k, z    S, k, z    k, X, z   
k, Z, z
Allowed substitution hints:    G( k)    H( k)    M( z)

Proof of Theorem ulmdv
StepHypRef Expression
1 ulmdv.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvfg 21340 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G
) --> CC )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
) : dom  ( S  _D  G ) --> CC )
4 recnprss 21338 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
51, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 ulmdv.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
7 ulmdv.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
8 uzid 10871 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
10 ulmdv.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
119, 10syl6eleqr 2532 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
12 ulmdv.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  X ) )
13 ulmdv.l . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
k  e.  Z  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  ~~>  ( G `  z ) )
14 ulmdv.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( S  _D  ( F `  k )
) ) ( ~~> u `  X ) H )
1510, 1, 7, 12, 6, 13, 14ulmdvlem2 21825 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  dom  ( S  _D  ( F `  k )
)  =  X )
16 dvbsss 21336 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( S  _D  ( F `  k ) )  C_  S
1715, 16syl6eqssr 3404 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  X  C_  S )
1817ralrimiva 2797 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  X  C_  S )
19 biidd 237 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( X  C_  S  <->  X  C_  S
) )
2019rspcv 3066 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  X  C_  S  ->  X  C_  S ) )
2111, 18, 20sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
225, 6, 21dvbss 21335 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  G )  C_  X
)
2310, 1, 7, 12, 6, 13, 14ulmdvlem3 21826 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z
( S  _D  G
) ( H `  z ) )
24 vex 2973 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
25 fvex 5698 . . . . . . . . . 10  |-  ( H `
 z )  e. 
_V
2624, 25breldm 5040 . . . . . . . . 9  |-  ( z ( S  _D  G
) ( H `  z )  ->  z  e.  dom  ( S  _D  G ) )
2723, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  dom  ( S  _D  G ) )
2827ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  ->  z  e.  dom  ( S  _D  G ) ) )
2928ssrdv 3359 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  dom  ( S  _D  G ) )
3022, 29eqssd 3370 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  G )  =  X )
3130feq2d 5544 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G
) --> CC  <->  ( S  _D  G ) : X --> CC ) )
323, 31mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
) : X --> CC )
33 ffn 5556 . . 3  |-  ( ( S  _D  G ) : X --> CC  ->  ( S  _D  G )  Fn  X )
3432, 33syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  Fn  X )
35 ulmcl 21805 . . . 4  |-  ( ( k  e.  Z  |->  ( S  _D  ( F `
 k ) ) ) ( ~~> u `  X ) H  ->  H : X --> CC )
3614, 35syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  H : X --> CC )
37 ffn 5556 . . 3  |-  ( H : X --> CC  ->  H  Fn  X )
3836, 37syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  H  Fn  X )
39 ffun 5558 . . . . 5  |-  ( ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  G ) )
403, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  ( S  _D  G ) )
4140adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  Fun  ( S  _D  G
) )
42 funbrfv 5727 . . 3  |-  ( Fun  ( S  _D  G
)  ->  ( z
( S  _D  G
) ( H `  z )  ->  (
( S  _D  G
) `  z )  =  ( H `  z ) ) )
4341, 23, 42sylc 60 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( S  _D  G
) `  z )  =  ( H `  z ) )
4434, 38, 43eqfnfvd 5797 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  =  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713    C_ wss 3325   {cpr 3876   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   CCcc 9276   RRcr 9277   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857    ~~> cli 12958    _D cdv 21297   ~~> uculm 21800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-ulm 21801
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  21852
  Copyright terms: Public domain W3C validator