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Theorem ulmcaulem 23349
Description: Lemma for ulmcau 23350 and ulmcau2 23351: show the equivalence of the four- and five-quantifier forms of the Cauchy convergence condition. Compare cau3 13418. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcau.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmcau.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmcau.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
ulmcau.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
Assertion
Ref Expression
ulmcaulem  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
Distinct variable groups:    j, k, m, x, z, F    ph, j,
k, m, x, z    S, j, k, m, x, z    j, Z, k, m, x, z    j, M, k, z
Allowed substitution hints:    M( x, m)    V( x, z, j, k, m)

Proof of Theorem ulmcaulem
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4406 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  w
) )
21ralbidv 2827 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  w
) )
32rexralbidv 2909 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
w ) )
43cbvralv 3019 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x  <->  A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w )
5 rphalfcl 11327 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
6 breq2 4406 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
76ralbidv 2827 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  / 
2 )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
87rexralbidv 2909 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  / 
2 )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
w  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) ) )
98rspcv 3146 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
105, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
1110adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
12 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
1312fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 m ) `  z ) )
1413oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) )  =  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )
1514fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) ) )
1615breq1d 4412 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
1716ralbidv 2827 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 )  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
1817cbvralv 3019 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  <->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) )
1918biimpi 198 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) )
20 uzss 11179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
2120ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>=
`  j ) )
22 ssralv 3493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ZZ>= `  k )  C_  ( ZZ>= `  j )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) ) )
24 r19.26 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  S  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  <->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
25 ulmcau.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
2625adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  F : Z
--> ( CC  ^m  S
) )
2726ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  F : Z
--> ( CC  ^m  S
) )
28 ulmcau.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2928uztrn2 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
3029adantll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  k  e.  Z
)
3128uztrn2 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  Z  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k ) )  ->  m  e.  Z )
3230, 31sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  m  e.  Z )
3327, 32ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  m )  e.  ( CC  ^m  S ) )
34 elmapi 7493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  m )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  m ) : S --> CC )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  m ) : S --> CC )
3635ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  m
) `  z )  e.  CC )
3726ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S
) )
3837ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S ) )
39 elmapi 7493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
4140ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  j
) `  z )  e.  CC )
4236, 41abssubd 13515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) ) )
4342breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
4443biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  -> 
( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
45 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
4626, 29, 45syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S ) )
4746anassrs 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S ) )
4847adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S ) )
49 elmapi 7493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
5150ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
52 rpre 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
5352ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  x  e.  RR )
5453ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  x  e.  RR )
55 abs3lem 13401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC  /\  ( ( F `  m ) `  z
)  e.  CC )  /\  ( ( ( F `  j ) `
 z )  e.  CC  /\  x  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x ) )
5651, 36, 41, 54, 55syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  j
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x ) )
5744, 56sylan2d 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x ) )
5857ralimdva 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( A. z  e.  S  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
5924, 58syl5bir 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 )  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
6059expdimp 439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
6160an32s 813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
6261ralimdva 2796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6323, 62syld 45 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6463impancom 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( A. z  e.  S  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6564an32s 813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( A. z  e.  S  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  ( x  /  2 )  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6665ralimdva 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
6766ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) ) )
6867com23 81 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) ) )
6919, 68mpdi 43 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
( x  /  2
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
7069reximdva 2862 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  (
x  /  2 )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
7111, 70syld 45 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
7271ralrimdva 2806 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
w  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
734, 72syl5bi 221 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
74 eluzelz 11168 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
7574, 28eleq2s 2547 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
76 uzid 11173 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
7775, 76syl 17 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
7877adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
79 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( ZZ>=
`  k )  =  ( ZZ>= `  j )
)
80 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
8180fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 j ) `  z ) )
8281oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) )  =  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )
8382fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) ) )
8483breq1d 4412 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
8584ralbidv 2827 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x
) )
8679, 85raleqbidv 3001 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
8786rspcv 3146 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
8878, 87syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
89 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
9089fveq1d 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  m
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  z ) )
9190oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) )  =  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  k ) `  z
) ) )
9291fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) ) )
9392breq1d 4412 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  (
( abs `  (
( ( F `  j ) `  z
)  -  ( ( F `  m ) `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) )  <  x
) )
9493ralbidv 2827 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) )  <  x
) )
9594cbvralv 3019 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) )  <  x
)
9625ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S
) )
9796adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S ) )
9897, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
9998ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( F `  j ) `  z )  e.  CC )
10025, 29, 45syl2an 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
101100anassrs 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S ) )
102101, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
103102ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( F `  k ) `  z )  e.  CC )
10499, 103abssubd 13515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 j ) `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) ) )
105104breq1d 4412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  k ) `  z
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )  <  x ) )
106105ralbidva 2824 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  k ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x ) )
107106ralbidva 2824 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  k ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x ) )
10895, 107syl5bb 261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  j ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x ) )
10988, 108sylibd 218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x ) )
110109reximdva 2862 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x ) )
111110ralimdv 2798 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  m
) `  z )
) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  (
( F `  j
) `  z )
) )  <  x
) )
11273, 111impbid 194 1  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
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 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738    C_ wss 3404   class class class wbr 4402   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   CCcc 9537   RRcr 9538    < clt 9675    - cmin 9860    / cdiv 10269   2c2 10659   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   abscabs 13297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299
This theorem is referenced by:  ulmcau  23350  ulmcau2  23351
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