Theorem ulmcaulem 23349

Description: Lemma for ulmcau 23350 and ulmcau2 23351: show the equivalence of the four- and five-quantifier forms of the Cauchy convergence condition. Compare cau3 13418. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmcau.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
ulmcau.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
ulmcau.s	|- ( ph -> S e. V )
ulmcau.f	|- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )

Assertion

Ref	Expression
ulmcaulem	|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )

Distinct variable groups:   j, k, m, x, z, F   ph, j, k, m, x, z   S, j, k, m, x, z   j, Z, k, m, x, z   j, M, k, z

Allowed substitution hints:   M( x, m)   V( x, z, j, k, m)

Proof of Theorem ulmcaulem

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4406	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w ) )
2	1	ralbidv 2827	. . . . 5 |- ( x = w -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w ) )
3	2	rexralbidv 2909	. . . 4 |- ( x = w -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w ) )
4	3	cbvralv 3019	. . 3 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w )
5		rphalfcl 11327	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR+ )
6		breq2 4406	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
7	6	ralbidv 2827	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x / 2 ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
8	7	rexralbidv 2909	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x / 2 ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
9	8	rspcv 3146	. . . . . . 7 |- ( ( x / 2 ) e. RR+ -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
10	5, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
11	10	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
12		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
13	12	fveq1d 5867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
14	13	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = m -> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) = ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) )
15	14	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) )
16	15	breq1d 4412	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
17	16	ralbidv 2827	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
18	17	cbvralv 3019	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) )
19	18	biimpi 198	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) )
20		uzss 11179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) )
21	20	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) )
22		ssralv 3493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
24		r19.26 2917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
25		ulmcau.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
26	25	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
27	26	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
28		ulmcau.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- Z = ( ZZ>= ` M )
29	28	uztrn2 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
30	29	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
31	28	uztrn2 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( k e. Z /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> m e. Z )
32	30, 31	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> m e. Z )
33	27, 32	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` m ) e. ( CC ^m S ) )
34		elmapi 7493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` m ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` m ) : S --> CC )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` m ) : S --> CC )
36	35	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` m ) ` z ) e. CC )
37	26	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
38	37	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
39		elmapi 7493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
41	40	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` j ) ` z ) e. CC )
42	36, 41	abssubd 13515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) )
43	42	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
44	43	biimpd 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
45		ffvelrn 6020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F : Z --> ( CC ^m S ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
46	26, 29, 45	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
47	46	anassrs 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
48	47	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
49		elmapi 7493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
51	50	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
52		rpre 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
53	52	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> x e. RR )
54	53	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> x e. RR )
55		abs3lem 13401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( F ` k ) ` z ) e. CC /\ ( ( F ` m ) ` z ) e. CC ) /\ ( ( ( F ` j ) ` z ) e. CC /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
56	51, 36, 41, 54, 55	syl22anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
57	44, 56	sylan2d 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
58	57	ralimdva 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
59	24, 58	syl5bir 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
60	59	expdimp 439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
61	60	an32s 813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
62	61	ralimdva 2796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
63	23, 62	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
64	63	impancom 442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
65	64	an32s 813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
66	65	ralimdva 2796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
67	66	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) ) )
68	67	com23 81	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) ) )
69	19, 68	mpdi 43	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
70	69	reximdva 2862	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
71	11, 70	syld 45	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
72	71	ralrimdva 2806	. . 3 |- ( ph -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
73	4, 72	syl5bi 221	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
74		eluzelz 11168	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
75	74, 28	eleq2s 2547	. . . . . . . 8 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
76		uzid 11173	. . . . . . . 8 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
78	77	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
79		fveq2 5865	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` j ) )
80		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
81	80	fveq1d 5867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` j ) ` z ) )
82	81	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) = ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) )
83	82	fveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) )
84	83	breq1d 4412	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
85	84	ralbidv 2827	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
86	79, 85	raleqbidv 3001	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
87	86	rspcv 3146	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
88	78, 87	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
89		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
90	89	fveq1d 5867	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
91	90	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) = ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) )
92	91	fveq2d 5869	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) )
93	92	breq1d 4412	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x ) )
94	93	ralbidv 2827	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x ) )
95	94	cbvralv 3019	. . . . . 6 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x )
96	25	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
97	96	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
98	97, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
99	98	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` j ) ` z ) e. CC )
100	25, 29, 45	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
101	100	anassrs 654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
102	101, 49	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
103	102	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
104	99, 103	abssubd 13515	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) )
105	104	breq1d 4412	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
106	105	ralbidva 2824	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
107	106	ralbidva 2824	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
108	95, 107	syl5bb 261	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
109	88, 108	sylibd 218	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
110	109	reximdva 2862	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
111	110	ralimdv 2798	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
112	73, 111	impbid 194	1 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   C_ wss 3404   class class class wbr 4402   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ^m cmap 7472   CCcc 9537   RRcr 9538   < clt 9675   - cmin 9860   / cdiv 10269   2c2 10659   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   abscabs 13297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299

This theorem is referenced by:  ulmcau  23350  ulmcau2  23351