MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdv Structured version   Unicode version

Theorem ulmdv 22924
Description: If  F is a sequence of differentiable functions on  X which converge pointwise to  G, and the derivatives of 
F ( n ) converge uniformly to  H, then  G is differentiable with derivative  H. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmdv.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
ulmdv.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmdv.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  X ) )
ulmdv.g  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
ulmdv.l  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
k  e.  Z  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  ~~>  ( G `  z ) )
ulmdv.u  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( S  _D  ( F `  k )
) ) ( ~~> u `  X ) H )
Assertion
Ref Expression
ulmdv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  =  H )
Distinct variable groups:    z, k, F    z, G    z, H    k, M    ph, k, z    S, k, z    k, X, z   
k, Z, z
Allowed substitution hints:    G( k)    H( k)    M( z)

Proof of Theorem ulmdv
StepHypRef Expression
1 ulmdv.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvfg 22436 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G
) --> CC )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
) : dom  ( S  _D  G ) --> CC )
4 recnprss 22434 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
51, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 ulmdv.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
7 ulmdv.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
8 uzid 11120 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
10 ulmdv.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
119, 10syl6eleqr 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
12 ulmdv.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  X ) )
13 ulmdv.l . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
k  e.  Z  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  ~~>  ( G `  z ) )
14 ulmdv.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( S  _D  ( F `  k )
) ) ( ~~> u `  X ) H )
1510, 1, 7, 12, 6, 13, 14ulmdvlem2 22922 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  dom  ( S  _D  ( F `  k )
)  =  X )
16 dvbsss 22432 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( S  _D  ( F `  k ) )  C_  S
1715, 16syl6eqssr 3550 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  X  C_  S )
1817ralrimiva 2871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  X  C_  S )
19 biidd 237 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( X  C_  S  <->  X  C_  S
) )
2019rspcv 3206 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  X  C_  S  ->  X  C_  S ) )
2111, 18, 20sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
225, 6, 21dvbss 22431 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  G )  C_  X
)
2310, 1, 7, 12, 6, 13, 14ulmdvlem3 22923 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z
( S  _D  G
) ( H `  z ) )
24 vex 3112 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
25 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( H `
 z )  e. 
_V
2624, 25breldm 5217 . . . . . . . . 9  |-  ( z ( S  _D  G
) ( H `  z )  ->  z  e.  dom  ( S  _D  G ) )
2723, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  dom  ( S  _D  G ) )
2827ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  ->  z  e.  dom  ( S  _D  G ) ) )
2928ssrdv 3505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  dom  ( S  _D  G ) )
3022, 29eqssd 3516 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  G )  =  X )
3130feq2d 5724 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G
) --> CC  <->  ( S  _D  G ) : X --> CC ) )
323, 31mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
) : X --> CC )
33 ffn 5737 . . 3  |-  ( ( S  _D  G ) : X --> CC  ->  ( S  _D  G )  Fn  X )
3432, 33syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  Fn  X )
35 ulmcl 22902 . . . 4  |-  ( ( k  e.  Z  |->  ( S  _D  ( F `
 k ) ) ) ( ~~> u `  X ) H  ->  H : X --> CC )
3614, 35syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  H : X --> CC )
37 ffn 5737 . . 3  |-  ( H : X --> CC  ->  H  Fn  X )
3836, 37syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  H  Fn  X )
39 ffun 5739 . . . . 5  |-  ( ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  G ) )
403, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  ( S  _D  G ) )
4140adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  Fun  ( S  _D  G
) )
42 funbrfv 5911 . . 3  |-  ( Fun  ( S  _D  G
)  ->  ( z
( S  _D  G
) ( H `  z )  ->  (
( S  _D  G
) `  z )  =  ( H `  z ) ) )
4341, 23, 42sylc 60 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( S  _D  G
) `  z )  =  ( H `  z ) )
4434, 38, 43eqfnfvd 5985 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  =  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807    C_ wss 3471   {cpr 4034   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   CCcc 9507   RRcr 9508   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106    ~~> cli 13319    _D cdv 22393   ~~> uculm 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-ulm 22898
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  22949
  Copyright terms: Public domain W3C validator