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Theorem ulmbdd 22919
Description: A uniform limit of bounded functions is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmbdd.z |- Z = ( ZZ>= ` M )
ulmbdd.m |- ( ph -> M e. ZZ )
ulmbdd.f |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
ulmbdd.b |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x )
ulmbdd.u |- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
Assertion
Ref Expression
ulmbdd |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x )
Distinct variable groups:   x, k, z, F   k, G, x, z   ph, k, x, z   S, k, x, z   k, M, z   k, Z, x, z
Allowed substitution hint:   M( x)
Proof of Theorem ulmbdd
Dummy variables j y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmbdd.z . . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2 ulmbdd.m . . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3 ulmbdd.f . . 3 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
4 eqidd 2458 . . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
5 eqidd 2458 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
6 ulmbdd.u . . 3 |- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
7 1rp 11249 . . . 4 |- 1 e. RR+
87a1i 11 . . 3 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ulmi 22907 . 2 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 )
101r19.2uz 13196 . . 3 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. k e. Z A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 )
11 ulmbdd.b . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x )
12 r19.26 2984 . . . . . . . . 9 |- ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) <-> ( A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) )
13 peano2re 9770 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
1413adantl 466 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( x + 1 ) e. RR )
15 ulmcl 22902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> G : S --> CC )
166, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G : S --> CC )
1716ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> G : S --> CC )
18 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> z e. S )
1917, 18ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
2019abscld 13279 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR )
213ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
22 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> k e. Z )
2321, 22ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
24 elmapi 7459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
2625, 18ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
2726abscld 13279 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) e. RR )
2819, 26subcld 9950 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) e. CC )
2928abscld 13279 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) e. RR )
3027, 29readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) + ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) e. RR )
3114adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
3226, 19pncan3d 9953 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) ` z ) + ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) = ( G ` z ) )
3332fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) + ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) = ( abs ` ( G ` z ) ) )
3426, 28abstrid 13299 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) + ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) + ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) )
3533, 34eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) + ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) )
36 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> x e. RR )
37 1re 9612 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
39 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x )
4019, 26abssubd 13296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) )
41 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 )
4240, 41eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < 1 )
43 ltle 9690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) <_ 1 ) )
4429, 37, 43sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) <_ 1 ) )
4542, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) <_ 1 )
4627, 29, 36, 38, 39, 45le2addd 10191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) + ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) <_ ( x + 1 ) )
4720, 30, 31, 35, 46letrd 9756 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) )
4847expr 615 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) )
4948ralimdva 2865 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) -> A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) )
50 breq2 4460 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( x + 1 ) -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) )
5150ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( x + 1 ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) )
5251rspcev 3210 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x + 1 ) e. RR /\ A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y )
5314, 49, 52syl6an 545 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) )
5412, 53syl5bir 218 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( ( A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) )
5554expd 436 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) ) )
5655rexlimdva 2949 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) ) )
5711, 56mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) )
58 breq2 4460 . . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
5958ralbidv 2896 . . . . . 6 |- ( y = x -> ( A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
6059cbvrexv 3085 . . . . 5 |- ( E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x )
6157, 60syl6ib 226 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
6261rexlimdva 2949 . . 3 |- ( ph -> ( E. k e. Z A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
6310, 62syl5 32 . 2 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
649, 63mpd 15 1 |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ^m cmap 7438   CCcc 9507   RRcr 9508   1c1 9510   + caddc 9512   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   abscabs 13079   ~~> uculm 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-ulm 22898
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