MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmbdd Structured version   Unicode version
Theorem ulmbdd 21843
Description: A uniform limit of bounded functions is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmbdd.z |- Z = ( ZZ>= ` M )
ulmbdd.m |- ( ph -> M e. ZZ )
ulmbdd.f |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
ulmbdd.b |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x )
ulmbdd.u |- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
Assertion
Ref Expression
ulmbdd |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x )
Distinct variable groups:   x, k, z, F   k, G, x, z   ph, k, x, z   S, k, x, z   k, M, z   k, Z, x, z
Allowed substitution hint:   M( x)
Proof of Theorem ulmbdd
Dummy variables j y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmbdd.z . . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2 ulmbdd.m . . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3 ulmbdd.f . . 3 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
4 eqidd 2439 . . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
5 eqidd 2439 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
6 ulmbdd.u . . 3 |- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
7 1rp 10987 . . . 4 |- 1 e. RR+
87a1i 11 . . 3 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ulmi 21831 . 2 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 )
101r19.2uz 12831 . . 3 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. k e. Z A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 )
11 ulmbdd.b . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x )
12 r19.26 2844 . . . . . . . . 9 |- ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) <-> ( A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) )
13 peano2re 9534 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
1413adantl 466 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( x + 1 ) e. RR )
15 ulmcl 21826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> G : S --> CC )
166, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G : S --> CC )
1716ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> G : S --> CC )
18 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> z e. S )
1917, 18ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
2019abscld 12914 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR )
213ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
22 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> k e. Z )
2321, 22ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
24 elmapi 7226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
2625, 18ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
2726abscld 12914 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) e. RR )
2819, 26subcld 9711 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) e. CC )
2928abscld 12914 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) e. RR )
3027, 29readdcld 9405 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) + ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) e. RR )
3114adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
3226, 19pncan3d 9714 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) ` z ) + ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) = ( G ` z ) )
3332fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) + ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) = ( abs ` ( G ` z ) ) )
3426, 28abstrid 12934 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) + ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) + ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) )
3533, 34eqbrtrrd 4309 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) + ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) )
36 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> x e. RR )
37 1re 9377 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
39 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x )
4019, 26abssubd 12931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) )
41 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 )
4240, 41eqbrtrd 4307 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < 1 )
43 ltle 9455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) <_ 1 ) )
4429, 37, 43sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) <_ 1 ) )
4542, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) <_ 1 )
4627, 29, 36, 38, 39, 45le2addd 9949 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) + ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) <_ ( x + 1 ) )
4720, 30, 31, 35, 46letrd 9520 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) )
4847expr 615 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) )
4948ralimdva 2789 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) -> A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) )
50 breq2 4291 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( x + 1 ) -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) )
5150ralbidv 2730 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( x + 1 ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) )
5251rspcev 3068 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x + 1 ) e. RR /\ A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y )
5314, 49, 52syl6an 545 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) )
5412, 53syl5bir 218 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( ( A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) )
5554expd 436 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) ) )
5655rexlimdva 2836 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) ) )
5711, 56mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) )
58 breq2 4291 . . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
5958ralbidv 2730 . . . . . 6 |- ( y = x -> ( A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
6059cbvrexv 2943 . . . . 5 |- ( E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x )
6157, 60syl6ib 226 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
6261rexlimdva 2836 . . 3 |- ( ph -> ( E. k e. Z A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
6310, 62syl5 32 . 2 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
649, 63mpd 15 1 |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   class class class wbr 4287   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ^m cmap 7206   CCcc 9272   RRcr 9273   1c1 9275   + caddc 9277   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   abscabs 12715   ~~> uculm 21821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-ulm 21822
This theorem is referenced by:  mtestbdd  21850
  Copyright terms: Public domain W3C validator