Theorem ulmcaulem 21881

Description: Lemma for ulmcau 21882 and ulmcau2 21883: show the equivalence of the four- and five-quantifier forms of the Cauchy convergence condition. Compare cau3 12864. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmcau.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
ulmcau.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
ulmcau.s	|- ( ph -> S e. V )
ulmcau.f	|- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )

Assertion

Ref	Expression
ulmcaulem	|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )

Distinct variable groups:   j, k, m, x, z, F   ph, j, k, m, x, z   S, j, k, m, x, z   j, Z, k, m, x, z   j, M, k, z

Allowed substitution hints:   M( x, m)   V( x, z, j, k, m)

Proof of Theorem ulmcaulem

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4317	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w ) )
2	1	ralbidv 2756	. . . . 5 |- ( x = w -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w ) )
3	2	rexralbidv 2780	. . . 4 |- ( x = w -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w ) )
4	3	cbvralv 2968	. . 3 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w )
5		rphalfcl 11036	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR+ )
6		breq2 4317	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
7	6	ralbidv 2756	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x / 2 ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
8	7	rexralbidv 2780	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x / 2 ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
9	8	rspcv 3090	. . . . . . 7 |- ( ( x / 2 ) e. RR+ -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
10	5, 9	syl 16	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
11	10	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
12		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
13	12	fveq1d 5714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
14	13	oveq1d 6127	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = m -> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) = ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) )
15	14	fveq2d 5716	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) )
16	15	breq1d 4323	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
17	16	ralbidv 2756	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
18	17	cbvralv 2968	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) )
19	18	biimpi 194	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) )
20		uzss 10902	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) )
21	20	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) )
22		ssralv 3437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
24		r19.26 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
25		ulmcau.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
27	26	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
28		ulmcau.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- Z = ( ZZ>= ` M )
29	28	uztrn2 10899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
30	29	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
31	28	uztrn2 10899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( k e. Z /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> m e. Z )
32	30, 31	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> m e. Z )
33	27, 32	ffvelrnd 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` m ) e. ( CC ^m S ) )
34		elmapi 7255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` m ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` m ) : S --> CC )
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` m ) : S --> CC )
36	35	ffvelrnda 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` m ) ` z ) e. CC )
37	26	ffvelrnda 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
38	37	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
39		elmapi 7255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
41	40	ffvelrnda 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` j ) ` z ) e. CC )
42	36, 41	abssubd 12960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) )
43	42	breq1d 4323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
44	43	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
45		ffvelrn 5862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F : Z --> ( CC ^m S ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
46	26, 29, 45	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
47	46	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
48	47	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
49		elmapi 7255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
51	50	ffvelrnda 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
52		rpre 11018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
53	52	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> x e. RR )
54	53	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> x e. RR )
55		abs3lem 12847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( F ` k ) ` z ) e. CC /\ ( ( F ` m ) ` z ) e. CC ) /\ ( ( ( F ` j ) ` z ) e. CC /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
56	51, 36, 41, 54, 55	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
57	44, 56	sylan2d 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
58	57	ralimdva 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
59	24, 58	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
60	59	expdimp 437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
61	60	an32s 802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
62	61	ralimdva 2815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
63	23, 62	syld 44	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
64	63	impancom 440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
65	64	an32s 802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
66	65	ralimdva 2815	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
67	66	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) ) )
68	67	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) ) )
69	19, 68	mpdi 42	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
70	69	reximdva 2849	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
71	11, 70	syld 44	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
72	71	ralrimdva 2827	. . 3 |- ( ph -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
73	4, 72	syl5bi 217	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
74		eluzelz 10891	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
75	74, 28	eleq2s 2535	. . . . . . . 8 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
76		uzid 10896	. . . . . . . 8 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
77	75, 76	syl 16	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
78	77	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
79		fveq2 5712	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` j ) )
80		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
81	80	fveq1d 5714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` j ) ` z ) )
82	81	oveq1d 6127	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) = ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) )
83	82	fveq2d 5716	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) )
84	83	breq1d 4323	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
85	84	ralbidv 2756	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
86	79, 85	raleqbidv 2952	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
87	86	rspcv 3090	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
88	78, 87	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
89		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
90	89	fveq1d 5714	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
91	90	oveq2d 6128	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) = ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) )
92	91	fveq2d 5716	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) )
93	92	breq1d 4323	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x ) )
94	93	ralbidv 2756	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x ) )
95	94	cbvralv 2968	. . . . . 6 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x )
96	25	ffvelrnda 5864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
97	96	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
98	97, 39	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
99	98	ffvelrnda 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` j ) ` z ) e. CC )
100	25, 29, 45	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
101	100	anassrs 648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
102	101, 49	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
103	102	ffvelrnda 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
104	99, 103	abssubd 12960	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) )
105	104	breq1d 4323	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
106	105	ralbidva 2752	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
107	106	ralbidva 2752	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
108	95, 107	syl5bb 257	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
109	88, 108	sylibd 214	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
110	109	reximdva 2849	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
111	110	ralimdv 2816	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
112	73, 111	impbid 191	1 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   C_ wss 3349   class class class wbr 4313   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   ^m cmap 7235   CCcc 9301   RRcr 9302   < clt 9439   - cmin 9616   / cdiv 10014   2c2 10392   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   RR+crp 11012   abscabs 12744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746

This theorem is referenced by:  ulmcau  21882  ulmcau2  21883