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Theorem ulmcaulem 23428
Description: Lemma for ulmcau 23429 and ulmcau2 23430: show the equivalence of the four- and five-quantifier forms of the Cauchy convergence condition. Compare cau3 13495. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcau.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmcau.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmcau.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
ulmcau.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
Assertion
Ref Expression
ulmcaulem  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
Distinct variable groups:    j, k, m, x, z, F    ph, j,
k, m, x, z    S, j, k, m, x, z    j, Z, k, m, x, z    j, M, k, z
Allowed substitution hints:    M( x, m)    V( x, z, j, k, m)

Proof of Theorem ulmcaulem
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  w
) )
21ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  w
) )
32rexralbidv 2898 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
w ) )
43cbvralv 3005 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x  <->  A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w )
5 rphalfcl 11350 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
6 breq2 4399 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
76ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  / 
2 )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
87rexralbidv 2898 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  / 
2 )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
w  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) ) )
98rspcv 3132 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
105, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
1110adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
12 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
1312fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 m ) `  z ) )
1413oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) )  =  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )
1514fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) ) )
1615breq1d 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
1716ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 )  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
1817cbvralv 3005 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  <->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) )
1918biimpi 199 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) )
20 uzss 11203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
2120ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
22 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>= `  j )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) ) )
24 r19.26 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  S  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  <->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
25 ulmcau.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
2625adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  F : Z
--> ( CC  ^m  S
) )
2726ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  F : Z
--> ( CC  ^m  S
) )
28 ulmcau.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2928uztrn2 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
3029adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  k  e.  Z
)
3128uztrn2 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  Z  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k ) )  ->  m  e.  Z )
3230, 31sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  m  e.  Z )
3327, 32ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  m )  e.  ( CC  ^m  S ) )
34 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  m )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  m ) : S --> CC )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  m ) : S --> CC )
3635ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  m
) `  z )  e.  CC )
3726ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S
) )
3837ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S ) )
39 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
4140ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  j
) `  z )  e.  CC )
4236, 41abssubd 13592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) ) )
4342breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
4443biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  -> 
( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
45 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
4626, 29, 45syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S ) )
4746anassrs 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S ) )
4847adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S ) )
49 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
5150ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
52 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
5352ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  x  e.  RR )
5453ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  x  e.  RR )
55 abs3lem 13478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC  /\  ( ( F `  m ) `  z
)  e.  CC )  /\  ( ( ( F `  j ) `
 z )  e.  CC  /\  x  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x ) )
5651, 36, 41, 54, 55syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  j
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x ) )
5744, 56sylan2d 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x ) )
5857ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( A. z  e.  S  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
5924, 58syl5bir 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 )  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
6059expdimp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
6160an32s 821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
6261ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6323, 62syld 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6463impancom 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( A. z  e.  S  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6564an32s 821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( A. z  e.  S  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6665ralimdva 2805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6766ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) ) )
6867com23 80 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) ) )
6919, 68mpdi 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
7069reximdva 2858 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
7111, 70syld 44 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
7271ralrimdva 2812 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
w  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
734, 72syl5bi 225 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
74 eluzelz 11192 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
7574, 28eleq2s 2567 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
76 uzid 11197 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
7775, 76syl 17 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
7877adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
79 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( ZZ>=
`  k )  =  ( ZZ>= `  j )
)
80 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
8180fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 j ) `  z ) )
8281oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) )  =  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )
8382fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) ) )
8483breq1d 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
8584ralbidv 2829 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
8679, 85raleqbidv 2987 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
8786rspcv 3132 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
8878, 87syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
89 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
9089fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  m
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  z ) )
9190oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) )  =  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  k ) `  z
) ) )
9291fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) ) )
9392breq1d 4405 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  (
( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) )  <  x
) )
9493ralbidv 2829 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) )  <  x
) )
9594cbvralv 3005 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) )  <  x
)
9625ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S
) )
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S ) )
9897, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
9998ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( F `  j ) `  z )  e.  CC )
10025, 29, 45syl2an 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
101100anassrs 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S ) )
102101, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
103102ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( F `  k ) `  z )  e.  CC )
10499, 103abssubd 13592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) ) )
105104breq1d 4405 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  k ) `  z
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  x ) )
106105ralbidva 2828 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  k ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x ) )
107106ralbidva 2828 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  k ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x ) )
10895, 107syl5bb 265 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x ) )
10988, 108sylibd 222 . . . 4  |-  ( (
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`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x ) )
110109reximdva 2858 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x ) )
111110ralimdv 2806 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  x
) )
11273, 111impbid 195 1  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
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 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   class class class wbr 4395   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   CCcc 9555   RRcr 9556    < clt 9693    - cmin 9880    / cdiv 10291   2c2 10681   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   abscabs 13374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376
This theorem is referenced by:  ulmcau  23429  ulmcau2  23430
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