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Theorem ulmcaulem 23222
Description: Lemma for ulmcau 23223 and ulmcau2 23224: show the equivalence of the four- and five-quantifier forms of the Cauchy convergence condition. Compare cau3 13397. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcau.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmcau.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmcau.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
ulmcau.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
Assertion
Ref Expression
ulmcaulem  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
Distinct variable groups:    j, k, m, x, z, F    ph, j,
k, m, x, z    S, j, k, m, x, z    j, Z, k, m, x, z    j, M, k, z
Allowed substitution hints:    M( x, m)    V( x, z, j, k, m)

Proof of Theorem ulmcaulem
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4430 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  w
) )
21ralbidv 2871 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  w
) )
32rexralbidv 2954 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
w ) )
43cbvralv 3062 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x  <->  A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w )
5 rphalfcl 11327 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
6 breq2 4430 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
76ralbidv 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  / 
2 )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
87rexralbidv 2954 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  / 
2 )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
w  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) ) )
98rspcv 3184 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
105, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
1110adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
12 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
1312fveq1d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 m ) `  z ) )
1413oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) )  =  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )
1514fveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) ) )
1615breq1d 4436 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
1716ralbidv 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 )  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
1817cbvralv 3062 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  <->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) )
1918biimpi 197 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) )
20 uzss 11179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
2120ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
22 ssralv 3531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>= `  j )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) ) )
24 r19.26 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  S  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  <->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
25 ulmcau.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
2625adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  F : Z
--> ( CC  ^m  S
) )
2726ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  F : Z
--> ( CC  ^m  S
) )
28 ulmcau.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2928uztrn2 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
3029adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  k  e.  Z
)
3128uztrn2 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  Z  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k ) )  ->  m  e.  Z )
3230, 31sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  m  e.  Z )
3327, 32ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  m )  e.  ( CC  ^m  S ) )
34 elmapi 7501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  m )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  m ) : S --> CC )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  m ) : S --> CC )
3635ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  m
) `  z )  e.  CC )
3726ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S
) )
3837ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S ) )
39 elmapi 7501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
4140ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  j
) `  z )  e.  CC )
4236, 41abssubd 13493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) ) )
4342breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
4443biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  -> 
( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
45 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
4626, 29, 45syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S ) )
4746anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S ) )
4847adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S ) )
49 elmapi 7501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
5150ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
52 rpre 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
5352ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  x  e.  RR )
5453ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  x  e.  RR )
55 abs3lem 13380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC  /\  ( ( F `  m ) `  z
)  e.  CC )  /\  ( ( ( F `  j ) `
 z )  e.  CC  /\  x  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x ) )
5651, 36, 41, 54, 55syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  j
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x ) )
5744, 56sylan2d 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x ) )
5857ralimdva 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( A. z  e.  S  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
5924, 58syl5bir 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 )  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
6059expdimp 438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
6160an32s 811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
6261ralimdva 2840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6323, 62syld 45 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6463impancom 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( A. z  e.  S  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6564an32s 811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( A. z  e.  S  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6665ralimdva 2840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6766ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) ) )
6867com23 81 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) ) )
6919, 68mpdi 43 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
7069reximdva 2907 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
7111, 70syld 45 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
7271ralrimdva 2850 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
w  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
734, 72syl5bi 220 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
74 eluzelz 11168 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
7574, 28eleq2s 2537 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
76 uzid 11173 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
7775, 76syl 17 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
7877adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
79 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( ZZ>=
`  k )  =  ( ZZ>= `  j )
)
80 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
8180fveq1d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 j ) `  z ) )
8281oveq1d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) )  =  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )
8382fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) ) )
8483breq1d 4436 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
8584ralbidv 2871 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
8679, 85raleqbidv 3046 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
8786rspcv 3184 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
8878, 87syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
89 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
9089fveq1d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  m
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  z ) )
9190oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) )  =  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  k ) `  z
) ) )
9291fveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) ) )
9392breq1d 4436 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  (
( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) )  <  x
) )
9493ralbidv 2871 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) )  <  x
) )
9594cbvralv 3062 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) )  <  x
)
9625ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S
) )
9796adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S ) )
9897, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
9998ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( F `  j ) `  z )  e.  CC )
10025, 29, 45syl2an 479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
101100anassrs 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S ) )
102101, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
103102ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( F `  k ) `  z )  e.  CC )
10499, 103abssubd 13493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) ) )
105104breq1d 4436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  k ) `  z
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  x ) )
106105ralbidva 2868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  k ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x ) )
107106ralbidva 2868 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  k ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x ) )
10895, 107syl5bb 260 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x ) )
10988, 108sylibd 217 . . . 4  |-  ( (
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`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x ) )
110109reximdva 2907 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x ) )
111110ralimdv 2842 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  x
) )
11273, 111impbid 193 1  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
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 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   class class class wbr 4426   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480   CCcc 9536   RRcr 9537    < clt 9674    - cmin 9859    / cdiv 10268   2c2 10659   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   abscabs 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278
This theorem is referenced by:  ulmcau  23223  ulmcau2  23224
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