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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ulmbdd | Structured version Unicode version |
Description: A uniform limit of bounded functions is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.) |
Ref | Expression |
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ulmbdd.z |
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ulmbdd.m |
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ulmbdd.f |
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ulmbdd.b |
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ulmbdd.u |
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Ref | Expression |
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ulmbdd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ulmbdd.z |
. . 3
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2 | ulmbdd.m |
. . 3
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3 | ulmbdd.f |
. . 3
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4 | eqidd 2452 |
. . 3
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5 | eqidd 2452 |
. . 3
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6 | ulmbdd.u |
. . 3
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7 | 1rp 11096 |
. . . 4
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8 | 7 | a1i 11 |
. . 3
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9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 | ulmi 21967 |
. 2
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10 | 1 | r19.2uz 12941 |
. . 3
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11 | ulmbdd.b |
. . . . . 6
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12 | r19.26 2945 |
. . . . . . . . 9
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13 | peano2re 9643 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | 13 | adantl 466 |
. . . . . . . . . 10
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15 | ulmcl 21962 |
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16 | 6, 15 | syl 16 |
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17 | 16 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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18 | simprl 755 |
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19 | 17, 18 | ffvelrnd 5943 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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20 | 19 | abscld 13024 |
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21 | 3 | ad3antrrr 729 |
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22 | simpllr 758 |
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23 | 21, 22 | ffvelrnd 5943 |
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24 | elmapi 7334 |
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25 | 23, 24 | syl 16 |
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26 | 25, 18 | ffvelrnd 5943 |
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27 | 26 | abscld 13024 |
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28 | 19, 26 | subcld 9820 |
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29 | 28 | abscld 13024 |
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30 | 27, 29 | readdcld 9514 |
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31 | 14 | adantr 465 |
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32 | 26, 19 | pncan3d 9823 |
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33 | 32 | fveq2d 5793 |
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34 | 26, 28 | abstrid 13044 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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35 | 33, 34 | eqbrtrrd 4412 |
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36 | simplr 754 |
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37 | 1re 9486 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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38 | 37 | a1i 11 |
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39 | simprrl 763 |
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40 | 19, 26 | abssubd 13041 |
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44 | 29, 37, 43 | sylancl 662 |
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46 | 27, 29, 36, 38, 39, 45 | le2addd 10058 |
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47 | 20, 30, 31, 35, 46 | letrd 9629 |
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48 | 47 | expr 615 |
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49 | 48 | ralimdva 2824 |
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50 | breq2 4394 |
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51 | 50 | ralbidv 2839 |
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53 | 14, 49, 52 | syl6an 545 |
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54 | 12, 53 | syl5bir 218 |
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55 | 54 | expd 436 |
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56 | 55 | rexlimdva 2937 |
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57 | 11, 56 | mpd 15 |
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58 | breq2 4394 |
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59 | 58 | ralbidv 2839 |
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61 | 57, 60 | syl6ib 226 |
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62 | 61 | rexlimdva 2937 |
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63 | 10, 62 | syl5 32 |
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64 | 9, 63 | mpd 15 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1952 ax-ext 2430 ax-rep 4501 ax-sep 4511 ax-nul 4519 ax-pow 4568 ax-pr 4629 ax-un 6472 ax-cnex 9439 ax-resscn 9440 ax-1cn 9441 ax-icn 9442 ax-addcl 9443 ax-addrcl 9444 ax-mulcl 9445 ax-mulrcl 9446 ax-mulcom 9447 ax-addass 9448 ax-mulass 9449 ax-distr 9450 ax-i2m1 9451 ax-1ne0 9452 ax-1rid 9453 ax-rnegex 9454 ax-rrecex 9455 ax-cnre 9456 ax-pre-lttri 9457 ax-pre-lttrn 9458 ax-pre-ltadd 9459 ax-pre-mulgt0 9460 ax-pre-sup 9461 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2264 df-mo 2265 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2601 df-ne 2646 df-nel 2647 df-ral 2800 df-rex 2801 df-reu 2802 df-rmo 2803 df-rab 2804 df-v 3070 df-sbc 3285 df-csb 3387 df-dif 3429 df-un 3431 df-in 3433 df-ss 3440 df-pss 3442 df-nul 3736 df-if 3890 df-pw 3960 df-sn 3976 df-pr 3978 df-tp 3980 df-op 3982 df-uni 4190 df-iun 4271 df-br 4391 df-opab 4449 df-mpt 4450 df-tr 4484 df-eprel 4730 df-id 4734 df-po 4739 df-so 4740 df-fr 4777 df-we 4779 df-ord 4820 df-on 4821 df-lim 4822 df-suc 4823 df-xp 4944 df-rel 4945 df-cnv 4946 df-co 4947 df-dm 4948 df-rn 4949 df-res 4950 df-ima 4951 df-iota 5479 df-fun 5518 df-fn 5519 df-f 5520 df-f1 5521 df-fo 5522 df-f1o 5523 df-fv 5524 df-riota 6151 df-ov 6193 df-oprab 6194 df-mpt2 6195 df-om 6577 df-1st 6677 df-2nd 6678 df-recs 6932 df-rdg 6966 df-er 7201 df-map 7316 df-pm 7317 df-en 7411 df-dom 7412 df-sdom 7413 df-sup 7792 df-pnf 9521 df-mnf 9522 df-xr 9523 df-ltxr 9524 df-le 9525 df-sub 9698 df-neg 9699 df-div 10095 df-nn 10424 df-2 10481 df-3 10482 df-n0 10681 df-z 10748 df-uz 10963 df-rp 11093 df-seq 11908 df-exp 11967 df-cj 12690 df-re 12691 df-im 12692 df-sqr 12826 df-abs 12827 df-ulm 21958 |
This theorem is referenced by: mtestbdd 21986 |
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