Theorem ulmcaulem 23222

Description: Lemma for ulmcau 23223 and ulmcau2 23224: show the equivalence of the four- and five-quantifier forms of the Cauchy convergence condition. Compare cau3 13397. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmcau.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
ulmcau.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
ulmcau.s	|- ( ph -> S e. V )
ulmcau.f	|- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )

Assertion

Ref	Expression
ulmcaulem	|- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )

Distinct variable groups:   j, k, m, x, z, F   ph, j, k, m, x, z   S, j, k, m, x, z   j, Z, k, m, x, z   j, M, k, z

Allowed substitution hints:   M( x, m)   V( x, z, j, k, m)

Proof of Theorem ulmcaulem

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4430	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w ) )
2	1	ralbidv 2871	. . . . 5 |- ( x = w -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w ) )
3	2	rexralbidv 2954	. . . 4 |- ( x = w -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w ) )
4	3	cbvralv 3062	. . 3 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w )
5		rphalfcl 11327	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR+ )
6		breq2 4430	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
7	6	ralbidv 2871	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x / 2 ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
8	7	rexralbidv 2954	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x / 2 ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
9	8	rspcv 3184	. . . . . . 7 |- ( ( x / 2 ) e. RR+ -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
10	5, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
11	10	adantl 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
12		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
13	12	fveq1d 5883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
14	13	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = m -> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) = ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) )
15	14	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) )
16	15	breq1d 4436	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
17	16	ralbidv 2871	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
18	17	cbvralv 3062	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) )
19	18	biimpi 197	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) )
20		uzss 11179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) )
21	20	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) )
22		ssralv 3531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` j ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
24		r19.26 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
25		ulmcau.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
26	25	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
27	26	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
28		ulmcau.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- Z = ( ZZ>= ` M )
29	28	uztrn2 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
30	29	adantll 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
31	28	uztrn2 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( k e. Z /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> m e. Z )
32	30, 31	sylan 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> m e. Z )
33	27, 32	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` m ) e. ( CC ^m S ) )
34		elmapi 7501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` m ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` m ) : S --> CC )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` m ) : S --> CC )
36	35	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` m ) ` z ) e. CC )
37	26	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
38	37	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
39		elmapi 7501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
41	40	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` j ) ` z ) e. CC )
42	36, 41	abssubd 13493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) )
43	42	breq1d 4436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
44	43	biimpd 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
45		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F : Z --> ( CC ^m S ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
46	26, 29, 45	syl2an 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
47	46	anassrs 652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
48	47	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
49		elmapi 7501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
51	50	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
52		rpre 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
53	52	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> x e. RR )
54	53	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> x e. RR )
55		abs3lem 13380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( F ` k ) ` z ) e. CC /\ ( ( F ` m ) ` z ) e. CC ) /\ ( ( ( F ` j ) ` z ) e. CC /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
56	51, 36, 41, 54, 55	syl22anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
57	44, 56	sylan2d 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
58	57	ralimdva 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
59	24, 58	syl5bir 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
60	59	expdimp 438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
61	60	an32s 811	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
62	61	ralimdva 2840	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
63	23, 62	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
64	63	impancom 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
65	64	an32s 811	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
66	65	ralimdva 2840	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
67	66	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) ) )
68	67	com23 81	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) ) )
69	19, 68	mpdi 43	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
70	69	reximdva 2907	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < ( x / 2 ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
71	11, 70	syld 45	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
72	71	ralrimdva 2850	. . 3 |- ( ph -> ( A. w e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < w -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
73	4, 72	syl5bi 220	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
74		eluzelz 11168	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
75	74, 28	eleq2s 2537	. . . . . . . 8 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
76		uzid 11173	. . . . . . . 8 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . 7 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
78	77	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
79		fveq2 5881	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` j ) )
80		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
81	80	fveq1d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` j ) ` z ) )
82	81	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) = ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) )
83	82	fveq2d 5885	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) )
84	83	breq1d 4436	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
85	84	ralbidv 2871	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
86	79, 85	raleqbidv 3046	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
87	86	rspcv 3184	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
88	78, 87	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )
89		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
90	89	fveq1d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
91	90	oveq2d 6321	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) = ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) )
92	91	fveq2d 5885	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) )
93	92	breq1d 4436	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x ) )
94	93	ralbidv 2871	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x ) )
95	94	cbvralv 3062	. . . . . 6 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x )
96	25	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
97	96	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
98	97, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
99	98	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` j ) ` z ) e. CC )
100	25, 29, 45	syl2an 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
101	100	anassrs 652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
102	101, 49	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
103	102	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
104	99, 103	abssubd 13493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) )
105	104	breq1d 4436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
106	105	ralbidva 2868	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
107	106	ralbidva 2868	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
108	95, 107	syl5bb 260	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
109	88, 108	sylibd 217	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
110	109	reximdva 2907	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
111	110	ralimdv 2842	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x ) )
112	73, 111	impbid 193	1 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` j ) ` z ) ) ) < x <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. m e. ( ZZ>= ` k ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( ( F ` m ) ` z ) ) ) < x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   C_ wss 3442   class class class wbr 4426   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ^m cmap 7480   CCcc 9536   RRcr 9537   < clt 9674   - cmin 9859   / cdiv 10268   2c2 10659   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   abscabs 13276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278

This theorem is referenced by:  ulmcau  23223  ulmcau2  23224