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Theorem ulmcaulem 20263
Description: Lemma for ulmcau 20264 and ulmcau2 20265: show the equivalence of the four- and five-quantifier forms of the Cauchy convergence condition. Compare cau3 12114. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcau.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmcau.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmcau.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
ulmcau.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
Assertion
Ref Expression
ulmcaulem  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
Distinct variable groups:    j, k, m, x, z, F    ph, j,
k, m, x, z    S, j, k, m, x, z    j, Z, k, m, x, z    j, M, k, z
Allowed substitution hints:    M( x, m)    V( x, z, j, k, m)

Proof of Theorem ulmcaulem
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4176 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  w
) )
21ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  w
) )
32rexralbidv 2710 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
w ) )
43cbvralv 2892 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x  <->  A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w )
5 rphalfcl 10592 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
6 breq2 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
76ralbidv 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  / 
2 )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
87rexralbidv 2710 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  / 
2 )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
w  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) ) )
98rspcv 3008 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
105, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
1110adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
12 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
1312fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 m ) `  z ) )
1413oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) )  =  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )
1514fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) ) )
1615breq1d 4182 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
1716ralbidv 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 )  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
1817cbvralv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  <->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) )
1918biimpi 187 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) )
20 uzss 10462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
2120ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
22 ssralv 3367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>= `  j )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) ) )
24 r19.26 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  S  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  <->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
25 ulmcau.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
2625adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  F : Z
--> ( CC  ^m  S
) )
2726ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  F : Z
--> ( CC  ^m  S
) )
28 ulmcau.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2928uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
3029adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  k  e.  Z
)
3128uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  Z  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k ) )  ->  m  e.  Z )
3230, 31sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  m  e.  Z )
3327, 32ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  m )  e.  ( CC  ^m  S ) )
34 elmapi 6997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  m )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  m ) : S --> CC )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  m ) : S --> CC )
3635ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  m
) `  z )  e.  CC )
3726ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S
) )
3837ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S ) )
39 elmapi 6997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
4140ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  j
) `  z )  e.  CC )
4236, 41abssubd 12210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) ) )
4342breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
4443biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  -> 
( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
45 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
4626, 29, 45syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S ) )
4746anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S ) )
4847adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S ) )
49 elmapi 6997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
5150ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
52 rpre 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
5352ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  x  e.  RR )
5453ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  x  e.  RR )
55 abs3lem 12097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC  /\  ( ( F `  m ) `  z
)  e.  CC )  /\  ( ( ( F `  j ) `
 z )  e.  CC  /\  x  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x ) )
5651, 36, 41, 54, 55syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  j
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x ) )
5744, 56sylan2d 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x ) )
5857ralimdva 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( A. z  e.  S  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
5924, 58syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 )  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
6059expdimp 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
6160an32s 780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
6261ralimdva 2744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6323, 62syld 42 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6463impancom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( A. z  e.  S  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6564an32s 780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( A. z  e.  S  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6665ralimdva 2744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6766ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) ) )
6867com23 74 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) ) )
6919, 68mpdi 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
7069reximdva 2778 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
7111, 70syld 42 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
7271ralrimdva 2756 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
w  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
734, 72syl5bi 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
74 eluzelz 10452 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
7574, 28eleq2s 2496 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
76 uzid 10456 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
7775, 76syl 16 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
7877adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
79 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( ZZ>=
`  k )  =  ( ZZ>= `  j )
)
80 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
8180fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 j ) `  z ) )
8281oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) )  =  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )
8382fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) ) )
8483breq1d 4182 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
8584ralbidv 2686 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
8679, 85raleqbidv 2876 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
8786rspcv 3008 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
8878, 87syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
89 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
9089fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  m
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  z ) )
9190oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) )  =  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  k ) `  z
) ) )
9291fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) ) )
9392breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  (
( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) )  <  x
) )
9493ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) )  <  x
) )
9594cbvralv 2892 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) )  <  x
)
9625ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S
) )
9796adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S ) )
9897, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
9998ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( F `  j ) `  z )  e.  CC )
10025, 29, 45syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
101100anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S ) )
102101, 49syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
103102ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( F `  k ) `  z )  e.  CC )
10499, 103abssubd 12210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) ) )
105104breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  k ) `  z
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  x ) )
106105ralbidva 2682 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
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 z )  -  ( ( F `  k ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x ) )
107106ralbidva 2682 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  k ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x ) )
10895, 107syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x ) )
10988, 108sylibd 206 . . . 4  |-  ( (
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 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
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x ) )
110109reximdva 2778 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x ) )
111110ralimdv 2745 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
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( F `  j
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) )  <  x
) )
11273, 111impbid 184 1  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
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x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
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 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   CCcc 8944   RRcr 8945    < clt 9076    - cmin 9247    / cdiv 9633   2c2 10005   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   abscabs 11994
This theorem is referenced by:  ulmcau  20264  ulmcau2  20265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996
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