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Theorem ulmbdd 20267
Description: A uniform limit of bounded functions is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmbdd.z |- Z = ( ZZ>= ` M )
ulmbdd.m |- ( ph -> M e. ZZ )
ulmbdd.f |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
ulmbdd.b |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x )
ulmbdd.u |- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
Assertion
Ref Expression
ulmbdd |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x )
Distinct variable groups:   x, k, z, F   k, G, x, z   ph, k, x, z   S, k, x, z   k, M, z   k, Z, x, z
Allowed substitution hint:   M( x)
Proof of Theorem ulmbdd
Dummy variables j y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmbdd.z . . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2 ulmbdd.m . . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3 ulmbdd.f . . 3 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
4 eqidd 2405 . . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
5 eqidd 2405 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
6 ulmbdd.u . . 3 |- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
7 1rp 10572 . . . 4 |- 1 e. RR+
87a1i 11 . . 3 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ulmi 20255 . 2 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 )
101r19.2uz 12110 . . 3 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. k e. Z A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 )
11 ulmbdd.b . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x )
12 r19.26 2798 . . . . . . . . 9 |- ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) <-> ( A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) )
13 peano2re 9195 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
1413adantl 453 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( x + 1 ) e. RR )
15 ulmcl 20250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> G : S --> CC )
166, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G : S --> CC )
1716ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> G : S --> CC )
18 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> z e. S )
1917, 18ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
2019abscld 12193 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR )
213ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
22 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> k e. Z )
2321, 22ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
24 elmapi 6997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
2625, 18ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
2726abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) e. RR )
2819, 26subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) e. CC )
2928abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) e. RR )
3027, 29readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) + ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) e. RR )
3114adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
3226, 19pncan3d 9370 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) ` z ) + ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) = ( G ` z ) )
3332fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) + ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) = ( abs ` ( G ` z ) ) )
3426, 28abstrid 12213 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) + ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) + ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) )
3533, 34eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) + ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) )
36 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> x e. RR )
37 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
39 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x )
4019, 26abssubd 12210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) )
41 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 )
4240, 41eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < 1 )
43 ltle 9119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) <_ 1 ) )
4429, 37, 43sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) <_ 1 ) )
4542, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) <_ 1 )
4627, 29, 36, 38, 39, 45le2addd 9600 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) + ( abs ` ( ( G ` z ) - ( ( F ` k ) ` z ) ) ) ) <_ ( x + 1 ) )
4720, 30, 31, 35, 46letrd 9183 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ ( z e. S /\ ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) )
4847expr 599 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) )
4948ralimdva 2744 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) -> A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) )
50 breq2 4176 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( x + 1 ) -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) )
5150ralbidv 2686 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( x + 1 ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) )
5251rspcev 3012 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x + 1 ) e. RR /\ A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x + 1 ) ) -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y )
5314, 49, 52ee12an 1369 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( A. z e. S ( ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) )
5412, 53syl5bir 210 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( ( A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 ) -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) )
5554exp3a 426 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ x e. RR ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) ) )
5655rexlimdva 2790 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ x -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) ) )
5711, 56mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) )
58 breq2 4176 . . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
5958ralbidv 2686 . . . . . 6 |- ( y = x -> ( A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
6059cbvrexv 2893 . . . . 5 |- ( E. y e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y <-> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x )
6157, 60syl6ib 218 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
6261rexlimdva 2790 . . 3 |- ( ph -> ( E. k e. Z A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
6310, 62syl5 30 . 2 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < 1 -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x ) )
649, 63mpd 15 1 |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( G ` z ) ) <_ x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ^m cmap 6977   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947   + caddc 8949   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   abscabs 11994   ~~> uculm 20245
This theorem is referenced by:  mtestbdd  20274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-ulm 20246
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